Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
Рисунок 3.13 – Проверка гипотезы о нормальном распределении заданной случайной
величины
Так как χ
2
набл
< χ
2
, то при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о нормальном
кр
распределении генеральной совокупности принимаем.
3.3. Варианты заданий для типового расчета № 3
Задание 1. По данным выборки (см. табл. 3.1):
1) составить дискретное и интервальное статистические распределения частот
и относительных частот выборки; выполнить контроль правильности вычисления частот
и относительных частот;
2) построить полигон относительных частот для дискретного распределения
и гистограмму относительных частот для интервального распределения; на одном чертеже
с гистограммой построить график теоретической плотности вероятностей нормального
распределения. Сделать вывод об их визуальном совпадении;
3) построить эмпирическую функцию распределения F*(х) по дискретному
и интервальному распределениям, начертить график функции F*(х);
61
4) найти точечные несмещенные оценки генеральной средней, генеральной
Вариант
Данные наблюдений
Дополнительные
данные
1, 11, 21
187; 193; 199; 197; 196; 184; 200; 193; 198; 191; 193; 188;
189; 195; 180; 180; 205; 194; 179; 191; 201; 195; 195; 189
γ = 0,999
2, 12, 22
193; 195; 197; 199; 202; 193; 190; 197; 195; 182; 201; 202;
199; 194; 187; 173; 211; 190; 165; 182; 182; 194; 168
γ = 0,95
3, 13, 23
78; 99; 69; 99; 71; 67; 56; 74; 51; 78; 34; 67; 68; 83; 38; 89;
98; 79; 102; 96; 97; 81; 86; 69; 52; 77; 66; 100; 119; 84; 102
γ = 0,99
4, 14, 24
124; 120; 124; 124; 118; 127; 126; 119; 115; 122; 131; 129;
105; 124; 112; 135; 117; 127; 134; 117; 120; 97; 123; 105
γ = 0,999
5, 15, 25
107; 78; 93; 81; 80; 92; 126; 93; 67; 50; 104; 110; 92; 69;
48; 114
γ = 0,95
6, 16, 26
120; 91; 101; 91; 120; 88; 69; 74; 102; 65; 48; 71; 80; 92;
106; 102; 105; 119
γ = 0,99
7, 17, 27
103; 67; 95; 112; 112; 86; 99; 99; 103; 122; 112; 102; 96;
γ = 0,999
дисперсии, генерального среднего квадратического отклонения;
5) предполагая нормальное распределение случайной величины, найти с надежностью γ доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном
и известном σ;
6) проверить с помощью критерия χ2 Пирсона при уровне значимости α гипотезу
о нормальном распределении заданной случайной величины.
Таблица 3.1 – Исходные данные для задания 1
207; 183; 195; 184; 175; 195; 212; 197; 194; 184; 175; 198;
189; 189; 190; 175; 190; 193; 209; 190; 183; 191; 193; 191;
192; 189; 191; 190; 182; 194; 194; 197; 207; 198; 180; 175;
189; 194; 185; 213; 192; 200; 194; 173; 206; 163; 204; 174;
190; 192; 191; 185; 202; 173; 184; 176; 199; 182; 186; 189;
193; 191; 188; 187; 191; 191; 192; 192; 214; 171; 208; 185;
88; 58; 75; 60; 89; 11; 42; 104; 76; 81; 67; 50; 75; 99; 114;
111; 108; 127; 110; 91; 92; 71; 84; 77; 73; 100; 69; 77; 74;
114; 109; 125; 121; 112; 131; 115; 122; 118; 116; 130; 126;
130; 128; 106; 132; 129; 131; 126; 116; 128; 134; 132; 124;
110; 123; 141; 115; 121; 113; 125; 139; 111; 117; 114; 109;
105; 106; 124; 46; 72; 75; 126; 73; 106; 75; 97; 105; 84; 78;
100; 98; 114; 113; 94; 108; 76; 88; 70; 98; 148; 95; 92; 105;
114; 98; 102; 41; 76; 90; 136; 87; 132; 137; 100; 102; 88;
65; 75; 114; 79; 93; 118; 94; 102; 109; 86; 45; 97; 93; 43;
σ = 8,30
α = 0,02
σ = 11,29
α = 0,05
σ = 21,81
α = 0,01
σ = 9,01
α = 0,1
σ = 22,77
α = 0,02
68; 112; 127; 88; 93; 74; 131; 51; 117; 145; 91; 78; 96; 81;
116; 75; 120; 75; 62; 113; 109; 111; 114; 90; 97; 111; 93;
110; 79; 63; 109; 69; 108; 71; 122; 63; 115; 90; 78; 86; 122;
119; 87; 115; 96; 137; 85; 79; 124; 89; 104; 108; 108; 100;
76; 71; 138; 104; 120; 67; 92; 130; 99; 94; 92; 127; 63; 87;
86; 66; 100; 75; 84; 95; 121; 103; 95; 111; 100; 136; 92; 84;
