Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
Эмпирическое среднее которой согласно определению 3.7 и формуле
(3.1) равно m
ле (3.4) — S
*
= 30,5, а несмещенная оценка дисперсии согласно форму-
X
2
= 16,6352.
X
Выборка Y объема m = 30 имеет вид
27,9 30,5 31,9 28,5 29,5 29,7 31,3 26,9 30,2 34,6
26,1 28,9 30,9 28,7 33,6 35,2 34,0 27,6 26,1 34,2
30,1 27,0 32,8 33,4 20,1 28,6 29,5 29,8 34,5 25,6
Эмпирическое среднее которой согласно определению 3.7 и формуле
(3.1) равно m
(3.4) — S
2
Y
*
= 29,9, а несмещенная оценка дисперсии согласно формуле
Y
= 11,2067.
Так как дисперсии неизвестны, то, во-первых, проверим гипотезу о равенстве дисперсий H0: σ
потезы H1: σ
2
x
2
= σ
. Для этого вычислим статистику по формуле (4.2)
y
2
x
= σ
2
против двухсторонней альтернативной ги-
y
281
F =
max
min
S
S
2
2
,S
x
y
2
2
,S
x
y
16,6352
=
11,2067
≈ 1,4844.
По таблице В.3, используя интерполяцию найдем критическое значение
F
крит
= F
(
n − 1,m − 1)= F
1−α
1−0,01
Так как F = 1,4844 < 2,27 = F
(
50 − 1,30 − 1)= F
, то гипотеза о равенстве дисперсий
крит
(
49,29)= 2,27.
0,99
принимается. Следовательно при проверке гипотезы о равенстве средних
используем статистику (4.4):
S =
(
n − 1)S
2
+(m − 1)S
x
2
y
=
n + m − 2
(
=
50 − 1)· 16,6352 +(30 − 1)· 11,2067
≈ 3,8232,
50 + 30 − 2
50 · 30
≈ 0,7075.
50 + 30
T =
m
*
− m
x
*
y
S
nm
n + m
30,5 − 29,9
=
3,8232
Используя нормальную аппроксимацию, по таблице А.2 определим критическое значение,
t
крит
= t
1−α/2
(
n + m − 2)= t
1−
0,01
(
50 + 30 − 2)= t
/2
0,995
(78)
≈ z
0,995
= 2,5758.
282 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Так как T < t
, гипотеза H0принимается, и это свидетельствует о том,
крит
что средние значения первой и второй линий производства существенно не
различаются.
Задание 12. Предположим, что четыре первые строки таблицы задания
5 являются измерениями случайной величины X (производство без присадки), а четыре последние — измерениями случайной величины Y (производство с присадкой). Свидетельствует ли это о том, что присадка увеличивает прочность бетона на сжатие. Уровень значимости выбрать на уровне
α = 0,01.
Решение. Выборка X объема имеет вид
37,2 32,5 33,3 28,6 30,2 36,0 34,9 26,0 33,5 33,2
28,6 26,8 33,4 29,5 30,6 29,4 33,2 32,0 25,9 33,3
32,0 36,4 30,1 36,3 27,7 26,8 37,9 29,1 34,0 30,2
28,8 31,0 30,2 31,7 31,9 32,2 36,0 38,6 27,9 34,2
Соответственно выборка Y представима в виде
32,2 33,5 33,3 36,4 26,8 27,5 34,1 25,4 28,1 31,3
27,9 30,5 31,9 28,5 29,5 29,7 31,3 26,9 30,2 34,6
26,1 28,9 30,9 28,7 33,6 35,2 34,0 27,6 26,1 34,2
30,1 27,0 32,8 33,4 20,1 28,6 29,5 29,8 34,5 31,3
Перейдем к разности случайных величин d = X − Y,
5,0 -1,0 0,0 -7,8 3,4 8,5 0,8 0,6 5,4 1,9
0,7 -3,7 -6,8 1,0 1,1 -0,3 8,6 5,1 -4,3 -1,3
5,9 7,5 -0,8 -6,0 -5,9 -8,4 3,9 1,5 7,9 -4,0
-1,3 4,0 -2,6 -1,7 2,8 3,6 -8,2 8,8 -6,6 8,6
Вычислим эмпирическое среднее выборки d согласно определению 3.7 и
формуле (3.1): m
ле (3.4) — S
2
X
*
= 0,6, а несмещенная оценка дисперсии согласно форму-
d
= 25,89230. Исправленное среднее квадратическое отклонение
выборки d равно SX= 5,08845.
283
Для проверки влияния присадки на прочность бетона, выдвинем гипотезу H0: md= 0 против H1: md> 0 (присадка увеличивает прочность
бетона на сжатие).
