Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
где S – точечная оценка параметра σ, t γ= t(γ, n) – значения распределения Стьюдента.
γ
t
кр
kK >
кр
kK <
21
)(,)(
кркр
kKkK ><
Значение
находим по таблице Приложения Г.
Проверка статистических гипотез
Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестного
распределения случайной величины или о параметрах известного распределения.
Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Но формулируется
и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернативная) Н1, которая
принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.
При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т. е. могут
быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается
нулевая гипотеза Но, когда на самом деле она верна. Ошибка второго рода состоит в том,
что отвергается альтернативная гипотеза Н1, когда она на самом деле верна. Вероятность
совершить ошибку первого рода принято обозначать через α, ее называют уровнем
значимости.
Проверка статистической гипотезы выполняется с помощью данных выборки. Для
проверки статистической гипотезы используется специально подобранная случайная
величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием.
Он характеризует степень расхождения гипотетического распределения в генеральной
совокупности и выборочного или эмпирического распределения. Величина К имеет
различные обозначения в зависимости от ее вида распределения.
После выбора критерия множество его возможных значений разбивается на два
непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения
критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы)
– значения К, при которых она принимается. Критической областью называют область
значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия
гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают. Значения К,
отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками kр. Критическая область может быть правосторонней (если она задается
неравенством
), левосторонней (
) или двусторонней (
).
В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н1 выбирают правостороннюю,
левостороннюю или двустороннюю критическую область. Если проверяется гипотеза Н0:
θ = θ0, а альтернативная Н1: θ>θ0 (θ<θ0 ), то критическая область размещается на правом
(левом) «хвосте» распределения критерия, т. е. надо использовать правостороннюю
51
(левостороннюю) критическую область. При гипотезе Н1: θ ≠ θ
),(2k
кр
α
χ
– двустороннюю
0
критическую область.
Критическую область следует выбирать так, чтобы вероятность попадания в нее
значения критерия была минимальной и равной α, если верна нулевая гипотеза,
и максимальной в противоположном случае.
Границы критических областей kкр при заданном уровне значимости α определяются соответственно из соотношений: для правосторонней критической области
P(K>kкр) = α, для левосторонней критической области P(K<kкр) = α, для двусторонней
критической области P(K<kкр)+P(K>kкр) = α или P(K<kкр) = P(K>kкр) = α/2.
Процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов:
1) сформулировать нулевую и альтернативную статистические гипотезы;
2) выбрать уровень значимости α, контролирующий допустимую вероятность
ошибки первого рода;
3) выбирается статистический критерий К;
4) вычисляется его наблюдаемое значение К
по имеющейся выборке;
набл
5) определяется вид критической области; вычисляется (обычно по таблицам для
закона распределения К) критическое значение kкр, разделяющее критическую область
и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = α, то справа от kкр располагается
критическая область, а слева – область принятия гипотезы);
6) если вычисленное значение К
попадает в область принятия гипотезы, то
набл
нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза
отвергается.
Проверка гипотез о законе распределения признака генеральной совокупности
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом
законе неизвестного распределения.
Для статистической проверки гипотезы о законе распределения признака Х генеральной совокупности широко используется критерий Пирсона (или его еще называют
критерием χ2).
Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее
заданном уровне значимости α находится по таблице критических точек распределения χ
при
2
(Приложение Д).
Схема применения критерия Пирсона:
1. По формуле
52
∑
′
′
−
=
i
ii
n
nn
2
2
)(
χ
вычисляют χ
),(2k
кр
αχ
,
22
крнабл
χχ
≤
,
22
крнабл
χχ
>
i
n
′
i
n
′
i
n
′
,
1
−
Φ−
−
Φ=
+
s
xx
s
xx
Р
BiBi
i
B
x
2. Выбрав уровень значимости α критерия, по таблице χ2–распределения находим
(3.10)
2
– выборочное значение статистики критерия.
набл
критическую точку (квантиль)
3. Если
то гипотеза Но не противоречит опытным данным; если
.
то гипотеза Но отвергается.
Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом
из интервалов не менее 5 наблюдений (т. е. n
≥
5). Если в отдельных интервалах их
i
меньше, то число интервалов надо уменьшить путем объединения (укрупнения) соседних
интервалов.
Теоретические частоты
вычисляются для заданного закона распределения как
количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если
бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого
совпадают с их точечными оценками по выборке. Для проверки гипотезы о нормальном
законе распределения теоретические частоты
вычисляются по формуле
= n ∙ Рi, (3.1)
где n – объем выборки,
(3.12)
xi и x
– левая и правая границы i-го интервала,
i + 1
– выборочное среднее,
s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распреде-
ление характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3.
