Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
291
Задание 15. В таблице представлены статистические данные одновре-
менных наблюдений над случайными величинами Y и X. При уровне значимости α = 0,05 необходимо
а) построить корреляционное поле;
б) найти коэффициент корреляции между Y и X;
в) проверить значимость парного коэффициента корреляции;
г) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции ρ;
д) оценить модель парной линейной регрессии Y = b0+ b1X;
е) найти оценку для дисперсии случайного члена модели;
ж) проверить значимость коэффициентов b0и b1;
з) проверить адекватность линейной модели в целом.
X 1,0 3,0 5,0 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0 17,0 19,0 21,0 23,0 25,0 27,0
Y 3,5 9,8 10,4 17,9 21,3 26,2 26,3 34,4 34,9 40,4 42,2 46,4 50,9 54,6
Решение. а) Построим по эмпирическим данным корреляционное поле
(диаграмму рассеяния)
Y
60
50
40
30
20
10
5 10 15 20 25 30
X
292 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
На основании визуального анализа этой диаграммы мы можем выдвинуть гипотезу о линейной зависимости между исследуемыми факторами.
б) Вычислим коэффициент корреляции. Для этого составим вспомогательную таблицу с результатами промежуточных вычислений.
x y x
2
y
2
xy
1,0 3,5 1 12,25 3,5
5,0 10,4 25 108,16 52,0
7,0 17,9 49 320,41 125,3
9,0 21,3 81 453,69 191,7
11,0 26,2 121 686,44 288,2
13,0 26,3 169 691,69 341,9
15,0 34,4 225 1183,36 516,0
17,0 34,9 289 1218,01 593,3
19,0 40,4 361 1632,16 767,6
21,0 42,2 441 1780,84 886,2
23,0 46,4 529 2152,96 1067,2
25,0 50,9 625 2590,81 1272,5
27,0 54,6 729 2981,16 1474,2
Сумма 196,0 419,2 3654,0 15908,0 7609,0
Среднее 14,0 29,9 261,0 1136,3 543,5
Согласно этой таблице выборочные средние равны
n
X
1
n
1
x
n
i=1
n
X
xiyi= 543,5.
j=1
2
= 261,0,
i
*
m
= 14,0, m
x
n
X
1
n
i=1
2
y
= 1136,3,
i
*
= 29,9,
y
Используя формулу (6.1), оценим коэффициент корреляции
P
n
rxy=
1
n
P
n
1
n
i=1
2
x
i
−(m
xiyi− m
i=1
2
*
)
x
*
*
m
x
y
P
n
1
n
i=1
y
2
−m
i
=
2
*
y
543,5 − 14 · 29,9
=
(
261 − 14
2
) (
1136,3 − 29,9
2
=0,
)
в) Для проверки значимости коэффициента корреляции выдвигаем ги-
потезу H0: ρxy= 0 против альтернативы H1: ρxy= 0.
Вычислим значение t -статистики по формуле (6.6)
9958
293
.
t =
r
xy
1 − r
√
n − i − 2 =
2
xy
0,9958
√
1 − 0,9958
√
14 − 0 − 2 = 37,6734.
2
По таблице t-распределения найдем критическое значение, как кван-
тиль распределения Стьюдента t
Так как|t|> t
, то гипотеза H0о незначимости коэффициента кор-
крит
крит
= t
0,975
(12)
= 2,1788.
реляции отвергается, т. е. коэффициент корреляции признается значимым.
А так как rxy= 0,9958 > 0,9, то между признаками X и Y существует очень
высокая корреляционная связь.
г) При построения доверительного интервала для коэффициента кор-
реляции согласно формуле (6.7) выполним z-преобразование
z = 0,5
1 + r
ln
1 − r
= 0,5
1 + 0,9958
ln
1 − 0,9958
= 3,0819.
Тогда, согласно формуле (6.8), вычислим
z1=z −
z2=z +
z
1−α/2
(n − 3)
z
1−α/2
(n − 3)
= 3,0819 −
= 3,0819 +
1,96
√
14 − 3
1,96
√
14 − 3
= 2,4909,
= 3,6729.
Далее, согласно формуле (6.9), нижняя и верхняя границы доверитель-
ного интервала для коэффициента корреляции, соответственно, равны
2z
1
e
− 1
2z
1
e
+ 1
=
2·(2,4909
e
2·(2,4909
e
)
)
− 1
= 0,9864 и
+ 1
2z
2
e
− 1
2z
2
e
+ 1
=
2·(3,6729
e
2·(3,6729
e
)
)
− 1
= 0,9987.
