Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
Если система разрешима относительно производных искомых функций:
=
=
=
),...,,,(
....................................
),...,,,(
),...,,,(
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
yyyxf
dx
dy
yyyxf
dx
dy
yyyxf
dx
dy
=
=
=
),...,,(
....................................
),...,,(
),...,,(
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
yyyf
dx
dy
yyyf
dx
dy
yyyf
dx
dy
1
y
f
i
∂
∂
2
y
f
i
∂
∂
n
i
y
f
∂
∂
(4.25)
то такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка,
а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Если правые части уравнений нормальной системы (4.25) не зависят от x, т. е.
система имеет вид
(4.26)
то такая система называется автономной, или стационарной системой.
Порядок системы дифференциальных уравнений равен наивысшему из порядков
уравнений, входящих в эту систему.
Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков
можно привести к нормальной системе вида (4.25).
Теорема Коши (существования и единственности решения для системы (4.25)
Если правые части уравнений системы, то есть функции fi(x,y1,y2,…,yn), где i = 1,2,…,n,
а также их частные производные
в некоторой области G, то для любых начальных значений переменных x0 , y10 , y
,
,…,
непрерывны по всем переменным
, … ,
20
yn0 , принадлежащих области G, существует единственное решение y1 = y1(x), y2 = y2(x), …,
yn = yn(x) системы, удовлетворяющее этим начальным условиям: y1(x0) = y10 , y2(x0) = y20 ,
… , yn(x0) = yn0.
воряющие системе уравнений (2) и данным начальным условиям:
Проинтегрировать систему – значит определить функции y1, y2,,…,yn, удовлет-
y1(x0) = y10 , y2(x0) = y20 , … , yn(x0) = yn0.
71
Процесс нахождения решений системы дифференциальных уравнений называется
=
=
=
),...,,,(
......................................
),...,,,(
),...,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
CCCxy
CCCxy
CCCxy
ϕ
ϕ
ϕ
интегрированием системы.
Геометрический смысл нормальной системы дифференциальных уравнений
заключается в том, что нормальная система вида (4.25) задает поле направлений в (n+1)мерном пространстве. Причем в любой точке данного поля направление касательной
к интегральной кривой совпадает с направлением этого поля.
Общим решением системы дифференциальных уравнений называется система
функций
, (4.27)
непрерывно дифференцируемых по независимой переменной x и непрерывных относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. При этом указанные функции φi, i =
1,2,…,n должны обращать систему дифференциальных уравнений в систему тождеств
и из них должны получаться все возможные частные решения.
Частным решением системы дифференциальных уравнений называется такое
решение системы, которое получается из общего решения при некотором наборе всех
произвольных постоянных, включая ±∞.
Особым решением системы дифференциальных уравнений называется такое решение системы, которое не получается из общего решения ни при некотором наборе произвольных постоянных, включая ±∞.
Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений формулируется следующим образом. Среди всех решений дифференциальных уравнений найти
то, которое удовлетворяет поставленным начальным условиям:
y1(x0) = y10 , y2(x0) = y20 , … , yn(x0) = yn0. (4.28)
Геометрически это означает, что из семейства интегральных кривых, являющихся
решением системы дифференциальных уравнений, нужно выбрать ту, которая проходит
через точку с заданными координатами: (x0, y10, y20, … , yn0).
Решение системы дифференциальных уравнений первого порядка методом
исключения неизвестных
Для решения системы дифференциальных уравнений существует множество способов. Один из них состоит в том, что система n дифференциальных уравнений первого
порядка сводится к одному уравнению первого порядка. Этот способ называется методом
исключения неизвестных.
72
Метод исключения основан на следующем утверждении: нормальная система n
....
12
2
11
1
11
2
1
2
dx
dy
y
f
dx
dy
y
f
dx
dy
y
f
x
f
dx
yd
n
n
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
dx
dy
dx
dy
dx
dy
n
,...,,
21
).,...,,(
12
2
1
2
n
yyxF
dx
yd
=
),...,,,(
213
3
1
3
n
yyyxF
dx
yd
=
),...,,(
....................................
),,...,,(
),,...,,(
1
1
12
2
1
2
11
1
nn
n
n
n
n
yyxF
dx
yd
yyxF
dx
yd
yyxf
dx
dy
=
=
=
1
1
1
2
1
2
1
,...,,
−
−
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
dx
дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-го порядка. Следовательно, можно исключить в системе все
неизвестные функции, кроме одной, и получить одно дифференциальное уравнение n-го
порядка. Свести нормальную систему к одному уравнению можно дифференцированием
одного из уравнений системы и последовательным исключением всех неизвестных, кроме
одного.
