Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
ii
()
σ
()
σ
()
()
11
−
()
−+
nF
−
Лекция 2
Выборочной дисперсией случайной величины Х называется
среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых
значений этой величины от их среднего арифметического
Для вариационного ряда вычисляют средневзвешенную выборочную дисперсию:
v
∑
DX
=
xxm
i
=
1
∑
– интервальная частота; xi – среднее значение для i-го ин-
где m
i
2
−
v
m
=
i
1
,
(2.4)
i
тервала; ν – количество интервалов.
Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же
единицах, что и значение случайной величины, то дисперсия –
в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, взяв
в качестве меры рассеивания выборочное среднеквадратичное
отклонение.
Выборочным среднеквадратичным отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии и обозначается
.
X
X
=
DX
. (2.5)
Модой выборки является значение, имеющее максимальную
частоту. Если вариационный ряд представлен интервалом, то
мода вычисляется по формуле
mm
ii
1
Mxh
=+
00
mm mm
−
()
ii ii
−
+−
(2.6)
,�
где x0 – начало модального интервала, имеющего максимальную
частоту; h – длина интервала; mi – частота модального интервала; m
, m
i-1
– частоты соответственно предшествующего и по-
i+1
следующего интервалов.
Медианой выборки называется значение серединного элемента вариационного ряда. Если вариационный ряд интервальный, то значение медианы вычисляется по формуле
i
Me xh
=+
e
- 31 -
−/21
, (2.7)
m
i
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
Fx
()
()
x
σ
ν
E
σ
E
x
где
содержит серединный элемент; h – длина интервала; F
– начало медианного интервала, т. е. интервала, который
e
– сумма
i-1
частот интервалов, предшествующих медианному; mi – частота
медианного интервала; n – объем выборки.
Но медиану можно вычислить и по-другому. Если на графике
функции
провести горизонтальную прямую, соответствующую накопленной частоте 0,5 до пересечения с этой кривой,
то абсцисса точки пересечения и будет медианой вариационного
ряда Me.
Выборочным коэффициентом асимметрии называется число,
определяемое формулой
М
где
– выборочное среднее,
ческое отклонение;
A
M
– центральный выборочный момент
3
3-го порядка (см. ниже (2.10);
3
=
, (2.8)
3
σ
x
– выборочное среднеквадрати-
x
– число интервалов.
Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон ассиметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины,
имеет более пологий «спуск», чем другая.
В случае отрицательного коэффициента асимметрии пологий «спуск» полигона должен быть слева, в противном случае –
справа. В первом случае асимметрия называется левосторонней,
а во втором – правосторонней.
Выборочным эксцессом, или коэффициентом крутости, называется число
, определяемое формулой
M
M
где
ниже);
=
E
– центральный выборочный момент 4-го порядка (см. (2.10)
4
– выборочное среднее квадратическое отклонение.
x
−43
σ
()
x
, (2.9)
Выборочный эксцесс служит для сравнения на «крутость»
выборочного закона распределения с нормальным распределением. В случае нормального распределения
- 32 -
= 0.
()
х
2
()
11
()
DX
Лекция 2
В случае положительного эксцесса полигон более крутой по
сравнению с нормальным распределением. Если выборочному
распределению соответствует отрицательный эксцесс, то соответствующий полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальным распределением.
Центральным выборочным моментом к-го порядка назы-
вается среднее арифметическое k-х степеней отклонений наблю-
даемых значений случайной величины от среднеарифметиче-
М
М
:
k
v
∑
=
k
xxm
i
=
1
∑
k
−
i
v
m
=
1
i
i
,
(2.10)
i
m
– частота i-го интервала.
i
ского и обозначается
где
– среднеарифметическое; v – количество интервалов;
x
– среднее значение i-го интервала;
i
Для расчета числовых характеристик рекомендуется предварительно рассчитать таблицу значений (см. ниже таблицу 2.2 в
примере п. 2.5).
