Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
Xt
()
()
yx
12
,,
()=()⋅()⋅()
tt
xx
12
()
()
σσ
()
1
()
хх
21
,,
()=()
()
()
Лекция 4
Свойство 5. При умножении случайного процесса
неслучайный множитель
ft
его корреляционная функция ум-
на
ножится на произведение , т. е. если , то
KttftftKtt
12 12
.
Наряду с корреляционной функцией случайного процесса рас-
сматривается также нормированная корреляционная функция.
Нормированной корреляционной функцией случайного про-
цесса называется неслучайная функция r
, t2) двух аргументов
x(t1
t1 и t2, которая при каждой паре фиксированных значений аргу-
ментов t1 и t2 равна коэффициенту корреляции соответствующих
сечений случайного процесса:
Ktt
,
x
rtt
,
=
()
x
12
12
⋅
()
.
Свойстванормированнойкорреляционнойфункции
rttх,
1.
2.
3.
=
.
rtt
х 12
rttrtt
12
1,
≤
.
.
Чем ближе модуль нормированной корреляционной функции к
единице, тем линейная связь между сечениями
Xt
Xt
и
1
2
силь-
нее; чем ближе модуль этой функции к нулю, тем эта связь слабее.
Выводы
В лекции рассмотрены основные понятия теории случайных
процессов, их классификация, законы распределения и основные
характеристики случайных процессов, а также корреляционная и
нормированная корреляционная функции случайного процесса.
Вопросы для самопроверки
1. Дать определение случайной функции.
2. Дать определение случайного процесса.
3 Классификация случайных процессов.
- 71 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
4. Что называют сечением СП?
5. Что называют реализацией СП?
6. Выписать формулу математического ожидания случайной функции.
7. Выписать формулу дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной функции.
8. Перечислить свойства дисперсии и математического
ожидания.
9. Выписать формулу математического ожидания случайной функции.
10. Выписать формулу дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной функции.
11. Перечислить свойства дисперсии и математического
ожидания.
12. Дать определение корреляционной функции.
13. Дать определение автокорреляционной функции
14. Перечислить их свойства.
15. Математическое ожидание случайного процесса.
16. Выписать закон распределения суммы Х + Y двух случайных процессов
17. Выписать формулы основных характеристик случайного
процесса.
Литература: 7, 16, 21.
- 72 -
Лекция 5
(
]
5.СТАЦИОНАРНЫЕСЛУЧАЙНЫЕПРОЦЕССЫ
План
5.1. Стационарный случайный процесс в узком и широком
смысле.
5.2. Эргодичность случайных функций.
5.3. Спектральная плотность.
5.4. Стационарный белый шум.
5.5. Броуновское движение (Винеровский процесс).
5.1.Стационарныйслучайныйпроцесс
вузкомиширокомсмысле
В практике наибольшее применение получили так называемые стационарные случайные процессы, для которых характерно то, что они протекают во времени приблизительно одинаково. Другими словами, случайный процесс X(t) стационарен,
если его характеристики не меняются по оси времени.
Примеры реальных стационарных случайных процессов
• Внешняя флюктуационная помеха, поступающая на вход
приемника.
• Тепловой и дробовой шум, возникающий внутри радиотехнического устройства.
• Колебания напряжения в электрической осветительной сети.
• Число вызовов на АТС за промежуток времени
• Колебания самолета на установившемся режиме горизон-
тального полета.
• Случайные шумы в радиоприемнике
• Процесс качки корабля.
Каждый стационарный процесс можно рассматривать как
продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета
можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить
одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».
0,t
.
- 73 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
KK
xx
()≤()
�
KK
ττ
()
=−
()
Xt
()
�
Xt
()
nn
()
Xt
()
()
()
()
mt
()
12
()
tt
21
−
Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 5.1):
Рис. 5.1. Ансамбль траекторий
Абсолютная величина корреляционной функции стационарного процесса не превышает ее значения в начале координат:
τ
0
. (5.1)
Корреляционная функция стационарного процесса – четная
функция:
�
Рассмотрим n сечений случайного процесса
tt t
моменты времени
,,...,
. Тогда n-мерную функцию распре-
n12
деления случайного процесса
Fxxxtt t
=… …
,, ;,,��
12 12
Случайный процесс
.
n
называется стационарным в уз-
. (5.2)
xx
, взятых в
можно записать в виде
ком смысле, если его n-мерная функция распределения не изме-
tt t
няется при сдвиге всех его временных аргументов
,,...,
n12
на
одинаковую произвольную величину T, т. е. выполняется равенство
FxxxtTtT tT Fxxxtt
,,.; ,, ,, ;, ,�� �� �� �� ��++…+
nn nn n12 12 12 12
Случайный процесс
Xt
ком смысле, если его математическое ожидание
=………
�t
n
. (5.3)
называется стационарным в широ-
постоян-
x
но при всех значениях аргумента t, а корреляционная функция
Ktt
,
x
зависит только от разности аргументов
.