Интегрирование системы вида (4.25) производится следующим образом.
1. Дифференцируем по x первое из уравнений системы (4.25):
(4.29)
(используется формула полной производной для функции нескольких переменных)
2. Заменяем производные
(4.25). Получим уравнение:
Дифференцируя это уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:
Продолжая далее таким же образом, получим, наконец, уравнение
Итак, мы получаем следующую систему:
их выражениями f1, f2,,…, fn из уравнений
(4.30)
. (4.31)
n
yd
1
=
n
1
yyxF
).,...,,(
nn
(4.32)
(4.33)
3. Из первых n-1 уравнений определим y2, y3,,…,yn, выразив их через x, y1
и производные
:
73
),
,...,,,(
......................................
),,...,,,(
),,...,,,(
)1(
111
)1(
11133
)1(
11122
−
−
−
′
=
′
=
′
=
n
nn
n
n
yyyxy
yyyxy
yyyxy
ϕ
ϕ
ϕ
4. Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (4.33), получим уравнение
).,...,,,(
)1(
111
1
−
′
Φ=
n
n
n
yyyx
dx
yd
).,...,,,(
2111
n
CCCxy ψ
=
1
1
1
2
1
2
1
,...,,
−
−
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
).
,...,,,(
...................................
),...,,,(
),...,,,(
21
2133
2122
nnn
n
n
C
CCxy
C
CCxy
CCCxy
ψ
ψ
ψ
=
=
=
,...
.............................................
,...
,...
2211
2222121
2
1212111
1
nnnnn
n
nn
nn
yayaya
dx
dy
yayaya
dx
dy
yayaya
dx
dy
+++=
+++=
+++=
n-го порядка для определения y1:
5. Решая это уравнение, определим y1:
6. Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные
как функции от x, C1, C2,,…,Cn.
7. Подставляя эти функции в систему (5.4), определяем y2, y3,,…,yn:
(4.34)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным
условиям y1(x0) = y10 , y2(x0) = y20 , … , yn(x0) = yn0, остается лишь найти из уравнений (4.36)
и (4.37) соответствующие значения постоянных C1, C2,,…,Cn (подобно тому, как это
делалось в случае одного дифференциального уравнения).
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Метод Эйлера
Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений
(4.38)
74
где коэффициенты aij – постоянные. Здесь x – аргумент, y1(x), y2(x),…yn(x) – искомые
kx
n
n
kxkx
eAyeAyeAy === ,...,,
2211
.)...
(
.........................................................
,)...(
,)...(
2211
22221212
12121111
kx
nnnnn
kx
n
kx
nn
kx
kx
nn
kx
eAaAaAaekA
eAaAaAaekA
eAaAaAaekA
+++=
+++=
+++=
.
0)
(
...
...........
....................
....................
,
0...
)
(
,0
...)(
2
2
11
22
2
2121
12
2
1111
=−+
++
=
++
−
+
=+
++−
nnnn
n
nn
nn
Ak
aA
aAa
AaA
ka
A
a
Aa
AaA
ka
.
)(....
................
....
....
)(
21
22221
11211
kaaa
akaa
aaka
k
nnnn
n
n
−
−
−
=∆
0)(...)()(
21
≡=== xyxyxy
n
функции. Система (4.38) называется однородной системой линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка,
которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (4.38) и другим
методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более
наглядно анализировать характер решений и носит название метода Эйлера.
Будем искать частное решение системы в следующем виде:
. (4.39)
Требуется определить постоянные A1, A2, …,An и k так, чтобы функции A1ekx,
A2ekx,…,Ane
kx
удовлетворяли системе уравнений (4.38).
Подставляя их в систему (4.38), получим:
(4.40)
Сократим на ekx . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при
A1, A2,…, An, получим систему уравнений
(4.41)
Выберем A1, A2,…, An и k такими, чтобы удовлетворялась система (4.41). Эта
система есть система линейных алгебраических уравнений относительно A1, A2,…, An.
Cоставим определитель системы (4.41):
(4.42)
Если k таково, что определитель ∆ отличен от нуля, то система (4.41) имеет только
нулевые решения A1 = A2 =…= An = 0, а, следовательно, формулы (4.39) дают только
тривиальные решения:
. (4.43)
75
Таким образом, нетривиальные (ненулевые) решения вида (4.39) мы получим
.0
....