123; 84; 125; 102; 96; 72; 102; 106; 105; 88; 75; 100; 84;
71; 123; 121; 94; 114; 94; 71; 86; 115; 82; 101
σ = 21,14
α = 0,05
σ = 18,14
α = 0,01
62
8, 18, 28
52; 40; 47; 54; 40; 54; 41; 74; 45; 51; 76; 58; 37; 40; 58; 66;
49; 49; 57; 48; 42; 46; 52; 59; 50; 62; 50; 55; 55; 54; 52; 62;
53; 41; 55; 51; 50; 45; 50; 29; 60; 39
γ = 0,95
9, 19, 29
42; 53; 54; 65; 46; 65; 61; 55; 38; 66; 54; 40; 60; 46; 53; 51;
70; 56; 56
γ = 0,99
10, 20, 30
79; 56; 46; 50; 67; 37; 53; 49; 42; 57; 49; 20; 45; 83; 15; 39;
43; 67; 75; 64; 39; 64; 53
γ = 0,999
69; 65; 49; 48; 63; 52; 46; 44; 55; 60; 54; 39; 43; 30; 60; 61;
53; 47; 42; 56; 70; 48; 45; 65; 48; 48; 51; 38; 53; 48; 68; 36;
σ = 9,58
α = 0,1
50; 60; 30; 48; 56; 29; 74; 52; 60; 44; 62; 23; 82; 67; 68; 34;
56; 51; 56; 48; 53; 47; 59; 51; 59; 66; 48; 40; 57; 56; 33; 44;
43; 45; 35; 35; 56; 59; 66; 56; 52; 44; 50; 59; 33; 56; 49; 31;
59; 39; 42; 45; 54; 87; 72; 68; 44; 33; 47; 63; 70; 55; 45; 36;
40; 71; 17; 48; 72; 48; 53; 28; 44; 25; 67; 50; 60; 69; 63; 60;
58; 46; 11; 59; 53; 77; 38; 54; 54; 80; 56; 27; 57; 76; 43; 49;
σ = 11,58
α = 0,02
σ = 16,37
α = 0,05
63
4. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 4
0),...,,,.(
)(
=
′′′
n
yyyyxF
),...,
,,,(
)1()( −
′′′
=
nn
yyyyxfy
00
)( yxy =
00
)( yxy
′
=
′
00
)( yxy
′′
=
′′
)1(
00
)1(
)(
−−
=
nn
yxy
ПО РАЗДЕЛУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
4.1. Теоретический материал
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые
переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если
же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей
производной, входящей в данное уравнение
Решением дифференциального уравнения называется такая функция у = φ(х), при
подстановке которой в уравнение последнее обращается в тождество. График этой
функции у = φ(х) называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде
Ф(х,у) = 0, то оно обычно называется интегралом дифференциального уравнения.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
(4.1)
Если разрешить это уравнение относительно старшей производной, то уравнение
примет вид
4.2)
Всякая функция у = φ(х), имеющая непрерывные производные до порядка n
и удовлетворяющая уравнению 4.1 или 4.2 называется решением дифференциального
уравнения n-го порядка, а сама задача нахождения решения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
Функция у = φ(х,С1,С2, ..., Сп), содержащее n произвольных постоянных, называется
общим решением дифференциального уравнения n-го порядка в некоторой области D,
если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1) при любых допустимых значениях постоянных она удовлетворяет уравнению;
..., С
2) каковы бы ни были начальные условия
, … ,
0
, что решение у = φ(х, С
п
0
1
, можно подобрать значения постоянных С
,С
0
2
, ., С
0
) будет удовлетворять заданным начальным
п
,
,
0
0
,С
,
1
2
условиям.
Придавая С1,С2, ..., Сп определенные численные значения, получим частное
64
решение дифференциального уравнения n-го порядка. Любое частное решение (интеграл)
0)()(
21
=+
′
+
′′
yxayxay
)()
(
2211
xycxycy +=
получается из общего решения (интеграла) при конкретных значениях постоянных
(включая значения Ci = ±∞).
С геометрической точки зрения общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых, зависящих от
n параметров. Решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, будет
изображаться определенной кривой этого семейства.
Решение (интеграл) дифференциального уравнения n-го порядка, в каждой точке
которого нарушено условие единственности, называется особым. Очевидно, что особое
решение не может быть получено из общего решения. Оно будет среди тех решений,
которые «теряются» в процессе преобразований.
