Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
()
()
()
()
PP
=→∞lim()
Pt1()
Ptn()
Лекция 6
Величина λijPi{t) называется потоком вероятности перехода
из состояния Si в Sj, причем интенсивность потоков λij может зависеть от времени или быть постоянной.
Уравнения (6.6) составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом:
производная вероятности каждого состояния равна сумме всех
потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (6.6),
нужно задать начальное распределение вероятностей
P10
, …,
P
0
i
, …,
P
0
. Для решения часто применяют чис-
n
P00
ленные методы.
6.6.Предельныевероятностисостояний
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно
долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей Pi(t) при t→∞. В некоторых случаях существуют финальные (предельные) вероятности состояний:
i
i = 0, 1, …, n, не зависящие от того, в каком состоянии система S
находилась в начальный момент. Говорят, что в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого
она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний Р
уже не меняются. Система, для которой существуют фи-
i
нальные вероятности, называется эргодической, а соответствующий случайный процесс эргодическим.
Финальные вероятности состояний (если они существуют)
могут быть получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнении Колмогорова, если приравнять производные к
нулю, а вероятностные функции состоянии
, …,
вых частях уравнений (6.6) заменить соответственно на неизвестные финальные вероятности Р1,..., Рn.
Таким образом, для системы S c n состояниями получается
система п линейных однородных алгебраических уравнений с n
неизвестными Р1, …, Рп, которые можно найти с точностью до
t
, где
i
t
в пра-
,
- 91 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
PP
λλ
53
PP
()
λλλ
14
произвольного множителя. Для нахождения точного значения
Р0, Р1,…, Рп, к уравнениям добавляют нормировочное условие
Р0 + Р1 + …+ Рп = 1, пользуясь которым можно выразить любую
из вероятностей Рi через другие и отбросить одно из уравнений.
Пример. Имеется размеченный граф состояний системы S
(рис. 6.4). Необходимо составить систему дифференциальных
уравнении Колмогорова и записать начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент
система находилась в состоянии S1.
Рис. 6.4. Размеченный граф состояний системы
Решение
Начальные условия при t = 0 имеют вид:
Р1 = 1; Р2 = Р3 = Р4 = Р5 = 0.
Согласно приведенному мнемоническому правилу, система
дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид (6.7):
dP
1
=⋅+⋅−⋅−⋅
λλ
PP
dP
dt
dP
31 341121 14 1
dt
dP
2
=⋅−⋅
λλ
PP
12 1232
dt
3
=
λ
⋅− ⋅+ ⋅+ ⋅
PP
223 2413 34 33
4
=⋅+⋅−⋅−
λ
14 1343 54 54
dt
dP
5
=⋅−⋅
dt
λλλ
PPP
PP
λλ
35 3545
- 92 -
(6.7)
⋅
P
1
Pt1()
Ptn()
PP
14
+⋅
λλ
λλ
PP
PP
Лекция 6
Рассмотрим, что произойдет с системой S, описываемой дифференциальными уравнениями Колмогорова, при t → ∞. Извест-
но, что в случае сообщающихся состояний функции
, …,
стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний системы S. Финальные вероятности не зависят от времени. Поэтому в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части уравнений (производные) принимают
равными нулю. При этом система дифференциальных уравнений
превратится в систему линейных алгебраических уравнений.
Для нашего примера система (6.7) будет иметь вид
0
=⋅+⋅−⋅−⋅
λλλλ
0
0
PP
31 341121 14 1
0
=⋅−⋅
λλ
PP
12 1232
=⋅−⋅
λλ
PP(
23 241
=⋅+⋅−⋅−⋅
λλ
PP
14 1343 54 54
0
=⋅−
λλ
P
35 354
+⋅
33343 35 3
⋅⋅
P
5
)
Решая ее, с учетом условия Р0 + Р1 + …+ Рп = 1, получим все
предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой
не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.
Для существования финальных вероятностей одного условия
= const недостаточно, требуется выполнение еще некоторых
λ
ij
условий, проверить которые можно по графу состояний, выделив в нем так называемые существенные и несущественные состояния.
Состояние S называется существенным, если нет другого состояния S
из S
, т. е. такого, что, перейдя однажды каким-то способом
j
в Sj, система уже не может вернуться в Si. Все состояния, не
i
обладающие таким свойством, называются несущественными.