................
....
....
21
22221
11211
=
−
−
−
kaaa
akaa
aaka
nnnn
n
n
.,...,,
)()(
2
)(
1
i
n
ii
AAA
;,...,,
111
)1()1()1(
2
)1(
2
)1(
1
)1(
1
xk
nn
xkxk
eAyeAyeAy ===
;,...,,
222
)2()2()2(
2
)2(
2
)2(
1
)2(
1
xk
nn
xkxk
eAyeAyeAy ===
.,...,,
)()()(
2
)(
2
)(
1
)(
1
xk
n
n
n
n
xk
nn
xk
nn
nnn
eAyeAyeAy ===
,...
...........................................................
,...
,...
)()2(
2
)1(
1
)(
2
)2(
22
)1(
212
)(
1
)2(
12
)1(
111
21
21
21
xk
n
nn
xk
n
xk
nn
xk
n
n
xkxk
xk
n
n
xkxk
n
n
n
eACeACeACy
eACeACeACy
eACeACeACy
+++=
+++=
+++=
только при таких k, при которых определитель (4.41) обращается в нуль. Мы приходим к
уравнению n-го порядка для определения k:
(4.44)
Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (4.38), его
корни называются корнями характеристического уравнения, или характеристическими
числами.
Рассмотрим несколько случаев.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные.
Обозначим через k1, k2,,…,kn корни характеристического уравнения. Для каждого
корня ki напишем систему (4.41) и определим коэффициенты
Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным
единице. Таким образом, получаем:
для корня k1 частным решением системы (4.38) является:
для корня k2 частным решением системы (4.38) является:
для корня kn частным решением системы (4.38) является:
Найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений,
следовательно, общее решение системы можно записать в виде:
(4.45)
где C1, C2,,…,Cn – произвольные постоянные. Легко показать, что можно найти
такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным
начальным условиям.
2. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть
кратные.
76
Если корень k имеет кратность r, тогда этому корню соответствуют решения вида:
,
1
β
α i
k
+=
.
2
βα
ik
−
=
),,...,2,1(,
)()1()1(
njeAy
xi
jj
==
+
βα
).,...,2,
1(,
)()2
()2
(
n
jeAy
xi
jj
==
−
βα
)1(
j
A
)2
(
j
A
),sincos(
),sincos(
)2()1(
)2(
)2()1()1(
xxey
xxey
jj
x
j
jj
x
j
βλβλ
βλβλ
α
α
+=
+=
)2()1(
)2()1(
,,,
jj
jj
λλλλ
)1(
j
A
)2
(
j
A
ууу
*
+=
у
ˆ
y1=P1(x)ekx, y2 =P2(x)ekx, …, yn=Pn(x)ekx, (4.46)
где Pi(x) − полиномы степени не выше r.
Среди коэффициентов этих полиномов r коэффициентов являются произвольными,
а остальные выражаются через них. Полагая один из этих произвольных коэффициентов
равным единице, а остальные нулю, получаем r линейно независимых частных решений,
соответствующих данному r-кратному корню k характеристического уравнения.
3. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть
комплексные.
Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных
сопряженных корня:
Этим корням будут соответствовать решения
(4.47)
(4.48)
Коэффициенты
и
определяются из системы уравнений (4.41).
Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения:
(4.49)
где
– действительные числа, определяемые через
Соответствующие комбинации функций (4.49) войдут в общее решение системы.
4. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные кратные.
и
.
Решение проводится по схеме, приведенной в пункте 2. Каждый раз после
получения комплексного решения проводится выделение действительной и мнимой
частей.
4.2. Образец решения типового расчета № 4
Задание 1. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3y' −10y = (4x3 – 1)e2x
Решение. Общее решение ЛНДУ 2-го порядка равно
произвольного частного решения у* и общего решения
соответствующего однородного
, т. е. сумма его
уравнения.