+ 1
294 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Таким образом, с вероятностью 0,95 мы можем утверждать, что
ρ ∈(0,9864; 0,9987).
д) Итак, пусть переменные Y и X связаны линейной регрессионной за-
висимостью
Y = β0+ β1X + ε.
По эмпирическим данным оценим параметры этой модели
Y*= β
*
0
Согласно методу наименьших квадратов оценки β
+ β
*
X.
1
*
0
и β
*
неизвестных
1
параметров β0и β1, вычислим по формулам (6.13) и (6.14):
n
P
β
β
*
1
*
0
1
n
=
=m
xiyi− m
i=1
n
P
1
n
i=1
*
− β
Y
2
x
i
*
1
−(m
m
*
*
m
X
Y
543,5 − 14 · 29,9
=
2
*
)
x
*
= 29,9 − 1,9123 · 14 = 3,1707.
X
261 − 14
2
= 1,9123,
Таким образом, оцененное уравнение регрессии имеет вид
Y*= 3,1707 − 1,9123X.
Нанесем на диаграмму рассеяния прямую, которая соответствует урав-
нению регрессии.
е) Для нахождения оценки дисперсии случайной составляющей ε вы-
числим остатки eiмодели.
Далее, согласно формуле (6.14) вычислим оценку дисперсии случайной
составляющей ε:
n
X
=
1
n − 2
e
i=1
2
S
ε
2
=
i
28,13647
= 2,3447.
14 − 2
А соответствующая стандартная ошибка равна
Sε=S
2
=√2,3447 = 1,5312.
ε
60
50
40
30
20
10
295
Y
5 10 15 20 25 30
X
e
x y y
*
e = y − y
*
2
e
i
y
i
1,0 3,5 5,0830 -1,5830 2,50589 0,4523
3,0 9,8 8,9076 0,8924 0,79638 0,0911
5,0 10,4 12,7322 -2,3322 5,43916 0,2243
7,0 17,9 16,5568 1,3432 1,80419 0,075
9,0 21,3 20,3814 0,9186 0,84383 0,0431
11,0 26,2 24,2060 1,9940 3,97604 0,0761
13,0 26,3 28,0306 -1,7306 2,99498 0,0658
15,0 34,4 31,8552 2,5448 6,47601 0,074
17,0 34,9 35,6798 -0,7798 0,60809 0,0223
19,0 40,4 39,5044 0,8956 0,80210 0,0222
21,0 42,2 43,3290 -1,1290 1,27464 0,0268
23,0 46,4 47,1536 -0,7536 0,56791 0,0162
25,0 50,9 50,9782 -0,0782 0,00612 0,0015
27,0 54,6 54,8028 -0,2028 0,04113 0,0037
Сумма 28,13647 1,1944
296 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
ж) Используя формулы (6.16) и (6.17), вычислим стандартные ошибки
коэффициентов регрессии
*
S
=S
β
ε
0
P
n
n
i=1
P
x
2
i
n
i=1
−
(
x
P
2
i
n
i=1
2
)
x
i
= 1,5312 ·
n
*
S
=S
β
ε
1
n
P
n
i=1
P
2
x
−
i
n
(
i=1
2
)
x
i
= 1,5312 ·
3654
14 · 3654 − 196
14
14 · 3654 − 196
= 0,8200,
2
= 0,0508.
2
Проверим значимость коэффициентов регрессии. Для этого выдвигаем
основную гипотезу
H0: βj= 0, j = 0, 1,
против альтернативы
H1: βj= 0.
Вычислим значения статистик по формулам (6.18)
*
t0=
t1=
β
S
β
β
S
β
0
*
0
*
1
*
1
3,1707
=
0,8200
1,9123
=
0,0508
= 3,8665
= 37,6743
каждая из которых при справедливости гипотезы H0имеет распределение
Стьюдента с n − 2 = 14 − 2 = 12 степенями свободы.
По заданному уровню значимости α = 0,05 с помощью таблицы Б.1
t-распределения вычисляется критическое значение t
крит
= t
0,975
(12)
=
2,1788.
