Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
3.4. Доверительные интервалы 71
Определим величины ℎ1и ℎ2так, чтобы выполнялось равенство
Pℎ1<
(𝑛 −1) 𝑆
2
𝜎
𝑥
2
𝑥
< ℎ
= 𝛾 (3.20)
2
Распределение 𝜒2не является симметричным, поэтому найдем ℎ1и ℎ2из
условия симметрии. Положим
𝑃𝜒2≤ ℎ
1 −𝛾
=
1
, 𝑃𝜒2≥ ℎ
2
1 −𝛾
=
2
.
2
Перепишем равенство для нахождения ℎ2в виде
𝑃𝜒2< ℎ
2
Обозначив ℎ1= ℎ
= 1 −𝑃𝜒2≥ ℎ
(1−𝛾)/2
(𝑛 −1) и ℎ2= ℎ
2
= 1 −
1 −𝛾
2
(1+𝛾)/2
1 + 𝛾
=
.
2
(𝑛 −1) квантили 𝜒2–
распределения с 𝑛 − 1 степенями свободы соответственно уровней (1 − 𝛾) /2
и (1 + 𝛾) /2, получим 𝛾 –доверительный интервал для дисперсии
(𝑛 −1) 𝑆
P
ℎ
2
𝑥
< 𝜎
2
2
<
𝑥
(𝑛 −1) 𝑆
ℎ
1
2
𝑥
= 𝛾 (3.21)
При больших значениях 𝑛 (𝑛 ≥ 30) для квантилей 𝜒2–распределения имеют
место приближенные равенства
ℎ
(1−𝛾)/2
ℎ
(1+𝛾)/2
(𝑛 −1) ≈ 𝑛 −1 −𝑧
(𝑛 −1) ≈ 𝑛 −1 + 𝑧
(1+𝛾)/2
(1+𝛾)/2
2 (𝑛 −1),
2 (𝑛 −1) .
Пример 3.8. В условия примера 3.6 построить доверительный интервал
для неизвестной дисперсии 𝜎
2
с доверительной вероятностью 𝛾 = 0,9.
𝑥
По таблице распределения 𝜒2найдем квантили
ℎ1= ℎ
(1−𝛾)/2
(𝑛 −1) = ℎ
(1−0,9)/2
(36 −1) = ℎ
(35) = 22,4650,
0,05
(3.22)
ℎ2= ℎ
(1+𝛾)/2
(𝑛 −1) = ℎ
(1+0,9)/2
(36 −1) = ℎ
Тогда, согласно (3.21), можем записать:
(36 −1) 0,378
𝑃
49,8018
< 𝜎
(36 −1) 0,378
2
<
𝑥
22,4650
(35) = 49,8018.
0,95
= 0,9.
72 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Откуда следует, что с вероятностью 𝛾 = 0,9 справедливо
2
𝜎
∈ (0,2657; 0,9582) .
𝑥
3.4.3 Доверительный интервал для вероятности события
Пусть произведено 𝑛 независимых испытаний, в которых некоторое событие A произошло ровно 𝑘 раз. Тогда вероятность события A можно оценить с
помощью его относительной частоты, т.е.
𝑝*=
𝑘
𝑛
Случайная величина, равная частоте 𝑘, распределена по биномиальному
закону. Вычислим математическое ожидание 𝑝*:
M (𝑝*) = M
𝑘
𝑛
=
1
M (𝑘) =
𝑛
1
𝑛𝑝 = 𝑝,
𝑛
т.е. оценка 𝑝*является несмещенной. А так как дисперсия 𝑝*равна
D (𝑝*) = D
𝑘
𝑛
=
1
D (𝑘) =
2
𝑛
1
𝑛𝑝 (1 −𝑝) =
2
𝑛
𝑝 (1 −𝑝)
𝑛
−−−→
𝑛→∞
0,
то оценка также является и состоятельной.