Вычислим статистику (4.7)
√
*
m
T =
n
d
S
d
0,6 ·√80
=
5,08845
= 0,804793124.
По таблице А.2 определим критическое значение
t
Так как T < t
= t
крит
, то нет оснований предполагать, что присадка увели-
крит
(n − 1) = t
1−α
(39) ≈ z
0,99
= 2,5758.
0,99
чивает прочность бетона.
Тема 5. Дисперсионный анализ
Задание 13. Проведено исследование влияния на прочность бетона в
течение месяца недельных режимов работы технологической линии по изготовлению железобетонных изделий. Сделано по пять измерений случайной величины X на каждом из четырёх уровней (номер недели месяца)
фактора A. Полученные результаты представлены в таблице (строки таблицы соответствуют уровням фактора A, столбцы — номеру измерения).
Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что изменение
прочности бетона в течение недельного периода работы технологической
линии носит не систематический характер. Уровень значимости выбрать
α = 0,01.
23,4 24,1 24,2 23,1 22,3
20,3 21,6 18,8 20,7 20,3
19,3 20,6 17,8 19,7 19,3
21,2 22,4 19,9 21,6 21,3
Решение. Прежде, чем переходить непосредственно к дисперсионному
анализу, проверим однородность дисперсий выборок, соответствующих разным уровням фактора A.
Проверка однородности дисперсий.
284 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Так как количество наблюдений на каждом уровне фактора ( ni= l),
то при сравнении дисперсий применим критерий Кохрена.
Итак, выдвигается основная гипотеза о статистической неразличимости
всех дисперсий:
H0: σ
2
1
= σ
2
2
= σ
2
3
= σ
2
4
= σ
2
;
X
против альтернативы, которая состоит в том, что основная гипотеза не выполняется:
H1: σ
2
i
= σ
2
хотя бы для одного i.
X
В качестве статистики критерия используем случайную величину (5.3):
2
2
2
G =
max
2
S
1
(S
+ S
1
2
2
, S
+ S
2
, S
2
3
, S
3
+ S
2
)
4
.
2
4
Для ее вычисления составим дополнительную таблицу, в которую внесем исходные данные и промежуточные вычисления, при этом воспользуемся формулами
m
4
X
1
*
=
i
5
xij, S
j=1
2
i
=
1
4
4−1
X
j=1
(
xij− m
2
*
)
i
A
A
A
A
A
i
1
2
3
4
23,4 24,1 24,2 23,1 22,3 23,42 0,607
20,3 21,6 18,8 20,7 20,3 20,34 1,023
19,3 20,6 17,8 19,7 19,3 19,34 1,023
21,2 22,4 19,9 21,6 21,3 21,28 0,817
x
ij
Следовательно статистика критерия равна
1,023
G =
= 0,29481.
3,47
По таблице Е.2 найдем критическое значение
G
крит
= G
(
l − 1; k)= G
α
(
ν; k)= G
α
0,01
*
m
i
Sum 3,47
(
4; 4)= 0,721.
2
S
i
285
В силу того, что G < G
, то гипотеза H0принимается, следовательно,
крит
дисперсии наблюдений по уровням однородны.
Перейдем непосредственно к однофакторному дисперсионному анализу.
Выдвигаем нулевую гипотезу H0: m1= m2= m3= m4= mX,
против альтернативы H1: хотя бы для одной i = j пары mi= mj.
Дисперсионный анализ удобно проводить предварительно заполнив следующую таблицу.
A
A
A
A
A
P
i
23,4 24,1 24,2 23,1 22,3 23,42 547,6 580,8 585,6 533,6 497,3 548,5
1
20,3 21,6 18,8 20,7 20,3 20,34 412,1 466,6 353,4 428,5 412,1 413,7
2
19,3 20,6 17,8 19,7 19,3 19,34 372,5 424,4 316,8 388,1 372,5 374,0
3
21,2 22,4 19,9 21,6 21,3 21,28 449,4 501,8 396,0 466,6 453,7 452,8
4
x
ij
*
m
i
84,38 Суммы квадратов
2
x
ij
2
*
(
)
m
i
*
m
(m
X
*
2
)
X
21,1 1781,6 1973,5 1651,9 1816,8 1735,6 1789,1
445,0 8959,3
Вычислим суммы квадратов отклонений, входящих в (5.1).
Согласно формуле 5.7, общая сумма квадратов отклонений
n
k
X
SST =
i=1
i
X
j=1
2
x
ij
− n(m
2
*
)
= 8953,3 − 20 · 445 = 59,31,
X
которая имеет DFT = n − 1 = 20 − 1 = 19 степеней свободы, следовательно,
общий средний квадрат или общая дисперсия равна (5.8):
MST =
SST
DFT
=
SST
DFT
=
59,31
= 3,1216.
