Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь имеет дефект? Какова
n = 8; p = 0,7;
m = 3
n = 95; p = 0,65;
m = 45
n = 3000;
p = 0,003; m = 4
n = 700; p = 0,7;
m1 = 440; m2 = 540
вероятность того, что случайно выбранная деталь произведена первой машиной, если
известно, что она имеет дефект?
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
21
1. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2
X
хi
х1
х2 … хn р рi
р1
р2 … рn
.1)(
11
∑∑
==
===
n
i
i
n
i
i
pxXP
ПО РАЗДЕЛУ «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ»
2.1. Теоретический материал Случайные величины
Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать
любые заранее неизвестные значения. Случайные величины делятся на дискретные
и непрерывные.
Величина называется дискретной, если она может принимать определенные,
фиксированные значения (множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное).
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга (бесконечное несчетное множество
значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси).
Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой (X, Y),
ее конкретные значения – строчными буквами (x, y).
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Распределение дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений х1, х2,…, хn.
И заданы вероятности появления указанных значений р1, р2, , рn.
Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде
таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически. Простейшая форма задания
закона распределения дискретной случайной величины – этой таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины
и соответствующие их вероятности, то есть:
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
События Х = х1, Х = х2,…, Х = х
образуют полную группу. Следовательно,
n
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения
одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.
22
Интегральной функцией распределения называют функцию
)(xF
)()( xXPxF <=
]1;0[
1)
(0 ≤
≤ xF
)
()
(
12
xF
x
F ≥
12
xx ≥
);( ba
)()()( aFbFbXaP −=<<
∑
=
=+++=
n
i
iinn
pxpxpxpxXM
1
2211
...)(
.9,
11,042,03
4,021,01
2,00 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
x
M
ССМ
=)(
)()( XCM
CX
M =
, определяющую
для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение,
меньшее x, т. е.
. (2.1)
Интегральная функция обладает следующими свойствами:
Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку
.
Свойство 2. Интегральная функция есть неубывающая функция, т. е.
если
.
Следствие. Вероятность того, что случайная величина X примет значение,
заключенное в интервале
, равна приращению интегральной функции на этом
интервале:
. (2.2)
График функции распределения дискретной случайной величины имеет
ступенчатый вид.
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма
произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.
:
,
Математическое ожидание случайной величины – это постоянная величина,
которая показывает, какое значение случайной величины можно ожидать в среднем при
проведении серии опытов.
Например, на склад ежедневно поступает не более четырех телевизоров. Известны
вероятности их поступления
р0 = 0,2, р1 = 0,1, р2 = 0,4, р3 = 0,2, р4 = 0,1.
Тогда, математическое ожидание числа поступлений телевизоров равно
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
. (2.4)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
. (2.5)
(2.3)
23
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин
)()()(
YMXMXYM
=
)(
)
()( YMXMYXM +=+
[ ]
2
)()(
XMXMXD
−=
[ ]
2
2
)()()(
XMXMXD
−=
0)( =
CD
)()(
2
XDCCXD
=
)()
(
)(
YD
XD
YXD
+
=+
)()(
XD
X
=σ
равно произведению их математических ожиданий.
(2.6)
Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме матема-
тических ожиданий слагаемых.
(2.7)
Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.
Следствие. Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от ее
математического ожидания равно нулю.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
ожидания:
(2.8)
Однако на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т. к.
приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким
вычислениям. Поэтому применяется другой способ.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата
случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.
(2.9)
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2.10)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его
в квадрат.
2.11)
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий
этих величин.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется
квадратный корень из дисперсии.
(2.12)
2.13)
24
Распределение непрерывной случайной величины
)()(
xXPxF
<=
1)(0 ≤≤
xF
)
()(
12
xF
xF
≥
12
xx
≥
)(
)(
)(
aFbFbXaP
−=<≤
).()(
xFxf
′
=
Для характеристики непрерывной случайной величины используется функция
распределения вероятностей.
Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х
примет значение, меньшее х, т. е. Х < x, обозначим через F(x).
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность
того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
. (2.14)
Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения.
Свойства функции распределения.
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:
(2.15)
2. F(x) – неубывающая функция:
при
(2.16)
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное
в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
(2.17)
4. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс беско-
нечности функция распределения равна единице:
5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно опре-
деленное значение, равна нулю.
Кроме функции распределения для непрерывных случайных величин вводится
понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x):
(2.18)
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для опи-
сания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения
F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за
исключением, может быть, конечного числа точек.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет
значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности
распределения, взятому в пределах от a до b:
25
∫
=<<
b
a
dxxfbXaP
)()(
(2.19)
∫
∞
−
=
x
dxx
f
x
F
)
()
(
0)( ≥
xf
.1)
( =
∫
∞
∞−
dxxf
∫
=
b
a
dxxxfXM
)()(
∫
∞
∞−
=
dxxxfXM
)()(
∫
∞
∞−
−=
dxxfXM
xXD
)()]([)(
2
Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная
величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и
x = b.
Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность
распределения, по формуле:
(2.20)
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
(2.21)
2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от – ∞ до ∞
равен единице:
(2.22)
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные
значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определенный интеграл
(2.23)
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой
оси, то математическое ожидание находится по формуле:
(2.24)
При этом конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожи-
дание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического
вычисления дисперсии используется формула:
(2.25)
26
∫
∞
∞−
−=
22
)]([)()(
XMdxxfxXD
(2.26)
)()(
XDX
=σ
),(jiyx
),(jiyxp
),1;,1( mjni ==
X
Y
1
x
2
x
...
n
x
1
y
),(11yxp
),(12yxp
...
),(
1
yxp
n
2
y
),(
21
yxp
),(
22
yxp
...
),(
2
yxp
n
... ...
... ...
...
m
y
),(
1 m
yxp
),(
2 m
yxp
...
),(
mn
yxp
)(
j
xXP =
j
x
i
y
)(
i
yYP =
Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии:
(2.27)
Многомерные случайные величины
Двумерной называют случайную величину (X, Y) возможные значения которой
есть пары чисел (x, y). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют
систему двух случайных величин.
Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой
дискретны.
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют
перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел
,
. Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным
и их вероятностей
входом:
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно
найти законы распределения каждой из составляющих. Для того чтобы найти вероятность
, надо просуммировать вероятности «столбца
», получим вероятность
.
». Сложив вероятности «строки
Двумерную случайную величину (X,Y) (дискретную или непрерывную) можно
задать с помощью функции распределения F(x,y), которая определяет вероятность того,
что X примет значение, меньшее x, Y — меньшее y:
F(x,y) = P(X<x,Y<y). (2.28)
В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения
определяется по формуле:
, (2.29)
где суммирование вероятностей распространяется на все i, для которых xi < х, и все j, для
27
которых yj<у.
Отметим свойства функции распределения двумерной случайной величины,
аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины.
1. Функция распределения F(х, у) есть неотрицательная функция, заключенная
между нулем и единицей, т. е. 0 < F(x, y) < l.
2. Функция распределения F(х, у) есть неубывающая функция по каждому из
аргументов, т. е.
при х2 > х1 F(х2, у) ≥ F(x1, у),
при у2 > у1 F(х, у2) > F(x, y1) (2.30)
3. Если хотя бы один из аргументов обращается в – ∞, функция распределения
F(х, у) равна нулю, т. е.
F(x,- ∞) = F(-∞, у) = F(-∞,-∞) = 0. (2.31)
4. Если один из аргументов обращается в + ∞, функция распределения F(х, у)
становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей
другому аргументу:
F(x,+ ∞) = F1 (x)
F(+ ∞,y) = F2 (y) 2.32)
где F1(x) и F2(y) – функции распределения случайных величин X и Y.
5. Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения равна единице:
F(+∞,+ ∞) = l.
Двумерная случайная величина (X, Y) называется непрерывной, если ее функция
распределения F(x, y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из
аргументов, и существует вторая смешанная производная F´´(x, y).
Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью)
непрерывной двумерной случайной величины (X, У) называется вторая смешанная
частная производная ее функции распределения, т. е.
(2.33)
Плотность распределения f(х, у) обладает следующими свойствами:
1. Плотность распределения двумерной случайной величины неотрицательна,
т. е. f(x,y)> 0.
2. Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D равна двойному
интегралу от плотности по области D, т. е.
28
(2.34)
3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена
через ее плотность распределения по формуле:
(2.35)
4. Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах
от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице, т. е.
(2.36)
5. Плотности распределения одномерных составляющих X и У могут быть найдены
по формулам:
(2.37)
Случайные величины X, Y называются независимыми, если независимыми
являются события X < x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае
случайные величины (X, Y) называются зависимыми.
Теорема. Общее необходимое и достаточное условие независимости двух
случайных величин: F (x, y) = F(x) · F(y) для любых вещественных x и y.
Теорема. Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных
случайных величин: f (x, y) = f (x) · f (y).
Теорема. Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных
случайных величин: P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi)∙ P(Y = yj)
Замечание. Равенство нулю коэффициента корреляции является необходимым
и достаточным условием независимости компонент X, Y двумерной нормальной слу-
чайной величины (X, Y).
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Математическим ожиданием двумерной случайных величин (X, У) называется
совокупность двух математических ожиданий MX и МУ, определяемых равенствами:
если (Х, У) – дискретная система случайных величин
29
и если (X, У) – непрерывная система случайных величин
xy
µ
X
Y
)]}()][({[ YMYXMXM
xy
−−=
µ
( ) ( ) ( )
YMXMXYM
xy
⋅−=
µ
( )
( )
∑∑
= =
=
min
j
ijij
yxpyxXYM
1 1
,
( ) ( ) ( )
YMXMXYM
xy
⋅−=
µ
( )
dxdyyxхyfXYM
∫ ∫
∞∞−∞
∞−
= ),(
Дисперсией системы случайных величин (Х, У) называется совокупность двух
дисперсий DX и DУ, определяемых равенствами:
если (X, У) – дискретная система случайных величин
и если (X, У) – непрерывная система случайных величин
(2.41)
(2.38)
(2.39)
(2.40)
Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий
и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся
корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом
случайных величин
и
называют
математическое ожидание произведения отклонений этих величин:
. (2.42)
Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют
формулу:
, где
(2.43)
Для вычисления корреляционного момента непрерывных величин используют
формулу:
, где
(2.44)
Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами
X и Y.
Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y и называют отношение
корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих
30