77
Находим
у
ˆ
xx
eсeсу
2
2
5
1
ˆ
+=
−
x
exPxу
⋅
⋅⋅=
2
1
)(*
x
exbxbxbxbу
⋅
⋅⋅+⋅+⋅+⋅=
2
0
2
1
3
2
4
3
)(*
[ ]
001
2
12
3
23
4
3
2
)22()23()24(2()*( bxbbxbbxbbxbeу
x
+⋅++⋅++⋅++=
′
⋅
[ ]
1
0012
2
123
3
23
4
3
2
24)486()41212()416(4()*( bbxbbbxbbbxbbxbeу
x
++⋅+++⋅+++⋅++=
′′
⋅
143
)146()2112
(28
3
012
2
23
3
3
−=+⋅++⋅++
⋅ xbxbbxbbxb
−
=
=
+
=
+
=
13
0146
02112
428
0
12
23
3
b
bb
bb
b
7
1
3
=
b
147
12
2
−
=b
1029
36
1
=b
3
1
0
−=b
x
exxxxу
223
3
1
343
12
147
12
7
1
* ⋅
−⋅+⋅−⋅⋅=
соответствующего однородного уравнения y" + 3y' −10y = 0.
Характеристическое уравнение k2 + 3k – 10 = 0 имеет корни k1 = -5,
k2 = 2. Значит, по таблице 4.1 общее решение однородного уравнения:
Находим частное решение у* исходного уравнения.
В данном примере правая часть имеет «специальный вид» f(x) = Рn(х)е
где P(x) = 4x3-1, α = 2.
Корни характеристического уравнения k2 + 3k-10 = 0 соответствующего
однородного уравнения y" + 3y' −10y = 0 равны: k1 = −5, k2 = 2.
Как видим, α = k2 и α ≠ k1, т.е. α является простым корнем характеристического
уравнения.
Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде
, где P1(x) = b3∙x3 + b2∙x2 + b1∙x + b0.
Тогда
Находим первую и вторую производные от у*:
.
х
α
,
,
Подставляем полученные выражения для у*, (у*)' и (у*)'' в заданное дифференциальное
уравнение, делим обе части уравнения на e2x и приводим подобные члены. Получаем:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях
равенства, придем к системе уравнений относительно неизвестных коэффициентов
Из которой следует, что
,
,
,
.
Таким образом, получаем искомое частное решение заданного дифференциального
уравнения
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
78
xxx
eсeсexxxxу
2
2
5
1
223
3
1
343
12
147
12
7
1
++⋅
−⋅+⋅−⋅⋅=
−
.
( )
( ) ( )
dt
dx
xx
xdt
dx
xx
x
xx
tdt
xd
2
21
2
1
21
1
21
2
1
2
53,604,1153,604,1153,604,11 ⋅+−
∂
∂
+⋅+−
∂
∂
++−
∂
∂
=
2
1
2
dt
xd
−= 0
dt
dx
1
04,11
dt
dx
2
53,6+
dt
dx
1
dt
dx
2
21
53,604,11 xx +−
21
12,523,9 xx −
Задание 2. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений,
удовлетворяющее заданным начальным условиям х1(0) = 60, х2(0) = 60, используя метод
исключения неизвестных и метод Эйлера.
Решение.
I. Найдем решение этой системы методом исключения неизвестных.
1). Дифференцируем по t первое уравнение системы:
Получим:
.
2). Заменяем в правой части полученного уравнения производные
выражениями
подобные члены.
В результате имеем линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
В результате получаем систему уравнений:
3) Из первого уравнения системы выражаем х2:
и
их
,
из заданной системы и приводим
(*)
Тогда, подставив х
во второе уравнение, получим:
2
79
или
dt
dx
1
ktkt
eAхeAх
2211
, ==
=−−+
=+−−
0)12,5(23,9
053,6)04,11(
21
21
AkA
AAk
Решаем это уравнение. Характеристическое уравнение имеет вид
λ2 + 16,16λ − 3,75 = 0, откуда λ1 = 0,23, λ2 = -16,39.
Тогда, по таблице 4.1 общее решение имеет вид:
х
1
= C1e
0,23t
+ C2e
-16,39t
.
Дифференцируем последнее равенство
и подставляем найденное значение
в уравнение (*):
Следовательно, общее решение системы определяется формулами:
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным условиям. Полагая t = 0,
будем иметь: х1(0) = C1 + C2 = 60, х2(0) = 1,73C1 – 0,82C2 = 60, откуда C1 = 42,82, C2 =
17,18.
Таким образом, частное решение имеет вид:
х1 = 42,82e
х2 = 74,08e
0,23t
+ 17,18e
0,23t
– 14,09e
-16,39t
-16,39t
,
.
II. Найдем решение исходной системы методом Эйлера, так как исходная система
содержит линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Будем искать частное решение системы в следующем виде:
Требуется определить постоянные A1, A2 и k так, чтобы функции A1ekx,
A2ekxудовлетворяли исходной системе уравнений.
Получим систему уравнений
80