Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
()
Лекция 2
денные значения теоретических частот округляем до целых чисел. Все вычисления оформляются в дополнительной таблице
(сделать расчеты самостоятельно).
Предварительно рекомендуется объединить между собой соседние малочисленные интервалы, суммируя их частоты, в итоге каждый интервал должен содержать не менее пяти вариантов.
В рассматриваемом примере следует объединить три первых и три
последних интервала. Вычисляем наблюдаемое значение критерия
2
m
2
χ
=
1
=∑i
'
nn
−
ii
'
n
i
и сравниваем его с критическим (табличным).
Выводы
В лекции рассмотрены генеральная совокупность, выборка,
вариационный ряд, методы вычисления числовых характеристик выборки, точечная и интервальная оценки числовых характеристик генеральной совокупности, а также понятие о критериях согласия. Теория подкреплена решением типового примера.
Вопросы для самопроверки
1. Генеральная совокупность и выборка.
2. Дискретный вариационный ряд, ранжирование, частота,
3. Полигон, гистограмма, кумулянта.
4. Интервальный вариационный ряд.
5. Выборочные аналоги интегральной и дифференциаль-
6. Интервальная оценка математического ожидания нор-
7. Методы нахождения точечных оценок.
8. Проверка статистических гипотез.
9. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
10. Критерий Пирсона.
Литература: 7, 20, 21.
частость.
ной функций распределения.
мального распределения при известной и неизвестной
дисперсии.
- 41 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
y
()
xy
()
� yfx
=
()
3. РЕГРЕССИОННЫЙИКОРРЕЛЯЦИОННЫЙ
АНАЛИЗ
План
3.1. Виды зависимостей между случайными величинами Х и У.
3.2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
3.3. Пример вычисления ковариации и коэффициента корреляции для двух случайных величин.
3.4. Парная регрессия и корреляция.
3.5. Решение типового примера.
3.1.Видызависимостеймеждуслучайными
величинамиХиУ
Пусть Х, У – количественные признаки, связанные между собой, x
могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо
статистической, либо быть независимыми.
ветствует единственное значение признака У. Такая зависимость
реализуется редко, так как или одна из них, или обе подвержены
действию случайных факторов. В этом случае возникает статистическая зависимость.
ка Х соответствует статистическое распределение признака У.
, yi – их возможные значения. Две случайные величины
i
Функциональная зависимость – каждому значению Х соот-
Статистическая зависимость – каждому значению призна-
yiy1 y2 … y
nin1 n2 … n
k
k
В частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, статистическую зависимость называют корреляционной.
Корреляционная зависимость – каждому значению признака
Х ставится в соответствие среднее значение признака У (условная
средняя
xy yfx
→⇒=
Уравнение
):
x
xx
x
. Аналогично,
→⇒=
yy
φ
.
yx
– называется уравнением регрессии У на Х.
- 42 -
Лекция 3
xy
=
()
φ
Аналогично,
y
– уравнение регрессии Х на У.
В теории корреляции решаются две основные задачи:
1. Определить форму корреляционной связи, т. е. определить вид уравнения регрессии.
2. Оценить тесноту корреляционной связи.
Все наблюдаемые значения числовых признаков X и У с соответствующими частотами записываются в так называемую корреляционную таблицу.
Пример
У
Х
2 2 – 3 5
4 – 5 9 14
6 4 6 3 13
n
1 3 5 n
6 11 15 n = 32
x
y
Числа 1, 3, 5 (вверху таблицы) показывают наблюдаемые значения признака Х. Числа 2, 4, 6 (левый столбец) показывают наблюдаемые значения признака У.
Числа внутри таблицы показывают частоту появления соответствующей пары значений (Х, У). Например, пара (1; 2) наблюдалась 2 раза, пара (3; 4) – 5 раз, пара (1; 4) не наблюдалась ни
разу (соответствующие им частоты равны 0).