19
Межгрупповая сумма квадратов отклонений (5.9):
k
SSB = l
X
(
i=1
m
2
*
)
i
− n(m
2
*
)
= 5 · 1789,1 − 20 · 445 = 45,43,
которая имеет DFB = k − 1 = 4 − 1 = 3 степеней свободы, следовательно,
средний квадрат или межгрупповая дисперсия равна
MSB =
SSB
DFB
=
45,43
= 15,1433. (8.1)
3
286 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений (5.11):
SSW = SST − SSB = 59,31 − 45,43 = 13,88,
которая имеет DFW = n −k = 20 − 4 = 16 степеней свободы, следовательно,
средний квадрат или внутригрупповая дисперсия равна (5.12):
MSW =
SSW
FDW
=
13,88
.
16
Результаты вычислений запишем в ANOVA таблицу.
Источник вариации SS DF MS F =
MSB
MSW
F
крит
Между группами 45,43 3 15,1433 17,4562 5,29
Внутри групп 13,88 16 0,8675
Общий 59,31 19
При этом вычисление значения статистики критерия производится по
формуле (5.13):
MSB
F =
MSW
15,1433
=
0,8675
= 17,4562.
которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера с(FDB,FDW)=(k − 1,n − k)= (3; 16), степенями свободы.
Критическое значения F = F
(
3, 16)= 5,29 находим по таблице рас-
0,99
пределения Фишера В.3.
Так как F > F
, то гипотеза H0отвергается. Таким образом, мы делаем
крит
вывод, что недельные режимы работы технологической линии оказывают
существенное влияние на прочность бетона.
Задание 14. При анализе зависимости износоустойчивость изделия от
двух факторов: материал (фактор A), который варьируется на двух уровнях, и технология изготовления (фактор B), который варьируется на трех
уровнях, были проверены по четыре изделия для каждого сочетания уровней факторов. Результаты (число месяцев нормальной эксплуатации изделия) эксперимента приведены в таблице. Методом двухфакторного дисперсионного анализа при уровне значимости α = 0,01 проверить существенность влияния на срок нормальной службы изделия:
а) материала;
б) технологии изготовления;
в) взаимодействия эти двух факторов.
287
A
B
1
6 11 13 7 11 10 8 11 10 11 8 11
1
B
2
B
3
A210 15 8 12 12 8 10 13 8 8 12 7
Решение. Обозначим через mxбезусловное среднее признака X, через
m
i++
, m
+j+
, m
условные средние признака X на i-ом уровне фактора A,
ij+
на j-ом уровне фактора B и на каждой комбинации уровней факторов соответственно.
Проверим однородность дисперсий. Для этого вычислим несмещенные
оценки средних (5.15) и дисперсий признака для каждой пары уровней факторов AiBjпо формулам
m
*
ij+
=
1
4
4
X
r=1
, S
2
=
ij
x
ijr
1
3
4
X
r=1
x
− m
ijr
*
ij+
2
.
*
m
A
A
ij+
1
2
B1 B2 B3 S
9,00 9,50 11,25 A18,66667 5,66667 6,25000
11,25 10,75 8,50 A28,91667 4,91667 5,66667
Далее вычислим G-статистику Кохрена:
G =
max
2
S
1
2
(S
, . . . ,S
11
+ . . . + S
2
23
2
23
)
=
8,91667
40,08335
По таблице Е.2 найдем критическое значение
G
Так как G < G
= G
крит
, то можно сделать вывод об однородности дисперсий
крит
(
4 − 1,6)= G
0,01
наблюдений.
2
ij
B1 B2 B3
≈ 0,222453213,
(
3,6)= 0,532.
0,05
Перейдем непосредственно к дисперсионному анализу.
288 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Итак, выдвигаются три пары гипотез:
1. Для фактора A
H0: m
1++
= m
= mx, H1: не все m
2++
, i = 1,2 равны.
i++
2. Для фактора B
H0: m
H1: не все m
+1+
= m
+j+
+2+
= m
+3+
= m
, j = 1,3 равны.
x
3. Для взаимодействия факторов A и B:
H0: m
H1: не все m
11+
= m
= . . . = m
12+
, i = 1,2, j = 1,3 равны.
ij+
23+
= m
x
Оценки остальных средних вычисляются по формулам: (5.16)–(5.18):
3
m
*
i++
m
j=1
2
X
r=1
3
X
j=1
4
x
4
X
r=1
ijr
=
x
ijr
X
1
=
3 · 4
X
1
*
=
x
20
i=1
1
3
=
3
X
j=1
2 · 3
2
i=1
m
4
X
r=1
*
i++
x
=
ijr
=
1
3
X
*
m
, m
ij+
2
X
1
i=1
3
X
j=1
*
+j+
m
*
ij+
=
=
1
2 · 4
1
2
2
X
i=1
1
2
3
X
j=1
2
X
i=1
m
m
*
+j+
*
ij+
.
