Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
В
– студент не сдаст три экзамена: В= Ā1∙ Ā2∙ Ā3. События Ā1, Ā2, Ā3 –
)(1АР
Н
)(
2
А
Р
Н
)(
3
А
Р
Н
)(1АР
Н
)(2АР
Н
)(3АР
Н
)()()()()()(
)()(
)(
321
1
1
321
1
Н
Р
АРН
Р
АРНР
АР
НРАР
НР
ННН
Н
А
⋅+⋅+⋅
⋅
=
56,0
036,0
04,05,0
)(
1
≈
⋅
=НР
А
56,0)(
1
≈НР
А
независимые события.
Р(В) = (1-0,1)∙(1-0,2)∙(1-0,3) = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.
Искомая вероятность равна из (1.7):
Р(В) = 1 - Р(В) = 1-0,504 = 0,496
Ответ: Р(В) ≈ 0,496.
Задание 3.
Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые
комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50% всех комплектующих деталей, второй – 20%, третий – 30% деталей. Известно, что качество
поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака
составляет 4%, второго – 5%, третьего – 2%. Определить вероятность того, что деталь,
выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной. Определить вероятность
того, что выбранная деталь была получена от первого поставщика, если она оказалась бракованной.
Решение. Обозначим события: A – «выбранная деталь бракованная», Hi –
«выбранная деталь получена от i-го поставщика», i = 1, 2, 3. Гипотезы H1, H2, H3 образуют
полную группу несовместных событий.
По условию P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3;
= 0,04;
= 0,05;
= 0,02.
Для первого случая вероятность события A вычислим по формуле полной
вероятности (1.11):
P(A) = P(H1) ·
+ P(H2) ·
+ P(H3) ·
=
= 0,5 · 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02 = 0,036
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной, равна
0,036.
Во втором случае событие А уже произошло – выбранная деталь оказалась
бракованной. Для нахождения вероятности того, что деталь получена от первого
поставщика, найдем по формуле Бaйеса (1.12):
Получим:
Ответ: P(A) = 0,036;
.
11
Задание 4. Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р
Задание а)
I данные
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
N = 10, m = 7,
P = 0,25
N = 400, m = 190,
P = 0,45
N = 1000, m = 2,
P = 0,01
N = 800, m1 = 500, m
= 600, p = 0,65
( )
( )
mnmm
nn
qpCmP
−
=
pq −= 1
( )
( )
( )
003078,0421875,00000608,0
321
1098
75,025,0
!710!7
!10
7
3771077
1010
=⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
≅⋅⋅
−
==
−
qpCP
( )
( )
x
npq
mP
n
ϕ
⋅=
1
( )
x
ϕ
01,1005,1
99
10
99
180190
55,045,0400
45,0400190
≈==
−
=
⋅⋅
⋅−
=
−
=
npq
np
m
x
( )
2396,001,1 =
ϕ
( )
02408,02396,0
55,045,0400
1
190
400
≅⋅
⋅⋅
=P
появления события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А
появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
2
Решение. Рассматриваемые в задаче испытания относятся к схеме Бернулли.
Задание а), I данные.
N = 10, m = 7, p = 0,25, q = 0,75. Так как n невелико, то в данном случае применима
формула Бернулли (1.13).
Вероятность того, что в n испытаниях событие А появится m раз равна:
, где
Подставим данные в формулу и произведем расчет:
Задание а), II данные.
N = 400, m = 190, p = 0,45, q = 0,55. Так как n и m велики, а npq = 400∙0,45∙0,55 =
99>20, то в этом случае используем формулу локальной теоремы Лапласа (1.15).
Вероятность того, что в n испытаниях событие А появится m раз равна:
, где
Аргумент х локальной функции Лапласа вычисляется по формуле:
По таблице Приложения Б найдем
– локальная функция Лапласа.
.
.
.
Тогда для вероятности того, что в N испытаниях событие А появится m раз имеем:
.
Задание а), III данные.
12
n = 1000, m = 2, p = 0,01. Так как n велико, а вероятность р мала, то в этом случае
( )
λ
λ
−
≅ e
m
mP
m
n
!
1001,01000 =⋅=⋅= pn
λ
72,2≈e
(
)
0023,0
21
100
!2
10
2
1515
2
1000
≈
⋅
=≈
−−
eeP
400
1
=m
600
2
=m
1
m
2
m
(
) ( )
( )
xФxФmmP
n
′
−
′
′
=
21
;
( )
x
Ф
48
,1
182
20
182
520
500
35,065,0
800
65,0800500
1
−
≅
−
=
−
=
⋅⋅
⋅−
=
⋅−
=
′
npq
pn
m
x
93,5
182
80
182
520600
35,065,0800
65,0800600
2
≅=
−
=
⋅⋅
⋅−
=
⋅−
=
′′
npq
pnm
x
( ) ( )
48,1−=
′
ФхФ
(
) ( )
93,5
ФхФ =
′′
( ) ( ) ( ) ( )
( )
9306,04306
,050,048
,193
,548,193,5600;
500
800
=+=+
=
−−
= ФФФФР
( )
003078,07
10
=Р
( )
02408,0190
400
=Р
( )
0023,02
1000
=Р
( )
9306,0600;500
800
=Р
используем формулу Пуассона (1.14) редких событий. Тогда вероятность того, что в
N испытаниях событие А появится m раз равна:
, где
не превышает 10,
Подставив данные, получим для вероятности следующее выражение:
Значение вероятности можно найти в таблице Приложения А
Задание б).