По данным наблюдений вычислены частоты n
n
– частота появления данного значения X,
x
n
– частота появления данного значения У,
y
, ny, n.
x
n – объем выборки (количество всех наблюдаемых пар (Х, У)).
Так, значение Х = 1 наблюдалось 2 + 4 = 6 раз, значение Х = 5 наблю
далось 3 + 9 + 3 = 15 раз, значение У = 6 наблюдалось 4 + 6 + 3 = 13
раз, и т. п. Объем выборки n = 6 + 11 + 15 или n = 5 + 14 + 13 = 32.
В общем виде корреляционная таблица выглядит так:
-
У
Х
y
1
y
2
…
y
m
n
x
x
… x
1 x2
k
n11 n12 … n
n21 n22 … n
……………….
n
m1 nm2
nx1 nx2 … n
… n
1k
2k
mk
xk
- 43 -
n
n
n
n
…
y
y1
y2
ym
n
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
i
=∑1
i
=∑1
m
jj
∑
im
()
()
()
()
()
KMXY MXMY
=
()−() ()
Mp
jy
()
()
∑∑
nxj = n1j + n1j + … + nmj =
= ni1 + ni2 + … + njk =
n
yj
n = n
+ nx2 + … + nxk =
x1
m
n
;
ij
k
n
;
ij
k
n
;
x
j
=∑1
+ ny2 + … + nym =
n = n
y1
n
;
y
i
=∑1
Условные средние по Х:
m
yn
yn yn yn
+++
11 22
y
xx
=
k
kk mmk
=
nn n
+++
12
kk mk
...
...
=
k
=
1
j
n
.
x
k
Условные средние по У:
k
y
xn xn xn
+++
11 22
mm kkm
=
yy
=
k
nn n
+++
12
mm mk
...
...
=
∑
xn
i
1
i
=
n
.
y
m
3.2. Корреляционныймомент
икоэффициенткорреляции
Корреляционным моментом (ковариацией, моментом связи) Kxy случайных величин X и Y называется математическое
ожидание произведения отклонений этих величин:
KMXMXYMY
=−
xy
Из определения следует, что K
Формула для вычисления Kxy:
xy
Для дискретных случайных величин:
⋅−
= Kyx.
xy
.
. (3.1)
KxMy
=−
xy
ij
ix
- 44 -
−
.
ij
−∞∞−∞
KDXK DY
= =;
xy
≤⋅
σσ
Лекция 3
Для непрерывных случайных величин:
∞
KxMyMfxydxdy
=−
xy xy
()
∫∫
−
()
,
()
.
Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая как степень зависимости X и Y,
так и их рассеяние вокруг точки (Mx, My). Об этом, в частности,
свидетельствует следующая теорема.
Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.
Следствие. Если корреляционный момент двух случайных
величин X и Y отличен от нуля, то X и Y – зависимые.
Свойства ковариации:
1. Ковариация симметрична, т. е. Kxy = Kyx.
2. Дисперсия случайной величины есть ковариация ее самой с собой:
xx yy
.
3. Если случайные величины X и Y независимы, то их ковариация равна нулю.
4. Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин
равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих величин.
5. Постоянный множитель можно вынести за знак ковариаций:
6. Ковариация не изменится, если к одной из случайных ве-
7. Ковариация двух случайных величин не превосходит
Коэффициентом корреляции r
называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
cov(cX, Y) = ccov(X, Y) = cov(X, cY).
личин (или к обеим) прибавить постоянную:
cov(X + c, Y) = cov(X, Y) = cov(X + c,Y + c).
произведения их средних квадратических отклонений
K
xy
.
случайных величин X и Y
xy
- 45 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
K
xy
YabX=+
rxy= 0
rxy= 0
=
xy
σσ
,
r
xy
где σx = σ(X), σy = σ(Y).