2.3. Точечнаяиинтервальнаяоценкичисловых
характеристикгенеральнойсовокупности
Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики,
называется ее точечной статистической оценкой. Точечная
оценка должна обладать свойствами состоятельности, несмещенности и эффективности. Для математического ожидания такой
характеристикой является выборочное среднее арифметическое
Mx x=.
(2.11)
Точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная дисперсия
которая вычисляется по выборочной
s
,
дисперсии
Dxn
2
s
=
−
n
n
∑
1
=
так как выборочная дисперсия
n
2
−
xx
i
,
Dx s=
2
, (2.12)
−
является смещенной харак-
теристикой.
- 33 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
θ
ε
> 0
ϑϑ
εγ
) =
ε
12
{}
n
γ
−+
γγ
;.
sq
()
()
()
γγ
γ
.
()
()
()
γγ
Точечные оценки числовых характеристик – лишь приближенные значения. Если для большого числа наблюдений точность приближения бывает достаточной, то для выборок небольшого объема вопрос о точности оценки очень важен.
Решается он следующим образом: по сделанной выборке находится точечная оценка
неизвестной характеристики θ, затем
задаются вероятностью γ и по определенным правилам находят
такое
, чтобы выполнялось соотношение
P(
−
<
. (2.13)
Число
называются доверительными границами, а интервал
называется точностью оценки θ, концы интервала
θθ
;
–
интервальной оценкой характеристики θ, вероятность γ называется доверительной вероятностью, или надежностью интервальной оценки. Надежность γ принято брать 0,95; 0,99; 0,999.
Для вычисления интервальной оценки математического ожи-
дания, если дисперсия известна, используют формулу
ts
γ
ε
=
,
n
t
выбирают по таблицам Стьюдента из приложения в зави-
где
γ
симости от объема выборки (n) и необходимой надежности:
(0,95; 0,99; 0,999), где
среднеквадратичное отклонение.
Интервальная оценка математического ожидания с надежно-
стью
равна
Для вычисления интервальной оценки среднеквадратичного
отклонения, используют таблицы χ
ma x, ;01 1sq
и вероятности
тервал
−
ma x, ;01sq ssq−
+
С вероятностью γ можно утверждать, что ин-
дратическое отклонение.
– объем выборки; s – исправленное
, где
ts
x
n
q
– зависит от объема выборки (n – 1)
γ
+
накроет неизвестное среднее ква-
ts
x
n
2
(хи-квадрат) распределения
- 34 -
;.
()
()
γγ
ii
()
()
xx
ii
()
ik=−0123 1,, ,,..., .
Лекция 2
Для вычисления интервальной оценки дисперсии с вероятно-
стью γ используют формулу
2
ma x,
01sq ssq−
()
2
+
2.4.Понятиеокритерияхсогласия
Статистической называется гипотеза о неизвестном законе распределения случайной величины или о параметрах закона
распределения, вид которого известен.
Пусть имеется статистическое распределение выборки для
случайной величины X:
x
i
n
i
x
1
n
1
x
2
n
2
x
3
n
3
… x
… n
k
k
По виду полигона или гистограммы, сравнивая их с графиками дифференциальных функций распределения, делаем предположение о виде закона распределения случайной величины.
Сделанное предположение (гипотеза) подтверждается расчетами критерия согласия. Имеются различные критерии согласия:
Хинчина, Колмогорова, Пирсона и др. Например, критерий
Пирсона (хи-квадрат)
2
n
2
χ
=
1
=∑i
'
−
nn
'
n
i
позволяет сравнивать близость частот ni данного статистического распределения выборки с теоретическими частотами ni´, найденными с помощью функции распределения предполагаемого
закона по формулам:
'
nnpnPx Xx
== <<
ii ii
nFxFxnF
=
()−()
ii
+
1
≈
xx
ii
=
+
1
+
+
1
2
−
x
+
,
1
Здесь f(x) – дифференциальная, F(x) – интегральная функции
предполагаемого распределения.
