Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
Лекция 7
Замечание. Часто на практике трудно установить, обладает
ли поток перечисленными выше свойствами. Поэтому были найдены и другие условия, при соблюдении которых поток можно
считать простейшим или близким к простейшему. В частности,
установлено, что если поток представляет собой сумму очень
большого числа независимых стационарных потоков, влияние
каждого из которых на всю сумму (суммарный поток) ничтожно
мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему.
7.3.Процессгибелииразмножения
Рассмотрим еще одну типичную схему непрерывных марковских цепей – так называемую схему гибели и размножения,
часто встречающуюся в разнообразных практических задачах.
Марковский процесс с дискретными состояниями S0, S1,
S2, .... Sn называется процессом гибели и размножения, если все
состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из
средних состояний (S1, S2, ..., S
седние состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно,
а крайние состояния (S0 и Sn) переходят только в соседние состояния (рис. 7.1). Переход вправо связан с размножением единиц,
а влево – с их гибелью, λ0(t), λ1(t), λ2(t), …, λ
размножения, μ1(t), μ2(t), …, μn(t) – интенсивности гибели.
) может переходить только в со-
n-1
(t) – интенсивности
n-1
Рис. 7.1. Марковский процесс с дискретными состояниями
Название процесса взято из биологических задач, где состояние популяции Sk означает наличие в ней k единиц особей.
У интенсивностей λ и μ индекс будет того состояния, из которого стрелка выходит. С состоянием Sk связана неслучайная величина Хk: если система S в момент времени t находится в состоянии
Sk, то дискретная случайная величина X(t), связанная с функци-
- 101 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
PPkn
⋅⋅⋅
λλ λ
онированием системы, принимает значение k. Таким образом,
получаем случайный процесс X(t), который в случайные, заранее
неизвестные моменты времени скачком изменяет свое состояние.
Марковским процессом гибели и размножения с непрерыв-
ным временем называется такой случайный процесс, который мо-
жет принимать только целые неотрицательные значения. Изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени, т.
е. в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу,
либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.
В практике встречаются процессы чистого размножения и
чистой гибели. Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности
всех потоков гибели равны нулю; аналогично процессом чистой
«гибели» называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.
При постоянных интенсивностях потоков гибели и размножения и конечном числе состояний будет существовать стационарный режим. Система S c конечным числом состояний (п + 1),
в которой протекает процесс гибели и размножения с постоянными интенсивностями потоков гибели и размножения, является простейшей эргодической системой. Размеченный граф состоянии для такой системы представлен на рисунке 7.2.
Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося
в стационарном режиме, определяются по следующим формулам:
...
k
...
−
k
⋅=
0
,1, 2, ...
. (7.6)
01 1
=
k
µµ µ
12
⋅⋅⋅
Рис. 7.2. Граф состояний эргодической системы
P
0
λµλλ
1=+ +
⋅
0101
⋅
µµ
12
- 102 -
λλ λ
++
...
⋅⋅⋅
...
01 1
⋅⋅⋅
µµ µ
...
12
−
11
п
−
. (7.7)
п
12
⋅
,,
12
′
=−
Лекция 7
Правило.
Вероятность k-го состояния в схеме гибели и размножения
равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее S
произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее S
ноженной на вероятность крайнего левого состояния системы Р
Легко заметить, что в формулах (7.6) для P
эффициенты при P
– это слагаемые, стоящие после единицы
0
, а в знаменателе –
k
, P2, …, Pn ко-
1
, ум-
k
0
в формуле (7.7). Числители этих коэффициентов представляют
собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок,
ведущих слева направо до данного состояния S
(k = l, 2,..., n),
k
а знаменатели – произведения всех интенсивностей, стоящих у
стрелок, ведущих справа налево из состояния S
(рис. 7.2).
k
Пример 2.
Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 3).
Найти предельные вероятности состояний для системы S.
Рис. 7.3. Граф состояний системы S
Решение
► 1 способ
По формуле (7.7) найдем:
−
⋅
34
⋅
1
,
0 706=++
=
.