- 74 -
()
()
()
()
22
()=()−()
()
()−()
()
mt
0
()
xx
()
12
=−
Xt
()
τ
()
()
Xt
()
||
()
Лекция 5
Из стационарности в узком смысле следует стационарность в
широком смысле, обратное утверждение неверно.
Так как мы ограничиваемся корреляционной теорией, которая использует только две характеристики случайного процесса
(математическое ожидание и корреляционную функцию), далее
будем рассматривать случайные процессы, стационарные в широком смысле, причем будем называть их просто стационарными.
Напомним, что корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного процесса
Ktt
ция
,
двух аргументов
x 12
фиксированных значений аргументов
ному моменту соответствующих сечений
Xt
называется неслучайная функ-
t
t
и,
которая при каждой паре
2
1
t
t
и
равна корреляцион-
1
2
Xt
Xt
и
1
данного
2
процесса:
Так как
KttMXt mt Xt mt
,
xxx12 11
Xt Xt
() ()
=−
, то формулу (5.4) можно предста-
x
. (5.4)
вить в виде
0
KttMXt Xt MXtXtmtmt
(, )[() () (()()) ()
=⋅
12 1
9
2
12
.
⋅
(5.5)
x
Кроме корреляционной функции, для оценки степени зависимости сечений стационарного случайного процесса используют
еще одну характеристику – нормированную корреляционную
функцию.
Нормированной корреляционной функцией стационарного
случайного процесса
называется неслучайная функция од-
ного аргумента τ, имеющая вид
K
r
()
x
x
τ
=
�
. (5.6)
K
0
x
Абсолютная величина нормированной корреляционной
функции стационарного случайного процесса
не превыша-
ет единицы:
r
τ
≤� 1
x
. (5.7)
- 75 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
�
()
mt
()
()
YtXt() (())=
φ
+
()
5.2.Эргодичностьслучайныхфункций
Xt,
Случайная функция двух переменных
собой ансамбль траекторий. Под эргодичностью X понимают равенство среднего значения X по ансамблю и среднего по времени.
Большинство стационарных случайных процессов обладают
важным для практики эргодическим свойством, сущность которого состоит в том, что по одной достаточно длинной отдельной
реализации можно судить обо всех свойствах процесса, так же
как по любому количеству реализаций, т. е. другими словами,
отдельные характеристики стационарного случайного процесса
К
τ
(
,
x
) могут быть определены как соответствующие
x
средние по времени для одной реализации достаточно большой
продолжительности. Для любой стационарной функции
имеет место формула
tT
0
1
m
y
Ytdt
≈
T
()
∫
t
0
. (5.8)
Связь между классами стационарных и эргодических случайных процессов приведена на рисунке 5.2.
ω
представляет
Рис. 5.2. Связь между классами стационарных процессов
Достаточное условие эргодичности стационарного случайного процесса X(t) относительно математического ожидания и
корреляционной функции имеет вид
lim
τ
=k
0
x
τ
→∞
.
- 76 -
=⋅
ττ
τω
=⋅
=⋅
ττ
=⋅
ω
∈−∞+∞
()=⋅
πδτ
∞=
00
Лекция 5
5.3.Спектральнаяплотность
Преобразование Фурье корреляционной функции стационарно-
го процесса называют спектральной плотностью сигнала X(t).
∞
∗
SKd
xX
1
() ()
ω
∫
π
2
−∞
−
ωτ
i
⋅
KS d
e
;
Соотношения (5.9) суть формулы Винера-Хинчина в ком-
плексной форме, которые вытекают из одноименной теоремы.
ТеоремаВинера-Хинчина
Корреляционная функция и спектральная плотность связаны
между собой взаимно обратными косинус-преобразованиями Фурье:
∞
KS d
() ()cos
τωωτ ϖ
XX
∫
0
SK d
() ()cos
ω
;
XX
Свойства спектральной плотности стационарного случай-
ного процесса:
1) спектральная плотность – неотрицательная функция.
2) интеграл от спектральной плотности в пределах от 0
до ∞ равен дисперсии стационарного случайного процесса.
∞
∫
−∞
∞
∫
0
∗
τω
() ()
XX
2
π
i
e
ωτ
ω
. (5.9)
. (5.10)
5.4.Стационарныйбелыйшум
Белым шумом называется стационарный случайный процесс
X(t), спектральная плотность которого постоянна:
Обратное преобразование Фурье в этом случае приводит к
выражению:
Таким образом, корреляционная функция стационарного
белого шума пропорциональна дельта-функции, коэффициент
S
2π
называют интенсивностью белого шума.