- 35 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
B
B
xx
nm
= =60 81,.
()
h
−=
2
/.
Если вычисленное значение критерия χ2 не превосходит не-
которого критического значения χ
2
, взятого по таблице (при-
кр
ложение 3), то выдвинутая гипотеза принимается с заданным
уровнем надежности (вероятности) γ = 1 – α. В противном случае гипотеза отвергается.
В таблице приложения 3 надо иметь в виду, что α – уровень
значимости, это вероятность отвергнуть правильную гипотезу; S –
число степеней свободы, рассчитывается по формуле S = k – 1 – r,
где r – число параметров предполагаемого распределения.
Для нормального распределения (параметры а и σ) r = 2; для
показательного распределения (один параметр λ) число r = 1.
2.5.Решениетиповогопримера
Пусть дана выборка
По выборке
построим интервальный вариационный ряд.
0
Выше были найдены
Интервал вариационного ряда удобно взять h = 2. Начало первого интервала равно
Таблица 2.1
(вариант 0, приведенный выше в п. 2.2).
0
R =−
x
min
mi
−=
ax
Размах
60 22 59
=81 60 21.
- 36 -
()
mn
/
mn
Fx
()
()
=<()
Лекция 2
Для построения графиков полигона и гистограммы мы можем использовать данные частоты
тельные частоты
лов, на оси у – частости
). Изображаем на оси х значения интерва-
i
/
и получаем (рис. 2.1) и (рис. 2.2).
i
Эмпирическую функцию распределения
зуя формулу
Fx PХ x
и накопленные частости из табли-
или частости (относи-
m
i
находим, исполь-
цы 1. Учитываем, что в качестве представителя (x) каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы
интервалов и соответствующие накопленные частости (табл.
2.1) и соединяя эти точки, построим график эмпирической функции распределения (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Полигон вариационного ряда выборки
Рис. 2.2. Гистограмма вариационного ряда выборки
Рис. 2.3. График эмпирической функции распределения выборки
- 37 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
xxi−
()xxi−
2
66
()⋅()
()xx
i
2
()xx
i
3
()xxi−
4
,.
==
,.
()
()
()
,.
Вычислениечисловыххарактеристик
В таблице 2.2 представлены промежуточные расчеты для
определения числовых характеристик выборки:
Таблица 2.2
Интер-
Ср. значе-
валы
59-61 60 1 60 -11,32 128,14 128,14 -1450,57 16419,85
61-63 62 2 124 -9,32 86,86 173,72 -1613,06 15089,72
63-65 64 7 448 -7,32 53,58 372,08 -2745,56 20096,79
65-67 66 16 1056 -5,32 28,30 452,83 -2408,8 12815,08
67-69 68 27 1836 -3,32 11,02 297,54 -87,93 3280,23
69-71 70 40 2800 -1,32 1,74 69,6 -91,6 121,2
71-73 72 38 2736 0,68 0,46 17,48 8,36 8,04
73-75 74 38 2812 2,68 7,18 272,93 731,21 1959,64
75-77 76 18 1368 4,68 21,90 394,24 1844,85 8633,92
77-79 78 9 702 6,58 44,62 401,60 2682,55 17919,46
79-81 80 3 240 8,68 75,34 226,02 1961,85 17028,88
81-83 82 1 82 10,68 114,06 114,06 1218,16 13009,94
ние, x
2 3 4 5 6 7 8 10 12
Частота,
m
i
i
200 ∑14264
ximi(3)·(4)
�
−
m
(7)·(4)
i
∑2923,34 ∑-667,34
m
i
−
(9)·(4)
m
(11)·(4)
i
∑126382,75
Среднее выборочное определяется по формуле
n
xm
n
ii
14264
200
71 32
∑
1
x
===
Выборочная дисперсия определяется по формуле
n
D
()
∑
1
=
2
xxm
−
ii
2923 24
n
200
,
14616
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
=
σ
X
DX
= 12,08.