1421
P
1
0
По формуле (7.6) получим:
1
РР
0 706 0176
4
21
⋅
34
0 706 0 118== =
,
,
=,,
т. е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6 %
времени система будет находиться в состоянии S
, 17,6 % –
0
в состоянии S1 и 11,8 % – в состоянии S2.
► 2 способ
Составляем дифференциальные уравнения Колмогорова:
ppp
4
1
,
.
- 103 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
pp
32
′
()
23
′
=−
40
−=
+−⋅=
23
−=
1++=
17
17
17
e
0>
te
te
ρλ
te
t ≥ 0
pp
21
324
=+ −+⋅
ppp
323
.
, (8)
Приравнивая производные к нулю, получим систему алгебраических уравнений, описывающую стационарный режим
системы S:
pp
21
pp p
36 0
13 2
230
pp
ppp
123
.
, (7.9)
,
.
Решая эту систему, находим
12
p
=
1
3
p
=
;
2
2
p
=
;
.
3
Как и следовало ожидать, получаем тот же ответ, т. е., система S в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6 %
времени будет находиться в состоянии S
S
и 11,8 % – в состоянии S2.
1
, 17,6 % – в состоянии
0
7.4.Экспоненциальноераспределение
При пуассоновском распределении вероятность отсутствия
событий на отрезке (0,t) равна
личина
ность
t
– время наступления первого события, то вероят-
1
Pt
{}
>=
1
t
−
λ
, тогда
Pt
{}11<=−
t−
λ
. Поэтому, если случайная ве-
t
−
λ
. (7.10)
Дифференцирование (7.10) по t приводит к формуле плотности распределения экспоненциального закона:
Это означает, что экспоненциальный закон представляет собой непрерывный аналог геометрического распределения – времени наступления первого события (успеха, первой заявки, рекламации и т. д.)
()
λ
t=−
- 104 -
,
. (7.11)
{}{}
te
≥ 0
Лекция 7
Показательное распределение случайного времени ожидания
возникает в ситуации, когда ожидание в течение времени s не
влияет на то, сколько еще придется ждать, т. е.
Pr strs Pr t
что и приводит к выражению
>+ >= >
Pr
{}>=
, (7.12)
t
−
λ
t
,
.
Выводы
В лекции рассмотрены важные частные случаи марковских
процессов, называемых потоками событий: простейший поток,
описываемый формулой Пуассона; нестационарный пуассоновский поток, а также процесс гибели и размножения. Показано,
при каких условиях пуассоновское распределение преобразуется в экспоненциальное.
Вопросы для самопроверки
1. Какую случайную функцию называют пуассоновским
потоком?
2. Какими свойствами обладает простейший поток?
3. Какой процесс называется марковским?
4. Какими свойствами обладает марковский процесс?
5. Привести примеры марковских процессов.
6. Как строится граф состояний системы?
7. Какие процессы можно иллюстрировать с помощью графа состояний?
8. Какими формулами описывается простейший поток?
9. Может ли Пуассоновский процесс быть цепью Маркова?
10. Как найти предельные вероятности состояний для системы?
Литература: 5, 7, 12, 16, 18.
- 105 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
8. ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕМЕТОДЫ
ВКРИПТОГРАФИИ
План
8.1. Применение простых чисел в криптографии.
8.2. Проверка простоты натуральных чисел.
8.3. Обзор методов факторизации целых чисел.
8.4. О порядке вычислительной сложности алгоритмов
факторизации.
8.5. Описание некоторых эффективных алгоритмов факторизации.
8.1.Применениепростыхчиселвкриптографии
На современном этапе развития информационного общества
применение простых чисел получило широкое распространение
в области защиты информации. В первую очередь это вызвано
изобретением криптографии с ассиметричным ключом, применяющейся в алгоритмах электронной цифровой подписи как
одной из основных областей, где нашли практическое применение простые числа. На данный момент размер простых чисел,
используемых при формировании цифровой подписи с использованием эллиптических кривых, составляет: в соответствии
с ГОСТ Р 34.10-2012 не менее 254 бит (предлагается использование 512 битных ключей), а в ECDSA и стандарте подписи
Германии не менее 160 бит. Определить простоту чисел с такой
разрядностью посредством использования простых способов
нахождения начального списка простых чисел (решето Эратосфена, решето Сундарамаи, решето Аткина), вплоть до некоторого значения, не предоставляется возможным вследствие низкой
скорости работы данных алгоритмов и использования немалых
вычислительных ресурсов системы.