Функции MS «Excel» для выполнения типового расчета № 3
1. Функция СЧЁТ используется для определения количества числовых ячеек
в диапазонах и массивах чисел.
2. С помощью статистической функции СЧЁТЕСЛИ можно подсчитать количество
ячеек, отвечающих определенному условию.
3. Для вычисления частот ni можно использовать функцию ЧАСТОТА, обращение
к которой имеет вид: =ЧАСТОТА(массив _ данных; массив _границ), где массив _ данных
– адреса ячеек, для которых вычисляется частота; массив_границ – адреса ячеек,
53
в которых размещаются упорядоченные по возрастанию. Функция ЧАСТОТА вводится
как формула массива, т. е. предварительно выделяется интервал ячеек, в который будут
помещены вычисленные частоты, затем вводится функция ЧАСТОТА с соответствующими аргументами, потом одновременно нажимаются клавиши [Ctrl] + [Shift] + [Enter].
4. Числовые характеристики выборки можно найти с помощью статистических
функций СРЗНАЧ, ДИСПР, СТАНДОТКЛОНП, МОДА, МЕДИАНА, МИН, МАКС.
5. Для вычисления исправленной дисперсии и исправленного среднего квадратического отклонения можно использовать статистические функции ДИСП и
СТАНДОТКЛОН.
6. Для вычисления теоретической плотности вероятностей нормального распределения можно использовать статистическую функцию НОРМРАСП по серединам
интервалов с логическим значением ЛОЖЬ.
7. Для вычисления значений функции распределения Ф (х) можно использовать
статистическую функцию НОРМСТРАСП(Х)–0,5.
8. Для нахождения значения критической точки распределения χ2 можно
использовать функцию ХИ2ОБР.
3.2. Образец решения типового расчета № 3
Задание 1. По данным выборки:
0,87; 0,94; 0,99; 0,90; 0,90; 0,87; 0,85; 0,87;0,90;0,94; 0,87;0,87; 0,82; 0,90; 0,94; 0,90;
0,85; 0,85; 0,87; 0,94; 0,81; 0,82; 0,87;0,97;0,90;0,94; 0,85; 0,81; 0,87; 0,85;0,90;
0,82; 0,99; 0,90; 0,94; 0,82;0,97; 0,81;0,85; 0,87
1) составить дискретное и интервальное статистические распределения частот
и относительных частот выборки; выполнить контроль правильности вычисления частот
и относительных частот;
2) построить полигон относительных частот для дискретного распределения
и гистограмму относительных частот для интервального распределения; на одном чертеже
с гистограммой построить график теоретической плотности вероятностей нормального
распределения. Сделать вывод об их визуальном совпадении;
3) построить эмпирическую функцию распределения F*(х) по дискретному
и интервальному распределениям, начертить график функции F*(х);
4) найти точечные несмещенные оценки генеральной средней, генеральной дисперсии, генерального среднего квадратического отклонения;
5) предполагая нормальное распределение случайной величины, найти с надежностью γ = 0,999 доверительный интервал для математического ожидания при
неизвестном и известном σ = 0,05;
54
6) проверить с помощью критерия χ2 Пирсона при уровне значимости α гипотезу
ii
nnω=
∑
=
=
k
i
i
nn
1
∑
=
=
k
ii1
1
ω
о нормальном распределении заданной случайной величины.
Решение. Задание выполним в MS «Excel».
Сначала введем исходные данные, отсортируем их по возрастанию (проранжируем
исходные данные), найдем объем выборки n (с помощью функции СЧЕТ) и введем
значения вариант, т. е. вариационный ряд (см. рис. 3.1).
Рисунок 3.1 – Исходные данные
1) составим дискретное статистическое распределение частот (функция
СЧЁТЕСЛИ) и относительных частот выборки (
вильности вычисления частот (
(
) (см. рис. 3.2).
) и относительных частот
Рисунок 3.2 – Дискретное статистическое распределение выборки
); выполним контроль пра-
Составим интервальное статистические распределения частот и относительных
частот выборки; выполнить контроль правильности вычисления частот и относительных
частот (см. рис. 3.3).
Число интервалов: m = 1 + 3,322lgn
55
Размах варьирования R: R = x
n
xx
h
lg322,31
min
max
+
−
=
в
х
в
σ
Величина интервала:
mах
– x
min
Начало первого интервала: х0 = х
Рисунок 3.3 – Интервальное статистическое распределение выборки
– h/2.
min
2) построим полигон относительных частот для дискретного распределения (см.
рис. 3.4).