Так, в примере, представленном на рисунке 6.5, состояния S
и S5 – несущественные, так как из S1, можно уйти, например,
S
2
в состояние S
и не вернуться, аналогично из состояния S5 – в состояние
или S
4
и S7. Состояния S3, S4, S6 и S7 – существенные состояния.
S
6
и не вернуться, а из состояния S2 – в состояние S3
2
1
,
- 93 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
Рис. 6.5. Размеченный граф системы
Теорема.
При конечном числе состояний для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого
существенного состояния можно было (за какое-то число шагов)
перейти в каждое другое существенное состояние.
Граф из примера рисунка 6.5 этому условию не удовлетворяет, так как из существенного состояния S
существенное состояние S
число состояний S
, S2, ..., Sn, то для существования финальных
1
. Если система S имеет конечное
7
нельзя перейти в
4
вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы
можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое
состояние.
Если число состояний S
, S2, …, Sn бесконечно, то это усло-
1
вие перестает быть достаточным, и существование финальных
вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивности λ
.
ij
Выводы
В лекции рассмотрены основные понятия теории марковских
процессов: марковская цепь, матрица перехода вероятностей,
марковские процессы с непрерывным временем, эргодические
марковские цепи. Приведены уравнения Колмогорова для непрерывных цепей, рассматриваются предельные вероятности
состояний. Приводятся примеры.
- 94 -
Лекция 6
Вопросы для самопроверки
1. Случайные процессы, их траектории, сечение, реализация.
2. Классификация случайных процессов.
3. Основные характеристики случайного процесса.
4. Марковское свойство и марковские случайные процессы.
5. Конечные однородные цепи Маркова.
6. Переходные вероятности.
7. Стационарный случайный процесс в узком и широком
смысле.
8. Стационарное распределение цепи Маркова. Система
уравнений для вычисления стационарного распределения.
9. Эргодическая конечная однородная цепь Маркова.
10. Эргодическое (финальное) распределение.
11. Связь эргодического и стационарного распределений.
12. Марковский однородный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.
13. Переходные вероятностные функции.
14. Уравнения Колмогорова – Чепмена.
15. Интенсивности переходов.
16. Непрерывность и дифференцируемость переходных вероятностных функций.
17. Решение систем уравнений Колмогорова для марковского процесса с конечным множеством состояний, их бесконечная дифференцируемость.
Литература: 6, 7, 10, 16, 17.
- 95 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
λ
λ
7.ПУАССОНОВСКИЙСЛУЧАЙНЫЙПРОЦЕСС
План
7.1. Потоки событий. Простейший поток.
7.2. Нестационарный пуассоновский поток.
7.3. Процесс гибели и размножения.
7.4. Экспоненциальное распределение.
7.1.Потокисобытий.Простейшийпоток
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т. д.)
Поток характеризуется интенсивностью
ления событий или средним числом событий, поступающим в
СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха
(с постоянной скоростью) является регулярным.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Интенсивность
стационарного потока является постоянной величиной. Например, поток автомобилей на городском проспекте в течение
суток не является стационарным, но его можно считать стационарным в часы пик, так как хотя фактическое число автомобилей, проходящих в единицу времени, может различаться, но
среднее их число постоянно и не зависит от времени.
При исследовании непрерывных марковских цепей, как было
уже отмечено, часто бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков
событий. Различают следующие основные свойства, которыми
могут обладать случайные потоки событий:
• стационарность;
• ординарность;
• отсутствие последействия.
– частотой появ-
- 96 -
Лекция 7
Стационарность. Свойство стационарности проявляется
в том, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени t зависит только от длины участка и не
зависит от расположения на оси ot. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока
событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным.
Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остается постоянным. Реальные потоки событий в экономике предприятия
являются в действительности стационарными лишь на ограниченных участках времени.
Ординарность. Поток называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого
участка.
Свойство ординарности означает, что за малый промежуток
времени практически невозможно появление более одного события. Реальные потоки событий в различных экономических
системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приведены к ординарным.
Отсутствие последействия. Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени
количество событий, попадающих на один из них, не зависит от
того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия.
Под интенсивностью потока понимают
τ
mtt
+
lim
τ
→∞
(, )
τ
, (7.1)
λ
t
=
()
где m(t, t +τ) – среднее число событий в (t, t +τ).