Так как обе статистики t0и t1по абсолютной величине превосходят
критическое значение t
, то с вероятностью 0,95 β0, и β1признаются
крит
значимыми.
з) Вычислим по формуле (6.19) среднюю относительную ошибку ап-
проксимации:
e
i
y
i
· 100%=
1,1944
· 100%= 8,5%> 7%.
14
A =
1
n
n
X
i=1
Вычислим коэффициент детерминации R2по формуле (6.20)
R2= 1 −
P
P
n
i=1
n
i=1
(
yi− y
yi− m
*
i
*
y
2
)
2
= 1 −
28,13647
3654 − 14 · 14
= 0,9691.
2
297
Таким образом, регрессионная модель объясняет 96,9%изменчивости
независимой переменной Y.
Оценим значимость уравнения регрессии в целом. Для этого выдвинем
основную гипотезу
H0: R2= 0 против альтернативы H1: R2= 0.
Вычислим значение статистики по формуле (6.21)
2
F =
R
1 − R
(
n − 2
)
0,9691(14 − 2
=
2
1 − 0,9691
)
= 376,1083874,
которая при справедливости гипотезы H0имеет распределение Фишера с
(
1,n − 2)=(1,12)степенями свободы.
По заданному уровню значимости α = 0,05, используя таблицу В.2,
находим критическое значение F
Так как F ≥ F
, то гипотеза H0отклоняется, и модель с вероятностью
крит
крит
= F
(
1; n − 2)= F
1−α
(
1; 12)= 4,75.
0,95
0,95 в целом признается значимой.
Задание 16. В результате эксперимента по исследованию зависимости
изменения прочности (Y, МПа) древесины при сжатии поперек волокон от
длительности (X, в месяцах) выдерживания в условиях повышенной влажности были получены результаты представленные в таблице. Согласно данным своего варианта оценить
а) логарифмическую модель: Y = β0+ β1ln(X)+ ε;
б) модель квадратичной регрессии Y = β0+ β1X + β2X2+ ε.
Какая из этих моделей лучше описывает эмпирические данные?
Решение. a) Оценим регрессионную lin-log модель вида
Y = β0+ β1ln(X)+ ε
Выполним замену переменной Z =
ln
X. В итоге получим линейную
форму модели
Y = β0+ β1Z + ε.
298 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
x z =ln(x) y z
2
y
2
zy
0,5 -0,6931 16,5 0,4804 272,25 -11,4362
1,0 0,0000 17,4 0,0000 302,76 0,0000
1,5 0,4055 18,1 0,1644 327,61 7,3396
2,0 0,6931 18,4 0,4804 338,56 12,7530
2,5 0,9163 17,8 0,8396 316,84 16,3101
3,0 1,0986 17,2 1,2069 295,84 18,8959
3,5 1,2528 16,5 1,5695 272,25 20,6712
4,0 1,3863 16,6 1,9218 275,56 23,0126
4,5 1,5041 16,4 2,2623 268,96 24,6672
5,0 1,6094 15,0 2,5902 225,00 24,1410
5,5 1,7047 14,8 2,9060 219,04 25,2296
6,0 1,7918 14,2 3,2105 201,64 25,4436
Сумма 11,6695 198,9 17,6320 3316,31 187,0276
Среднее 0,9725 16,58 1,4693 276,36 15,5856
Используя обычный метод наименьших квадратов, найдем оценки β
*
и β
коэффициентов β0и β1однофакторной линейной регрессии модели.
1
Вычисления удобно выполнять, составив таблицу
Оценки β
*
0
и β
*
неизвестных параметров β0и β1, вычислим по форму-
1
лам (6.13) и (6.14):
n
P
β
β
*
1
*
0
1
n
=
=m
ziyi− m
i=1
n
P
1
n
i=1
*
− β
Y
2
z
i
*
1
−(m
m
*
*
m
Z
Y
15,5856 − 0,9725 · 16,58
=
2
*
)
z
*
= 16,58 + 1,0176 · 0,9725 = 17,5646.
Z
1,4693 − 0,9725
2
= −1,0176,
*
0
Выполнив обратную замену независимой переменной, получим, что оце-
ненное уравнение регрессии имеет вид
Y*= 17,5646 − 1,0176lnX.