Так как размерность Kxy равна произведению размерностей
случайных величин X и Y, то rxy – безразмерная величина. Таким
образом, величина коэффициента корреляции r
не зависит от
xy
выбора единиц измерения X и Y, то есть является безразмерной
величиной. Из определения следует, что r
= ryx.
xy
Случайные величины X и Y называются некоррелированными (коррелированными), если их корреляционный момент
= 0 (≠ 0), а следовательно, и коэффициент корреляции rxy ра-
K
xy
вен нулю (отличен от нуля).
Свойства коэффициента корреляции:
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [–1; 1], то есть –1 < r
Чем ближе |r
Если r
xy
xy
> 0, то говорят о положительной корреляции слу-
| к единице, тем теснее связь между X и Y.
< 1.
xy
чайных величин X и Y (при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать).
Если r
< 0, то говорят об отрицательной корреляции X
xy
и Y (при возрастании одной случайной величины другая
имеет тенденцию в среднем убывать).
2. При r
= ±1 между X и Y имеет место точная линейная
xy
функциональная зависимость:
, где rxy = 1 при b > 0 и rxy = –1 при b < 0.
3. Если X и Y независимы, то rxy = 0.
Из независимости случайных величин следует их некоррели-
рованность, но из некоррелированности случайных величин
(
) не вытекает их независимость. Из коррелированности
двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность.
Если
, это означает только отсутствие линейной связи
между этими случайными величинами, любой другой вид связи
при этом может присутствовать.
- 46 -
YX=+
α
∆
Лекция 3
Понятие коэффициента корреляции широко применяется в
теории связи: между передаваемыми и принимаемыми сигналами имеется линейная статическая зависимость:
,
где X – передаваемый сигнал, Y – принимаемый сигнал, α – коэф-
фициент усиления, Δ – помеха. Знание коэффициента корреляции облегчает решение задачи о возможности восстановления X
по Y, так как является характеристикой различимости сигналов.
3.3. Примервычисленияковариации
икоэффициентакорреляции
длядвухслучайныхвеличин
Пример 1. На основе многолетних наблюдений за результатами инвестиций в две компании был построен закон распределения случайных величин Х и Y – размеров годовых дивидендов
(в процентах) от вложений в данные отрасли. Закон представлен
таблицей 3.1. Необходимо определить маргинальные законы
распределений каждой из случайных величин, установить наличие зависимости между ними. Вычислить ковариацию и коэффициент корреляции, а также решить, что менее рискованно:
вкладывать деньги в одну из этих отраслей либо одновременно
в обе в равных пропорциях.
Таблица 3.1
Y
Х
-10 0,05 0,25 0,3 0,6
20 0,15 0,20 0,05 0,4
РY 0,2 0,45 0,35
-10 5 10 Р
В средней части таблицы 1 приведены совместные вероятно-
сти Р(х, у) двух случайных величин. Например,
Р(Х = 20, Y = 5) = р22 = 0,2.
В правом столбце и нижней строке приведены вероятности
случайных величин Х и Y соответственно. Например,
Р(Х = –10) = Рх(–10) = 0,6.
- 47 -
Х
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
216
σ
04
Условная вероятность Р(х/у) определяется по столбцам та-
блицы, а условная вероятность Р(у/х) – по строкам. Например,
Р(20/Y = 5) = Р(Х = 20, Y = 5) /Р(Y = 5) = 0,2/0,45 = 0,444.
Законы распределения случайных величин Х и Y представле-
ны следующими таблицами:
Х -10 20 Y -10 5 10
0,6 0,4 Р
Р
х
0,20 0,45 0,35
у
Так как Р(х, у) ≠ Р(х) Р(у) (например, Р( Х = 20, Y = 10) = 0,05 ≠
≠ 0,4·0,35 = 0,14 = Р(Х = 20) · Р(Y = 10)), то можно сделать вывод,
что указанные случайные величины не являются независимыми.