Поток событий называется простейшим (или стационарным
пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен
и не имеет последействий.
- 97 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
te
kt
Pe
−
λ
Pt
−
λ
et
tt
[]
−−
λλ
()
2
Интенсивностью потока λ называют среднее число событий,
которые появляются в единицу времени. Можно доказать, что
если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность
появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона
−
λ
()
t
()
=
Pk
λ
⋅
. (7.2)
k
!
Эта формула отражает все свойства простейшего потока.
Действительно, из формулы видно, что вероятность появления k событий за время t, при заданной интенсивности является
функцией k и t, что характеризует свойство стационарности.
Формула не использует информации о появлении событий до
начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия.
Убедимся, что формула отражает свойство ординарности.
Положив k = 0 и k = 1, найдем соответственно вероятности непо-
явления событий и появления одного события:
()0 =
t
t
()1 =
,
t
t
e
λ
.
Следовательно, вероятность появления более одного события
после элементарных преобразований получим
ниях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного
события, что характеризует свойство ординарности.
делью простейшего потока событий.
Pk PP
() () ()>=−+
11 011
ttt
=− +
e
λ
.
Пользуясь разложением
2
t
λ
λ
λ
()
+
...
,
2
!
2
t
...>= +1
.
Сравнивая P
t−
λ
et
=− +
1
Pk
()
t
(1) и Pt(k > 1), заключаем, что при малых значе-
t
Итак, формулу Пуассона можно считать математической мо-
- 98 -
kt
2
!
1
!
,,≥=−<=− =
Лекция 7
Пример 1.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту,
равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит:
а) 2 вызова;
б) менее двух вызовов;
в) не менее двух вызовов.
Поток вызовов предполагается простейшим.
Решение
По условию, λ = 2, t = 5, k = 2. Воспользуемся формулой Пу-
ассона
−
λ
te
⋅
k
!
.
Pk
()
t
()
=
λ
а) искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова,
210
−
e
10
P
2
5
⋅
10000000452 0 00225()
=⋅ =
,/,=
.
Это событие практически невозможно;
б) события «не поступило ни одного вызова» и «поступил
один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения
искомая вероятность того, что за пять минут поступит не
менее двух вызовов, равна
−
10
e
10
Pk PPe
201
555
−
⋅
10
0 000495()() ()
,<= +=+
=
.
Это событие практически невозможно;
в) события «поступило менее двух вызовов» и «поступило
не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее
двух вызовов, такова
Pk Pk
21 210 000495 0 999505() ()
55
.
Это событие практически достоверно.
7.2.Нестационарныйпуассоновскийпоток
Для простейшего потока интенсивность λ = const. Если поток
событий не имеет последействий, ординарен, но не стационарен, то его называют нестационарным пуассоновским потоком, а его интенсивность зависит от времени, т. е. λ = λ (t).
- 99 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
!
,,
at
Т
В пуассоновском потоке событий (стационарном и нестационарном) число событий потока, попадающих на любой участок,
распределено по закону Пуассона:
m
a
−
P
=⋅ =
m
a
em
m
,...,01
(7.3)
где Рт – вероятность попадания на участок т событий; а – сред-
нее число событий, приходящееся на участок.
Для простейшего потока а = λ · τ, а для нестационарного пуассоновского потока
+
τ
t
0
=
где τ – длина участка времени; t
dt
λ
, (7.4)
()
∫
t
0
– начало участка τ.
0
Отметим еще одно важное свойство простейшего потока событий. Промежуток времени t между соседними событиями
распределен по показательному закону, а его среднее значение
и среднее квадратическое отклонение σ равны, т. е.
Т ==
1
σ
. (7.5)
λ
где λ – интенсивность потока.
Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка t уже не является показательным, так как
зависит от положения на оси Ot и вида зависимости λ(t). Однако
для некоторых задач при сравнительно небольших изменениях
λ(t) его можно приближенно считать показательным с интенсивностью λ, равной среднему значению λ(t).
Таким образом, для исследуемой системы S с дискретными
состояниями и непрерывным временем переходы из состояния
в состояние происходят под действием пуассоновских потоков
событий с определенной интенсивностью λ
.
ij
В теории случайных процессов простейший поток в качестве предельного возникает так же естественно, как нормальное распределение вероятностей в качестве предельного для
случайных величин.
- 100 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]