Рисунок 3.4 – Полигон относительных частот
Для интервального распределения построим гистограмму относительных частот
(предварительно рассчитав плотность частоты wi/h). Найдем выборочную среднюю
выборочное среднее квадратическое отклонение
с помощью функций СРЗНАЧ,
и
СТАНДОТКЛОНП. Для построения графика теоретической плотности вероятностей
56
нормального распределения с помощью функции НОРМРАСП вычислим значения
плотности распределения в границах интервалов (см. рис. 3.5).
Рисунок 3.5 – Расчеты для построения гистограммы частот и графика плотности
нормального распределения
Изобразим на одном чертеже гистограмму относительных частот по данным
выборки и график плотности вероятностей нормального распределения (см. рис. 3.6).
Рисунок 3.6 – Гистограмма частот и график плотности нормального распределения
По данному чертежу можно сделать вывод о визуальном совпадении гистограммы
и графика теоретической плотности вероятностей нормального распределения.
2) построим эмпирическую функцію распределения F*(х) дискретного распре-
деления по формуле (3.2):
57
0
x≤0,81
0,075
0,81<x≤0,82
0,075+0,1=0,175
0,82<x≤0,85
0,075+0,1+0,15=0,325
0,85<x≤0,87
F*(x)=
0,075+0,1+0,15+0,225=0,55
0,87<x≤0,90
0,075+0,1+0,15+0,225+0,2=0,75
0,90<x≤0,94
0,075+0,1+0,15+0,225+0,2+0,15=0,9
0,94<x≤0,97
0,075+0,1+0,15+0,225+0,2+0,15+0,05=0,95
0,97<x≤0,99
0,075+0,1+0,15+0,225+0,2+0,15+0,05+0,05=1
x>0,99
На рисунках 3.7, 3.8 показана функция и ее график.
Рисунок 3.7 – Эмпирическая функция F*(х) дискретного распределения
Рисунок 3.8 – График эмпирической функции F*(х) дискретного распределения
Для интервального статистического ряда эмпирическую функцию распределения
строят иначе. Вычислим значения функции F*(x) на концах интервалов в виде «накоп-
ленной относительной частоты» (относительные частоты берем из интервального
статистического распределения):
х = 0,80 F*(х) = 0;
х = 0,83 F*(х) = 0,175;
58
х = 0,86 F*(х) = 0,175 + 0,15 = 0,325;
х = 0,89 F*(х) = 0,175 + 0,15 + 0,225 = 0,55;
х = 0,92 F*(х) = 0,175 + 0,15 + 0,225 + 0,2 = 0,75;
х = 0,95 F*(х) = 0,175 + 0,15 + 0,225 + 0,2 + 0,15 = 0,9;
х = 0,98 F*(х) = 0,175 + 0,15 + 0,225 + 0,2 + 0,15 + 0,05 = 0,95;
х = 1,01 F*(х) = 0,175 + 0,15 + 0,225 + 0,2 + 0,15 + 0,05 + 0,05 = 0,95 = 1
При графическом изображении такой функции ее доопределяют, соединив точки
графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой. На рисунке 3.9 показана
функция F*(x) и ее график.
Рисунок 3.9 – График эмпирической функции F*(х) интервального распределения
4) найдем точечные несмещенные оценки генеральной средней, генеральной
дисперсии, генерального среднего квадратического отклонения с помощью функций
СРЗНАЧ, ДИСП и СТАНДОТКЛОН (см. рис. 3.10).
Рисунок 3.10 – Точечные несмещенные оценки параметров генеральной совокупности
5) предполагая нормальное распределение случайной величины, найдем с надежностью γ доверительный интервал для математического ожидания при известном σ по
формуле (3.8) (см. рис. 3.11). Значение аргумента t функции Φ(t) определяется по таблице
Приложения В.
59
γ
t
i
n
′
Рисунок 3.11 – Доверительный интервал для математического ожидания при известном σ
Предполагая нормальное распределение случайной величины, найдем с надеж-
ностью γ доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном σ по
формуле (3.9) (см. рис. 3.12). Значение
= t(γ, n) находим по таблице Приложения Г.
Рисунок 3.12 – Доверительный интервал для математического ожидания
при неизвестном σ
6) проверим с помощью критерия χ2 Пирсона при уровне значимости α гипотезу
о нормальном распределении заданной случайной величины (см. рис. 3.13). Для вычис-
ления теоретических частот
используем формулы (3.11) и (3.12). Для вычисления зна-
чений функции распределения Ф (х) используем статистическую функцию
НОРМСТРАСП(Х)-0,5.
Для вычисления выборочного значения статистики критерия χ
формулу (3.10). Для нахождения значения критической точки распределения χ
2
используем
набл
2кр
используем функцию ХИ2ОБР или таблицу приложения Д.
60