а
n = 800, m
, то необходимо использовать интегральную теорему Лапласа (1.16), согласно
= 500, m2 = 600, p = 0,65, q = 0,35. Так как n велико и
1
которой вероятность того, что N испытаниях событие А произойдет от
, где
– интегральная функция Лапласа.
Аргументы интегральной функции Лапласа вычисляются по формулам:
до
.
,
раз равна:
По таблице Приложения Б найдем значения интегральной функции Лапласа для
найденных значений аргумента:
и
Имеем:
Ответы:
;
;
;
1.3. Варианты заданий для типового расчета № 1
Вариант 1, 11, 21.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
В отделе работают семь мужчин и три женщины. В командировку отобраны пять
человек. Определить вероятность того, что среди них две женщины.
.
.
.
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вероятности того, что нужная формула имеется в первом, втором, третьем
справочнике соответственно равны 0,85; 0,6; 0,7. Найти вероятности того, что формула
13
содержится:
n = 9; p = 0,7; m = 5
n = 90; p = 0,9;
m = 85
n = 1000; p = 0,009;
m = 2
n = 400; p = 0,8;
m1 = 280;m2 = 330
а) только в одном справочнике;
б) хотя бы в одном справочнике.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
В ящике лежат 100 радиодеталей первого, 200 – второго и 300 – третьего сорта.
Доля нестандартных деталей среди первосортных составляет 5%, среди второсортных –
10%, а среди третьесортных – 25%. Найти вероятность, что случайно выбранная из ящика
деталь стандартная. Найти вероятность, что выбранная деталь первого сорта, если
известно, что она оказалась стандартной.
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Вариант 2, 12, 22.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
Среди двадцати пяти студентов, из которых пятнадцать девушек, разыгрываются
четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность
того, что среди обладателей билета окажутся три юноши?
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его вни-
мания потребует первый станок равна 0,3, второй – 0,35, третий – 0,15. Найти вероятность
того, что в течение смены внимания рабочего потребуют:
а) какой-либо один станок;
б) хотя бы один станок.
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С.
На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%.
Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 5%
и С – 6%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная? Какова
вероятность того, что наугад взятая деталь фирмы В, если известно, что она стандартная?
14
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
n = 6; p = 0,6; m = 3
n = 100; p = 0,85;
m = 80
n = 5000; p = 0,001;
m = 1
n = 300; p = 0,7;
m1 = 240; m2 = 280
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления события
А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Вариант 3, 13, 23.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
Совет директоров состоит из трех бухгалтеров и четырех менеджеров. Планируется
создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что из троих в подкомитете
будут два менеджера?
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вероятность того, что пришедший в библиотеку студент закажет учебное пособие
по теории вероятностей равна 0,05. Найти вероятность того, что среди троих первых
студентов, пришедших в библиотеку,
а) только один закажет учебное пособие по теории вероятностей;
б) хотя бы один студент закажет учебное пособие по теории вероятностей.
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
В студенческой группе двадцать человек. Из них четыре человека сдали экзамен по
высшей математике на «отлично», одиннадцать на «хорошо» и пять на «удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0,9, для
хорошиста 0,8, для троечника 0,7. Определить вероятность того, что наудачу выбранный
студент не решит задачу. Определить вероятность того, что наудачу выбранный студент –
хорошист, если известно, что он не решил задачу.
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
15
Задание а)
n = 7; p = 0,4; m = 4
n = 500; p = 0,75;
m = 360
n = 1200; p = 0,005;
m = 2
n = 700; p = 0,6;
m1 = 400; m2 = 460
n = 8; p = 0,2; m = 5
n = 450; p = 0,8;
m = 250
n = 1500; p = 0,002;
m = 3
n = 250; p = 0,9;
m1 = 160; m2 = 190
I данные
Вариант 4, 14, 24.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
На складе имеется 15 телевизоров, причем 10 из них изготовлены заводом «Ф».
Найти вероятность, что среди четырех выбранных наудачу телевизоров три не изготовлены на заводе «Ф».
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Студент записан в три библиотеки, в которых он разыскивает нужную ему книгу по
комбинаторике. Вероятность найти книгу в первой библиотеке равна 0,2, во второй – 0,7,
в третьей – 0,5. Найти вероятность того, что книгу можно найти:
а) только в одной библиотеке;
б) хотя бы в одной библиотеке.
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
В группе спортсменов двадцать лыжников, шесть велосипедистов и четыре бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0,9, для велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
спортсмен не выполнит норму. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
спортсмен – велосипедист, если известно, что он не выполнил норму.