,
Численные значения этих ценок, а также их квадратов и сумм приведены в следующей таблице.
*
m
ij+
B1 B2 B3 m
*
i++
B1 B2 B3
m
*
ij+
2
m
A1 9,00 9,50 11,25 9,917 81,000 90,250 126,563 98,347
A2 11,25 10,75 8,50 10,167 126,563 115,563 72,250 103,368
P
m
m
*
+j+
m
*
+j+
*
+j+
10,125 10,125 9,875 m
2
102,516 102,516 97,516 10,042 207,563 205,813 198,813 201,715
2
302,548
*
X
2
*
(
)
m
X
Суммы квадратов
P
612,189
100,842
Вычислим соответствующие суммы квадратов отклонений.
*
i++
m
*
ij+
2
2
Посчитаем общую сумму квадратов отклонений по формуле (5.20):
a
b
j=1
s
X
r=1
2
x
ijr
− n(m
2
*
)
= 2569 − 24 · 100,842 = 148,792,
x
SST =
X
i=1
X
289
сумму квадратов отклонений, объясненную влиянием фактора A, по формуле (5.21):
a
X
SSA = bs
m
i=1
*
i++
2
− n(m
2
*
)
= 3 · 4 · 201,715 − 24 · 100,842 = 0,372,
x
сумму квадратов отклонений, объясненную влиянием фактора B, по формуле (5.22):
b
X
SSB = as
m
j=1
*
+j+
2
− n(m
2
*
)
= 2 · 4 · 302,548 − 24 · 100,842 = 0,176,
x
сумму квадратов отклонений, объясненную влиянием взаимодействия факторов A и B, по формуле (5.23):
a
SSAB = s
X
i=1
b
X
j=1
m
*
ij+
2
− sb
a
X
i=1
b
m
*
i++
2
− sa
X
j=1
m
*
+j+
2
+ n(m
2
*
)
=
x
= 4 · 612,189 − 4 · 3 · 201,715 − 4 · 2 · 302,548 + 24 · 100,842 = 28,0
внутригрупповую сумму квадратов отклонений или сумму квадратов отклонений ошибки по формуле (5.24):
SSW = SST − SSA − SSB − SSAB = 148,792 − 0,372 − 0,176 − 28,0 = 120,244.
Вычисляем соответствующие средние квадраты формулам (5.25)–(5.28):
MSA =
SSA
DFA
SSAB
MSAB =
DFAB
=
0,372
1
28
=
2
= 0,3720, MSB =
SSW
= 14, MSW =
DFW
SSB
DFB
=
0,176
=
2
120,244
18
= 0,0880,
= 6,6802.
Статистики рассчитываем п формулам
FA=
0,3720
= 0,0557, FB=
6,6802
0,0880
6,6802
= 0,0132, FAB=
14
= 2,0957.
6,6802
По заданному уровню значимости α = 0,01, используя таблицу
F-распределения, определяем критические значения, как квантили распре-
290 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
деления Фишера (см. (5.30)–(5.32)):
F
AB
крит
A
F
крит
B
F
крит
= F
= F
= F
1−α
1−α
1−α
((
a − 1
(
a − 1,ab(s − 1))= F
(
b − 1,ab(s − 1))= F
) (
b − 1),ab(s − 1))= F
(
1, 18)= 4,4139,
0,99
(
2, 18)= 3,5546,
0,99
(
2, 18)= 3,5546.
0,99
Полученные значения заносим в таблицу двухфакторного дисперсионного анализа (ANOVA таблицу).
Источник вариации SS df MS F F критическое
Фактор A 0,372 1 0,3720 0,0557 4,4139
Фактор B 0,176 2 0,0880 0,0132 3,5546
Взаимодействие AB 28,000 2 14,0000 2,0957 3,5546
Внутригрупповая 120,244 18 6,6802
Общая 148,792 23
И наконец, принимаем решения.
1. Так как FA< F
A
, то нулевая гипотеза при уровне значимости 0,01
крит
принимается, и это означает, что тип материала не оказывает существенного влияния на износоустойчивость изделелия с вероятностью
0,99.
2. Так как FB< F
B
, то нулевая гипотеза при уровне значимости 0,01
крит
принимается, и это означает, что технология изготовления не оказывает существенного влияния на износоустойчивость изделелия с вероятностью 0,99.
3. Так как FAB< F
AB
, то нулевая гипотеза при уровне значимости 0,01
крит
принимается, т. е. с вероятностью 0,99 можно сделать вывод: взаимодействие типа материала и технологии изготовления не оказывает
существенного влияния на износоустойчивость изделелия X.
Тема 6. Корреляционный и регрессионный
анализ