Нахождение решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным усло-
виям, называется решением задачи Коши для этого уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Линейные
дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнение вида
, (4.3)
где а1(х), а2(x), ... , аn(x), f(x) – заданные функции от х, непрерывные на некотором
интервале (а, b), называется линейным ДУ n-го nорядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени.
Если функция f(x) = 0 то уравнение (4.3) называется линейным однородным диффе-
ренциальным уравнением (ЛОДУ); если f(x) ≠ 0, то уравнение (4.3) называется
неоднородным (ЛНДУ).
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго
порядка:
(4.4)
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 1. Если функции уl = уl(х) и у2 = у2(х) являются частными решениями
уравнения (4.4), то решением этого уравнения является также функция
4.5)
где сl и с2 – произвольные постоянные.
Функции уl = yl(x) и у2 = у2(х) называются линейно независимыми на интервале
(а; b), если равенство
λlyl + λ2у2 = 0, (4.6)
65
где λl, λ2 ∈R, выполняется тогда и только тогда, когда λl = λ2 = 0. Если хотя бы одно из
21
21
21
),()(
yy
yy
yyWxW
′′
==
2121
yyyy′−
′
чисел λl или λ2 отлично от нуля и выполняется равенство (4.6), то функции уl и у2
называются линейно зависимыми на (а; b).
Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан. Для двух дифференцируемых функций
уl = yl(x) и у2 = у2(х) вронскиан имеет вид:
=
имеют место следующие теоремы.
Теорема 2. Если дифференцируемые функции yl(x) и у2(х) линейно зависимы на
(а; b), то определитель Вронского на этом интервале тождественен равен нулю.
Теорема 3. Если функции yl(x) и у2(х) – линейно независимые решения уравнения
(4.4) на (а; b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Из теорем 2 и 3 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала
(а; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а; b) частных
решений yl(x) и у2(х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему
решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как
комбинация у = λlyl + λ2у2.
Теорема 4. (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два частных
решения уl = yl(x) и у2 = у2(х) ЛОДУ (4.4) образуют на интервале (а; b) фундаментальную
систему, то общим решением этого уравнения является функция
у = сlyl + с2у2 (4.7)
где сl и с2 – произвольные постоянные.
Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид
(4.8)
1. Если функции уl = yl(x), у2 = у2(х), ... , уn = уn(х) являются частными решениями
уравнения (4.8), то его решением является и функция у = c1yl + с2у2 + ... + cnуn
2. Функции yl, у2, ... ,уn называются линейно независимыми на (а; b), если равенство
λ1yl + λ2у2 + ... + λnуn = 0 выполняется лишь в случае, когда все числа λi= 0 (i = 1,2, ... , n);
в противном случае (если хотя бы одно из чисел λ
не равно нулю) функции yl , у2, ... ,уn –
i
линейно зависимы.
3. Определитель Вронского имеет вид
66
)()()(
21
xfyxayxay =+
′
+
′′
0)()(
21
=+
′
+
′′
yxayxay
ууу
ˆ
*+=
у
ˆ
4. Частные решения yl , у2, ... , уn уравнения (4.8) образуют фундаментальную
систему решений на (а; b), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) ≠ 0 для всех х ∈ (а; b).
5. Общее решение ЛОДУ (6) имеет вид у = c1yl + с2у2 + ... + cnуn, где ci (i = 1, .. . , n)
– произвольные постоянные, уi – частные решения уравнения (4.8), образующие
фундаментальную систему.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
, (4.9)
где а1 (х), а2 (х), f (х) – заданные, непрерывные на (а; b) функции.
Уравнение
(4.10)
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (4.9), называется соответствующим
ему однородным уравнением.
Теорема 5. (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением уравнения (4.9)
является сумма его произвольного частного решения у*и общего решения
соответствующего однородного уравнения (4.10), т. е.
(4.11)
Частное решение у* уравнения (4.9) можно найти, если известно общее решение
соответствующего однородного уравнения (4.10), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем.
Пусть – общее решение уравнения (4.10). Заменим в общем
решении постоянные сl и с2 неизвестными функциями cl(х) и с2(х)
и подберем их так, чтобы функция
у* = сl(х)уl(х) + с2(х)у2(х) (4.12)
была решением уравнения (4.9). Найдем производную
(4.13)
Подберем функции сl(х) и с2(х) так, чтобы выполнялось равенство:
(4.14)
67
В результате, функция (4.12) будет частным решением у* уравнения (4.9), если
0
)()(
)()(
21
21
≠
′′
xyxy
xyxy
у
ˆ
0
2
=++
kxkxkx
qepkeek
02=++ qpkk
функции сl (х) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (4.15):
(4.15)
Определитель системы
, так как это определитель Вронского для
фундаментальной системы частных решений уl(х) и у2(х) уравнения (4.10). Поэтому
система (4.15) имеет единственное решение: сl´(х) = φl(х) и с2(х) = φ2(х), где φl(х) и φ2(х) –
некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим сl(х) и с2(х), а затем по
формуле (4.12) составляем частное решение уравнения (4.9).