0
Напомним, что определение дельта-функции условно запи-
сывают так:
∗
SSconst
==
X
0
Kt S
приx
��
x
=
()
��
δ
()
X
приx
для
2
≠
, где
0
- 77 -
(,)
. (5.12)
0
∞
δ
∫
−∞
. (11)
=
xdx 1
()
. (5.13)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
τ
≠ 0
<< <...
() (),...
10
−
nn
() ()−
()−
ts−
kk
() ()−
kk
(, )00
ω
=
st
}
{
ρρ
ρδ
(,)( )xx
0 =−
Но тогда корреляционная функция белого ума всегда равна
нулю при любом
, т. е. значения сигнала X(t) и X(t +τ) в
различные моменты времени всегда некоррелированы. В силу
этого осуществить белый шум невозможно, т. е. белый шум –
математическая абстракция, используемая в случаях, когда спектральная плотность случайного процесса примерно постоянна в
определенном интересующем нас диапазоне частот.
5.5.Броуновскоедвижение(Винеровскийпроцесс)
Случайная функция X(t) называется процессом с независи-
мыми приращениями, если для любых
величины
Xt Xt
Xt Xt
Процесс называется однородным, если распределение
Xt Xs()
определяется только разностью
Броуновским движением, или винеровским процессом, называется однородный процесс X(t) с независимыми приращениями, если все
ним 0 и дисперсией
Xt Xt
tt
−
распределены нормально со сред-
−1
. Также предполагается
−1
почти для всех ω.
Винеровский процесс в теории случайных функций занимает
центральное место, так как обладает важными особенностями.
В первую очередь потому, что в предположениях X(0)=0, со
средним E{X(t)}=0 и дисперсией
DXtX
это единственный непрерывный с вероятностью 1 процесс с независимыми приращениями.
Кроме того, процесс броуновского движения является мар-
ковским (см. ниже п. 7.), переходная плотность которого удовлетворяет уравнению диффузии:
∂
∂
=
D
∂
t
∂
решением которого при условии
является функция
ρ
(,)
xt
1
=⋅
e
π
Dt
4
tt t
независимы.
−1
2
,
2
t
y
2
()/( )
xy Dt
−−
4
случайные
n01
.
X
s() ()−
=−
, где (s < t)
.
- 78 -
Лекция 5
Выводы
В лекции рассматриваются стационарные случайные процессы в узком и широком смысле, их корреляционная функция и нормированная корреляционная функция. Обсуждается свойство эргодичности случайных функций. Вводятся понятия спектральной
плотности, стационарного белого шума и частный случай стационарного случайного процесса – броуновское движение.
Вопросы для самопроверки
1. Дать определение стационарного случайного процесса (СП).
2. Выписать формулы основных характеристик стационарного СП.
3. Как вычисляется корреляционная функция стационарного СП?
4. Свойства корреляционной функции стационарного СП.
5. Дать определение нормированной корреляционной
функции СП.
6. Каково ограничение нормированной корреляционной
функции СП?
7. Выписать свойства нормированной корреляционной
функции СП
8. Что называют эргодическим свойством СП?
9. Выписать закон распределения суммы Х+У двух стационарных случайных процессов.
10. Какой процесс называется стационарным в широком,
в узком смысле?
11. Какой процесс называют белым шумом?
12. Какой процесс называют винеровским?
13. Каковы особенности винеровского процесса?
Литература: 6, 7, 16, 17, 21.
- 79 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
xf
nn
()
6.МАРКОВСКИЕСЛУЧАЙНЫЕПРОЦЕССЫ
План
6.1. Основные понятия марковских процессов.
6.2 Марковская цепь и матрица перехода вероятностей.
6.3. Однородные цепи Маркова.
6.4. Марковские процессы с непрерывным временем.
6.5. Эргодические Марковские цепи.
6.6. Предельные вероятности состояний.
6.1.Основныепонятиямарковскихпроцессов
В детерминированных задачах широко используются дина-
x
мические процессы вида
+=1
тие процесса при t > n зависит только от значения
ни была сама последовательность {
гами таких зависимостей служат процессы Маркова.
Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S,
называется марковским (или процессом без последействия),
если он обладает следующим свойством: для любого момента
времени t
(при t > t
вероятность любого состояния системы в будущем
0
) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0)
0
и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в
это состояние.
Марковские процессы являются частным видом случайных
процессов. Особое место марковских процессов среди других
классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан
математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью марковских процессов можно описать (точно или приближенно) поведение достаточно сложных
систем.
Классификация марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функции X(t) и параметра t. Различают следую-
щие основные виды марковских случайных процессов:
, в которых будущее разви-
x
, какова бы
n
x
}. Вероятностными анало-
n
- 80 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]