При построении доверительного интервала рассмотрим в качестве опорной
случайной величины
(3.23)
𝑍 =
𝑝*− 𝑝
𝑝𝑞/𝑛
=
𝑛
(𝑝*− 𝑝) , где 𝑞 = 1 −𝑝.
𝑝𝑞
Если 𝑛 достаточно велико, то в соответствии с центральной предельной теоремой величина 𝑍 имеет распределение, близкое к стандартному нормальному.
Пусть 𝑧
(1+𝛾)/2
— квантиль стандартного нормального распределения уровня
(1 + 𝛾) /2, тогда, справедливо соотношение
𝑃−𝑧
1+𝛾
< 𝑍 < 𝑧
2
1+𝛾
2
= 𝛾
или
3.4. Доверительные интервалы 73
𝑛
P−𝑧
1+𝛾
2
<
(𝑝*− 𝑝) < 𝑧
𝑝𝑞
1+𝛾
2
= 𝛾. (3.24)
Решив неравенство под знаком вероятности в (3.24) относительно 𝑝, получим формулу для доверительного интервала
P𝑝*− 𝑧
1+𝛾
2
𝑝𝑞
< 𝑝 < 𝑝*+ 𝑧
𝑛
1+𝛾
2
𝑝𝑞
= 𝛾. (3.25)
𝑛
К сожалению, последняя формула не применима на практике, т. к. границы
доверительного интервала зависят от неизвестного параметра 𝑝. Для избавления от этого недостатка можно пойти по одному из путей.
1. В формуле (3.25) в выражениях для границ интервала 𝑝 заменяют на 𝑝*.
Тогда 𝛾-доверительный интервал примет вид
P𝑝*− 𝑧
1+𝛾
2
*
𝑝*𝑞
< 𝑝 < 𝑝*+ 𝑧
𝑛
1+𝛾
2
𝑝*𝑞
𝑛
*
= 𝛾. (3.26)
При таком подходе доверительный интервал может оказаться как шире так
и уже настоящего доверительного интервала.
2. Второй подход предполагает построение доверительного интервала максимальной длины. Для этого величину 𝑝𝑞 заменяют её наибольшим значением.
Величина 𝑝𝑞, как нетрудно убедиться, принимает наибольшее значение равное
0,25 при 𝑝 = 0,5. Тогда
P𝑝*− 𝑧
1+𝛾
2
0,5
√
< 𝑝 < 𝑝*+ 𝑧
𝑛
1+𝛾
2
0,5
√
𝑛
≥ 𝛾. (3.27)
3. Третий способ предполагает точное определение границ интервала. Рассмотрим равенство (3.24), которое используется для получения доверительного
интервала.
Перепишем неравенство, стоящее под знаком вероятности, в эквивалентном
виде
𝑛
(𝑝*− 𝑝)
𝑝𝑞
< 𝑧
1+𝛾
2
.
Возведем в квадрат обе его части и приведем подобные слагаемые, в ре-
зультате получим
74 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
1 +
2
𝑧
(1+𝛾)/2
𝑛
𝑝2−2𝑝*+
2
𝑧
(1+𝛾)/2
𝑛
𝑝 + (𝑝*)2< 0.
Корни 𝑝1и 𝑝2квадратного трехчлена, стоящего в правой части последнего
неравенства, определяются выражениями
1 + 𝑧
1 + 𝑧
𝑝*(1 −𝑝*) /𝑛 + 𝑧
2
(1+𝛾)/2
𝑛
𝑝*(1 −𝑝*) /𝑛 + 𝑧
2
(1+𝛾)/2
𝑛
2
(1+𝛾)/2
2
(1+𝛾)/2
(4𝑛2)
, (3.28)
(4𝑛2)
. (3.29)
𝑝1=
𝑝2=
𝑝*+ 𝑧
𝑝*+ 𝑧
2
(1+𝛾)/2
2
(1+𝛾)/2
(2𝑛) −𝑧
(2𝑛) + 𝑧
(1+𝛾)/2
(1+𝛾)/2
Следовательно с вероятностью 𝛾 = 0,9 𝑝 ∈ (𝑝1; 𝑝2).