Общее решение ЛНДУ n-го порядка также равно сумме частного решения
у*неоднородного уравнения и общего решения
соответствующего ему однородного
уравнения. Частное решение у* также находится методом вариации произвольных
постоянных (метод Лагранжа).
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго
и высших порядков с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных
уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
y" + py' + qy = 0, (4.16)
где р и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (4.16) достаточно найти два его
частных решения, образующих фундаментальную систему. Будем искать частные
решения уравнения (4.16) в виде у = ek, где k – некоторое число (предложено Л. Эйлером).
Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение
(4.16), получим:
. Так как еkx ≠ 0 то после сокращения на еkx , будем
иметь
4.17)
Уравнение (4.17) называется характеристическим уравнением ДУ (4.16) (для его
составления достаточно в уравнении (4.16) заменить у", у' и у соответственно на k2, k и 1).
При решении характеристического уравнения (4.17) возможны следующие три
случая (см. табл. 4.1).
68
Таблица 4.1 – Решение дифференциального уравнения
0=+
′
+
′′
qyypy
Rkk ∈≠
21
Rkkk ∈==
21
xk
ey
1
1
=
xk
ey
2
2
=
x
k
e
y =
1
xk
xey =
2
xey
x
β
α
cos
1
=
xey
x
β
α
sin
2
=
xkxk
e
C
eCy
21
21
+
=
)(
21
xCCey
kx
+=
)sincos(
21
xCxCey
x
ββ
α
+=
)(xfqyypy =+
′
+
′′
у
ˆ
Характеристическое
уравнение
Корни характеристиче-
ского уравнения
Фундаментальная си-
стема частных решений
k2 + pk + q = 0
k1 =α + βi
k2 =α − βi
Вид общего решения
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (4.16) сводится к нахождению корней характеристического
уравнения (4.17) и использованию формул общего решения уравнения (не прибегая
к вычислению интегралов).
Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными
коэффициентами
(n)
y
kn + p1k
+ p1y
(n-1)
n-1
+ … + p
+ … + p
n-1
y′ + pny = 0, (4.18)
n-1
k + pn = 0 (4.19)
где pi, i = 1,…,n – числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Частные решения уравнения (4.18) также ищем в виде у = ekx , где k – постоянное
число. (4.18) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида
Уравнение (4.19) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть
и комплексные). В зависимости от корней k1 , k2 , . . , kn характеристического уравнения
также возможны несколько случаев общего решения уравнения (4.18).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка
и высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,
т. е. уравнение
(4.20)
где р и q – некоторые числа.
Согласно теореме 5, общее решение уравнения (4.20) представляет собой сумму
общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения у*
69
неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (4.20) может быть найдeнo
x
(x)e
α
n
Pqyypy =+
′
+
′′
0
2
=++ qpkk
0
2
=++ qpkk
=
′′′
=
′′′
=
′′′
0),...,,,,...,,,(
........................................................
0),...,,,,...,,,(
0),...,,,,...,,,(
2121
21212
21211
bnn
nn
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxF
yyyyyyxF
методом вариации произвольных постоянных.
Для уравнений с постоянными коэффициентами (4.20) существует более простой
способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (4.20) имеет так называемый
х
«специальный вид»: f(x) = Рn(х)е
α
.
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (4.20) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение
(4.20) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
х
В случае, когда правая часть (4.20) имеет вид f(x) = Рn(х)е
α
, где α∈R, Рn(х) –
многочлен степени n, уравнение (4.20) запишется в виде
(4.21)
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
x
y* = xr ∙Qn(x)∙e
α
, (4.22)
где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения
(т.е. r – число, показывающее, сколько раз α является корнем уравнения
), а Qn(x) = А0хn+А1х
n-1
+…+ А
– многочлен степени n с неопределенными
n
коэффициентами.
Для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого
имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения
(n)
y
+ p1y
(n-1)
+…+ p
y′ + pny = f(x) (4.23)
n-1
где рi – числа, а правая часть f(х) имеет специальный вид, описанный выше для случая
n = 2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок n > 2.
Системы дифференциальных уравнений
Система соотношений вида
, (4.24)
где y1, y2,,…, yn – искомые функции,
x – независимая переменная, называется системой обыкновенных дифферен-
циальных уравнений первого порядка.
70