Вычислим остатки eiмодели. Для этого составим следующую таблицу
n
P
i=1
e
i
y
i
x y y
*
e = y − y
*
2
e
0,5 16,5 18,2699 -1,7699 3,13255 0,1073
1,0 17,4 17,5646 -0,1646 0,02709 0,0095
1,5 18,1 17,1520 0,9480 0,89870 0,0524
2,0 18,4 16,8593 1,5407 2,37376 0,0837
2,5 17,8 16,6322 1,1678 1,36376 0,0656
3,0 17,2 16,4467 0,7533 0,56746 0,0438
3,5 16,5 16,2898 0,2102 0,04418 0,0127
4,0 16,6 16,1539 0,4461 0,19901 0,0269
4,5 16,4 16,0340 0,3660 0,13396 0,0223
5,0 15,0 15,9269 -0,9269 0,85914 0,0618
299
5,5 14,8 15,8299 -1,0299 1,06069 0,0696
6,0 14,2 15,7413 -1,5413 2,37561 0,1085
Сумма 13,03591 0,66410
Вычислим по формуле (6.19) среднюю относительную ошибку аппрок-
симации:
e
i
y
i
· 100%=
0,66410
· 100%= 5,5%< 7%.
12
A =
1
n
n
X
i=1
Вычислим коэффициент детерминации R2по формуле (6.20)
P
R2= 1 −
P
n
i=1
n
i=1
(
yi− y
yi− m
*
i
*
y
2
)
= 1 −
2
13,03591
17,6320 − 12 · 16,58
= 0,3329.
2
Таким образом, регрессионная модель объясняет 33,3%изменчивости
независимыой переменной Y.
б) Оценим квадратичную модель следующего вида:
Y = β0+ β1X + β2X2+ ε
Выполним замену регрессора Z = X2. В итоге получим линейную двух-
факторную модель
Y = β0+ β1X + β2Z + ε.
300 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Найдем оценки β
0
, β
*
1
и β
*
коэффициентов β0, β1и β2двухфакторной
2
*
линейной регрессионной модели. Вычисления удобно выполнять, составив
таблицу.
x z = x
2
y x
2
2
z
2
y
xy zy xz
0,5 0,2500 16,5 0,25 0,06 272,25 8,2500 4,13 0,125
1,0 1,0000 17,4 1,00 1,00 302,76 17,4000 17,40 1,000
1,5 2,2500 18,1 2,25 5,06 327,61 27,1500 40,73 3,375
2,0 4,0000 18,4 4,00 16,00 338,56 36,8000 73,60 8,000
2,5 6,2500 17,8 6,25 39,06 316,84 44,5000 111,25 15,625
3,0 9,0000 17,2 9,00 81,00 295,84 51,6000 154,80 27,000
3,5 12,2500 16,5 12,25 150,06 272,25 57,7500 202,13 42,875
4,0 16,0000 16,6 16,00 256,00 275,56 66,4000 265,60 64,000
4,5 20,2500 16,4 20,25 410,06 268,96 73,8000 332,10 91,125
5,0 25,0000 15,0 25,00 625,00 225,00 75,0000 375,00 125,000
5,5 30,2500 14,8 30,25 915,06 219,04 81,4000 447,70 166,375
6,0 36,0000 14,2 36,00 1296,00 201,64 85,2000 511,20 216,000
Сумма 39,0000 162,5000 198,9 162,50 3794,38 3316,31 625,2500 2535,63 760,500
Среднее 3,2500 13,5417 16,58 13,54 316,20 276,36 52,1042 211,30 63,375
Используя данные таблицы, вычислим эмпирические моменты:
n
X
xiyi− nm
i=1
n
X
i=1
*
m
X
ziyi− nm
*
= 625,25 − 12 · 3,25 · 16,58 = −21,175,
Y
*
*
m
Z
= 211,30 − 12 · 13,5417 · 16,58· =
Y
(n − 1)cov
(n − 1)cov
*
(
X, Y)=
*
(
Z, Y)=
= −157,8125,
n
2
X
n
X
i=1
=
X
xizi− nm
i=1
n
X
x
i=1
2
z
− n(m
i
2
− n(m
i
*
*
m
X
*
X
2
*
)
= 3794,38 − 12 · (13,5417)2= 1593,854.
Z
= 216 − 12 · 3,25 · 13,5417 = 232,375,
Z
2
)
= 162,50 − 12 · (3,25)2= 35,75,
(n − 1)cov
(n − 1)S
(n − 1)S
*
(
X, Z)=
2
=
Z