Впрочем, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число
простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты.
- 106 -
Лекция 8
()
n
()
4
2n
Все существующие алгоритмы тестирования чисел на про-
стоту можно разделить на два класса.
► Первый класс – это вероятностные тесты, которые
позволяют определить простоту числа с некоторой достаточно
низкой вероятностью ошибки. Среди них можно выделить следующие, наиболее эффективные тесты простоты:
а) тест Ферма, базирующийся на малой теореме Ферма.
Весьма эффективен в обнаружении составных чисел, тем
не менее существуют составные числа, которые ведут
себя как простые в малой теореме Ферма, не являясь при
этом таковыми. Такие числа называются кармайкловыми.
Вероятность ошибки теста составляет εk, где k – число
итераций теста,
n
ϕ
ε
≤
.
Здесь φ(n) – Функция Эйлера, n – проверяемое число. Ре-
комендуется совершать где-то 50 итераций данного теста;
б) тест Соловея – Штрассена, основанный на различии
между символами Якоби и Лежандра. Тест всегда корректно определяет, что простое число является простым,
но для составных чисел с некоторой вероятностью он
может дать неверный ответ. Вероятность ошибки составляет εk, где k – число итераций теста,
ϕ
n
ε
≤
1
<
.
Основное преимущество этого теста заключается в том,
что он, в отличие от теста Ферма, распознает числа Кармайкла как составные. Улучшение алгоритма данного
теста, предложенное А. А. Балабановым, А. Ф. Агафоновым и В. А. Рыку, за счет перехода к вычислению величины, являющейся обратной символу Якоби, позволяет
его ускорить, особенно при работе с числами порядка до
30 бит, почти в 1000 раз. Несмотря на это, достоверность
теста Соловея – Штрассена не является достаточной,
вместо него часто используется тест Миллера – Рабина;
- 107 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
log
ε
()
4n
On
On
в) тест Миллера – Рабина, так же как и предыдущие тесты,
являющийся вероятностным тестом, однако реализующимся на ЭВМ эффективнее теста Соловея – Штрассена;
также вероятность ошибки у теста Миллера – Рабина гораздо ниже, чем у первых двух тестов. Обычно для опознания простого числа достаточно одной итерации теста,
но все же рекомендуемое количество итераций должно
быть порядка
ность ошибки теста на одной итерации составляет
n
, где n – проверяемое число. Вероят-
2
ϕ
n
≤
,
то есть верхняя граница ошибки на одной итерации для
теста Миллера – Рабина в 2 раза меньше аналогичной
для теста Соловея – Штрассена и в 4 раза – для теста
Ферма. Теоретическая сложность вычислений всех вышеперечисленных тестов оценивается как
(log )
.
3
Вероятностные тесты в большинстве случаев применяют в
связке с другими тестами (метод простого деления и тест Миллера – Рабина), а также между собой. Например, тест BPSW на
простоту чисел был получен благодаря объединению тестов
Миллера – Рабина и Лукаса – Селфриджа. К алгоритму этого
теста не было найдено ни одного контрпримера, равно как и не
было найдено доказательств его абсолютной точности.
► Второй класс – это детерминированные тесты, дающие
гарантированно точный ответ: является простым исследуемое
число или нет. Несмотря на это, детерминированные тесты не
получили широкого практического применения вследствие
сложности алгоритмов их реализации и ввиду того, что они работают с определенными группами простых чисел (Мерсенна,
Прота, Ферма и т. д.). Исключением является тест Агравала –
Каяла – Саксены, который на данный момент является единственным детерминированным, полиноминальным, универсальным тестом простоты чисел, время работы которого в
соответствии с последними улучшениями алгоритма стремится
3
к
(log )
.