По построенным законам распределений определим числовые
характеристики случайных величин Х и Y:
М(Х) = –10·0,6 + 20·0,4 = 2; М(Y) = –10·0,2 + 5·0,45 + 10·0,3 = 3.5;
D(Х) = М(Х2) – М2 (Х) = 100·0,6 + 400·0,4 – 4 = 216;
D(Y) = М(Y2) – М2(Y) = 100·0,2 + 25·0,45 + 100·0,35 – (3,25)2 =55,6875;
σх =
≈14,7; σу =
55 6875,
= 7,46.
Найдем их ковариацию и коэффициент корреляции.
3
σ
МХYMXMYxyp MXMY=
()−() ()
ху
=−
∑∑
ijij
==
121
ij
() ()
=
= –10·(–10)·0,05 + (–10)·5·0,25 + (–10)·10·0,3 +
+ 20·(–10)·0,15 + 20·5·0,2
+20·10·0,05–(–10·0,6 + 20·0,4)·(–10·0,2 + 5·0,45 +10·0,3) = – 44.
-
ρ
ху
==
ху
σσ
ху
44
⋅
,,
14 7746
≈−
,
.
Таким образом, можно сказать, что между Х и Y существует
не очень сильная отрицательная линейная зависимость. Риски
от вложения в акции компаний можно определять по разбросу
значений их дивидендов, т. е. по дисперсиям случайных величин. Следовательно, можно сделать вывод, что вложение в первую компанию более рискованно, чем во вторую
D(Х) = 216 > 55,6875 = D(Y).
- 48 -
()
=+ +
ε
Лекция 3
Обозначим через Z дивиденды от вложения денег в равных пропорциях (50 / 50) в обе отрасли. Следовательно, Z = 0,5Х + 0,5Y.
Тогда
М(Z) = М(0,5Х + 0,5Y) = 0,5(М(Х) + М(Y)) = 0,5(2 + 3,25) = 2,625;
D(Z) = D(0,5Х + 0,5Y) = 0,25(D(Х) + D(Y) + 2ρху · σх · σу) =
= 0,25(216 + 55,6875 + 2 · (– 0,4) · 14,7 · 7,46) ≈ 45,989.
Поскольку D(Z) = 45,989 < 55,6875 = D(Y), то есть основание
считать, что одновременное вложение в обе отрасли в равных
пропорциях является наименее рискованным из трех рассмотренных вариантов инвестиций.
3.4.Парнаярегрессияикорреляция
Парная регрессия – это уравнение связи двух переменных у и х:
yfx=
х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
, где у – зависимая переменная (результативный признак);
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия имеет вид
YabX
.
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии,
нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих
переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
– полиномы различных степеней
yabx bx bx=+ +++
1223
3
ε
;
– равносторонняя гипербола
ya
b
=+ +
ε
.
x
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
– степенная
– показательная
– экспоненциальная
yax
=
yab
b
ε
;
=
ye
x
ε
;
abx=+
ε
.
- 49 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
()
=+
xx
()
()
11
01≤≤
()
()
()
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК
позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативно-
y
го признака y от теоретических
∑−
Для линейных
yabx
минимальна, т. е.
x
2
x
→yy min
.
, где b – коэффициент регрессии,
и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается
система относительно а и b:
na bx y
+∑=∑
axbx yx
∑+∑=∑
,
2
.
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вы-
текают из этой системы:
xy xy
=
−⋅
2
σ
x
aybx
=− =−
,,
b
22 2
σ
x
.��ãäå
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэф-
фициент парной корреляции rxy, для линейной регрессии
−≤ ≤
r
xy
и индекс корреляции рху – для нелинейной регрессии
:
xy yx
=
−�
σσ
xy
p
:
xy
r
xy
p
=−
xy
Особое место в анализе взаимосвязей между результативными и факторными признаками занимает выявление тесноты связи
между ними, которая характеризуется при линейной корреляционной связи коэффициентом корреляции r. Степень тесноты связи,
характеризуемой коэффициентом корреляции, отражена в таблице:
yy
∑−
1
∑−
yy
- 50 -
2
x
.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]