Моду находим по формуле (2.6)
40 27
M069 2
40 27 40 38
()
−
−
+−
=
70 7=+
- 38 -
,.
85
,.
= =
,.
,.
,.
Лекция 2
Медиану рассчитываем по формуле (2.7)
10093
M071 2
38
−
71 4=+
=
Коэффициент асимметрии находим по формуле (2.8)
А =
12 08 200
667 34
3
,
=
2118
⋅
.
,
,
−
В данном случае полигон асимметричен, пологий спуск сле-
ва, т. е. асимметрия левосторонняя.
Выборочный эксцесс (коэффициент крутости) находим по
формуле (2.9).
=
Е
GX
()
М
4
44
12638275
−=
3
12 08 200
,
()
,
⋅
−=−
3297
Если выборочному распределению соответствует отрицательный выборочный эксцесс, то соответствующий полигон
имеет более пологую вершину по сравнению с нормальным распределением.
Точечнаяоценкахарактеристикгенеральнойсовокупности
Математическое ожидание
Mx x
71 32
Дисперсия наиболее точно оценивается исправленной дисперсией (S2), т. к. выборочная дисперсия является смещенной:
⋅
1
−
14616200
=
⋅=.
199
DX S= =214689
14689=
DX n
2
S
n
Точечная оценка дисперсии
Среднеквадратичное отклонение S =12,12.
Интервальные оценки математического ожидания генеральной совокупности при надежности γ = 0,95, tγ = 1,96; при надежности γ = 0,99, tγ = 2,33; при надежности γ = 0,999, tγ = 3,29
определяются по t-распределению (распределению Стьюдента).
Интервальные оценки математического ожидания генеральной
совокупности таковы:
• при γ = 0,95 интервал
(71,32 – 1,96; 71,32 + 1,96) = (70, 6; 73, 28);
• при γ = 0,99 интервал
(71,32 – 2,33; 71,32 + 2,33) = (68, 99; 73, 65);
- 39 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
;;
()
()
()
γγ
()
(,
ii
()
x
xx
−
ue
• при γ = 0,999 интервал
(71,32 – 3,29; 71,32 + 3,29) = (68, 03; 74, 61).
Интервальная оценка среднеквадратичного отклонения вы-
числяется по формуле
maxs qssq01
−
где q для γ = 0,95 берем из таблицы χ
2
распределения: qγ = 18,493.
,
+
Доверительные интервалы среднеквадратичного отклонения
таковы: для γ = 0,95 интервал (0; 30,613); для γ = 0,99, q
= 20,599
γ
интервал (0; 32,719).
Доверительные интервалы для дисперсии: при γ = 0,95 ин-
тервал (0; 937,15), при γ = 0,99 интервал (0; 1070,5).
Проверкагипотезыонормальномраспределении
генеральнойсовокупностипокритериюПирсона
Приняв гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности признака, выпишем функцию распределения
плотности вероятности с учетом найденных параметров:
fx e
()
1
=
σπ
2
2
xx
−
−
2
2
σ
или
fx e
()
=
,
12 12 2
1
−
π
x
−
27378
71 32
2
)
,
для нашего статистического распределения.
Используя данную функцию, вычислим теоретические частоты распределения по формуле
'
nnp nhf x
==
ii
где р
– вероятность попадания нормально распределенной слу-
i
чайной величины по найденным параметрам
nh
=
()
,
u
φ
σ
и γ в частичный
интервал [αi; βi]:
i
u
=
i
–
σ
вспомогательный промежуточный параметр,
2
µ
−
φ
()
1
=
2
2
–
π
табулированная функция Гаусса, значения которой берутся по
таблице (приложение 1). В силу четности, φ(–u) = φ(u). Так как
h = 2, вычислим значение вспомогательной величины nh/σ. Най-
- 40 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]