- 108 -
Лекция 8
В криптографических алгоритмах одной из важнейших задач
является умение быстро отличить простое число от составного.
Вероятностные тесты больше удовлетворяют данному требованию, их скорость не имеет себе равных среди детерминированных тестов, да и случай возникновения ошибки имеет настолько
малый процент вероятности, что при проведении подряд нескольких таких тестов стремится к нулю. Тест на простоту Миллера – Рабина является самым эффективным из вероятностных
тестов, так как в совокупности с методом «простого деления» он
зарекомендовал себя как наиболее используемый в криптографии для тестирования больших случайных чисел на простоту,
и самым используемым в алгоритмах формирования цифровой
подписи. Тем не менее даже в случае дальнейшей доработки и
улучшения детерминированного теста Агравала – Каяла – Саксены (увеличения скорости его выполнения), он может занять
лидирующую позицию среди тестов проверки простоты чисел.
8.2.Проверкапростотынатуральныхчисел
Тест простоты – это алгоритм, который по заданному натуральному числу определяет, простое ли это число. Различают
детерминированные и вероятностные тесты.
Практическое применение детерминированных тестов затруднено из-за их большой вычислительной сложности. В связи с этим на практике чаще используются вероятностные тесты
простоты.
К категории вероятностных тестов относятся: тест Ферма;
тест Миллера – Рабина; тест Соловея – Штрассена; тест Бейли – Померанца – Селфриджа – Уогстаффа; квадратичный тест
Фробениуса (англ.); тест Лемана.
Наиболее используемыми являются такие вероятностные
тесты простоты, как тест Ферма; тест Миллера – Рабина; тест
Соловея – Штрассена:
► а) тест простоты Ферма в теории чисел – это тест
простоты натурального числа n, основанный на малой теореме Ферма.
- 109 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
Если n – простое число, то оно удовлетворяет сравнению
n-1
b
mod n = 1 для любого b. В тесте выбирается m случайных чи-
сел b и для каждого из них проверяется выражения b
Если для всех b
(i = 1..m) выражение истинно, то вероятность
i
n-1
mod n = 1.
того, что n – составное число, равна 1/2m.
Выполнение сравнения является необходимым, но не достаточным признаком простоты числа. Если хотя бы для одного b
сравнение невыполнимо, то n – составное, в противном случае
ничего определенного сказать нельзя. Если для составного n вы-
n-1
полняется сравнение b
mod n = 1, то число n называют псев-
допростым по основанию b. Например, числа Кармайкла – со-
n-1
ставные числа, для которых сравнение b
mod n = 1 выполняется
для всех b взаимно простых с n. Чисел Кармайкла бесконечное
множество, наименьшее число Кармайкла – 561 = 3 ∙ 11 ∙ 17.
При использовании алгоритмов быстрого возведения в степень по модулю время работы теста Ферма для одного a оценивается как O(log2n ∙ log log n ∙ log log log n), где n – проверяемое
число. Обычно проводится несколько проверок с различными a.
Пример 1.
Каков квадратный корень из 1 mod n, если n равно 8 (составное)?
Решение
Имеется три решения: 1, 3, 5 и 7 (которые дают –1). Мы можем также видеть, что
2
= 1 mod 8 (–1)2 = 1 mod 8
1
2
= 1 mod 8 (–5)2 = 1 mod 8
3
Пример 2.
Каков квадратный корень из 1 mod n, если n равно 17 (простое)?
Решение:
Имеются только два решения, соответствующие поставленной задаче: это 1 и (–1).
2
= 1 mod 17 (-1)2 = 1 mod 17
1
2
= 4 mod 17 (-2)2 = 4 mod 17
2
2
= 9 mod 17 (-3)2 = 9 mod 17
3
2
= 16 mod 17 (-4)2 = 16 mod 17
4
2
= 8 mod 17 (-5)2 = 8 mod 17
5
2
= 2 mod 17 (-6)2 = 2 mod 17
6
- 110 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]