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
Вариант 5, 15, 25.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
В папке 10 квитанций, три из которых заполнены неверно. Наудачу извлечены
шесть квитанций. Найти вероятность того, что среди извлеченных – две квитанции
заполнены неверно.
16
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
n = 8; p = 0,6; m = 4
n = 340; p = 0,65;
m = 160
n = 4000;
p = 0,001; m = 2
n = 310; p = 0,65;
m1 = 190; m2 = 220
Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность
своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,9 и в
третье – 0,8. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты;
б) хотя бы одно отделение получит газеты.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
В первой корзине семь яблок и девять груш, во второй – два яблока и четыре
груши, в третьей – одиннадцать яблок и четыре груши. Из наугад выбранной корзины
взяли один фрукт. Найти вероятность того, что это груша. Какова вероятность того, что
выбранная таким образом груша была в третьей корзине?
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Вариант 6, 16, 26.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
В группе тринадцать студентов, среди которых пять отличников. По списку нау-
дачу отобраны восемь студентов. Найти вероятность того, что среди них трое отличников.
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по
каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Найти вероятность
своевременного выполнения контрольной работы студентом:
а) по одной дисциплине;
б) хотя бы по одной дисциплине.
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из
первой группы второго курса четыре студента, из второй группы шесть студентов, из
третьей группы пять студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей
группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,6, 0,9, 0,5. Найти
17
вероятность того, что наудачу выбранный студент не попадет в сборную. Найти
n = 7; p = 0,8;
m = 3
n = 380; p = 0.9;
m = 350
n = 1000;
p = 0,009; m = 2
n = 530; p = 0,75;
m1 = 350; m2 = 400
вероятность того, что наудачу выбранный студент из третьей группы, если известно, что
он не попал в сборную.
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Вариант 7, 17, 27.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
В компьютерном классе десять машин, семь из которых подключены к сети
Internet. Наудачу выбраны три машины. Найти вероятность того, что одна из них
подключена к сети Internet.
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором,
третьем ящике соответственно равны 0,7, 0,5, 0,9. Найти вероятность того, что деталь
содержится:
а) только в одном ящике;
б) хотя бы в одном ящике.
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С.
На долю фирмы А приходится 45% общего объема поставок, В – 25% и С – 30%.
Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 8%
и С – 7%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной?
Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена
от фирмы А?
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
18
Задание а)
n = 6; p = 0,8;
m = 2
n = 195; p = 0,95;
m = 170
n = 1000; p = 0,007;
m = 2
n = 470; p = 0,8;
m1 = 380; m2 = 420
n = 5; p = 0,7;
m = 3
n = 230; p = 0,75;
m = 160
n = 1600;
p = 0,005; m =1
n = 480; p = 0,8;
m1 = 320; m2 = 400
I данные
Вариант 8, 18, 28.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
Устройство содержит семь элементов, из которых три изношены. При включении
устройства включаются случайным образом три элемента. Найти вероятность того, что
включенными окажутся два изношенных элемента.
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется
бракованной после первой операции равна 0,05, после второй – 0,07, после третьей – 0,1.
Найти вероятность того, что после:
а) одной операций деталь окажется бракованной,
б) хотя бы одной операций деталь окажется бракованной; предполагая, что
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
появление брака на отдельных операциях – независимые события.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 30%
всех изделий, вторая 50%, третья 20%. Брак составляет соответственно 7%, 6% и 10%.
Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь стандартная? Какова
вероятность того, что случайно выбранная деталь произведена второй машиной, если
известно, что она стандартная?
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
чены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных только одна
бракованная.
Вариант 9, 19, 29.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
В ящике содержится десять деталей, из них четыре бракованные. Наудачу извле-
19
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
n = 9; p = 0,6;
m = 5
n = 800; p = 0,6;
m = 550
n = 2000;
p = 0,003; m = 3
n = 370; p = 0,85; m
= 250; m2 = 310
Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства.
Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,85, второе – 0,95,
третье – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает:
а) только одно устройство; ) хотя бы одно устройство.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
В студенческой группе двадцать пять человек. Из них пять человек сдали экзамен
по высшей математике на «отлично», двенадцать на «хорошо» и восемь на «удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0,9, для
хорошиста 0,8, для троечника 0,7. Определить вероятность того, что наудачу выбранный
студент решит задачу. Определить вероятность того, что наудачу выбранный студент–
троечник, если известно, что он решил задачу.
Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
Производятся n независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления
события А в них. Какова вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) m раз при различных данных;
б) от m1 до m2 раз.
Задание а)
I данные
Задание а)
II данные
Задание а)
III данные
Задание б)
1
Вариант 10, 20, 30.
Задание 1. Классическое определение вероятности.
Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным
образом отобрано пять сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных
окажется в черте города три сбербанка.
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент
ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй – 0,6, на третий – 0,8. Найти вероятность
того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить:
а) только на один вопрос;
б) по крайней мере на один вопрос.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
На заводе изготавливают комплектующие детали. Первая машина производит 25%
всех изделий, вторая – 35%, третья – 40%. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 10%.
20