При больших значениях 𝑛 все три способа дают практически одинаковые результаты. Аппроксимация распределения Бернулли нормальным распределением считается допустимой, если одновременно выполняются неравенства: 𝑛𝑝 > 4
и 𝑛𝑞 > 4. Исходя из этих оценок, можно приближённо судить о правомерности
применения рассмотренных способов. Так как вероятность 𝑝 неизвестна, то для
оценки этой правомерности вычисляют 𝑛𝑝*и 𝑛𝑞*.
Можно построить доверительный интервал, опираясь на закон распределения Бернулли, но этот метод достаточно трудоемкий. Поэтому смысл применения этой процедуры сомнителен, так как при малых значениях 𝑛 точность
оценки вероятности 𝑝 настолько низка, что выбор способа построения доверительного интервала уже не имеет практического значения.
Пример 3.9. Событие 𝐴 в серии из 𝑛 = 100 испытаний произошло 𝑘 =
78 раз. Построить доверительный интервал для вероятности 𝑝 осуществления
события 𝐴 с надежностью 𝛾 = 0,9.
Итак, несмещенной и состоятельной оценкой неизвестной вероятности 𝑝 является 𝑝*= 78/100 = 0,78. Поскольку 𝑛𝑝*= 78 > 4 и 𝑛𝑞*= 22 > 4, то аппроксимация распределения Бернулли нормальным допустима. Квантиль стандартного нормального распределения уровня (1 + 𝛾) /2 = (1 + 0,9) /2 = 0,95
3.4. Доверительные интервалы 75
равен 𝑧
способами.
1. Согласно формуле (3.26)
P0,78 −1,645
или
2. Согласно формуле (3.27)
или
= 1,645. Построим доверительный интервал тремя рассмотренными
0,95
P0,78 −1,645
0,22 ·078
100
P (0,712 < 𝑝 < 0,848) = 0,9.
√
P (0,698 < 𝑝 < 0,862) ≥ 0,9.
< 𝑝 < 0,78 −1,645
0,5
< 𝑝 < 0,78 −1,645
100
0,22 ·078
0,5
√
100
= 0,9,
100
≥ 0,9
3. Согласно формулам (3.28) и (3.29): 𝑝1= 0,705, 𝑝2= 0,840.
Следовательно P (0,705 < 𝑝 < 0,840) ≥ 0,9.
Как видим интервал, полученный вторым способом, самый длинный из этих
трех. Заметим, что границы интервала во всех трех случаях являются приближенными, поскольку биномиальное распределение было заменено нормальным.
В особо важных ситуациях из этих трёх интервалов предпочтительно выбирать
самый большой интервал.
Контрольные вопросы
1. Что такое статистика?
2. Что такое оценка параметра распределения?
3. Что означает несмещенность оценки?
4. Что означает состоятельность оценки?
5. Что означает эффективность оценки?
6. Как определяется выборочный начальный момент порядка 𝑘?
7. Как определяется выборочный центральный момент порядка 𝑘?
8. Как определяются выборочная медиана и мода?
9. В чем суть метода моментов?
76 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
10. В чем суть метода максимального правдоподобия?
11. Как построить оценку математического ожидания?
12. Как построить оценку дисперсии?
13. Как построить несмещённую оценку дисперсии?
14. Как определяется выборочный коэффициент асимметрии? В чем его
суть?
15. Как определяется выборочный коэффициент эксцесса? В чем его суть?
16. Как определяется выборочный коэффициент вариации? В чем его суть?
17. Что такое доверительный интервал?
18. Какие законы распределения применяются при построении доверительных интервалов для параметров нормально распределённой случайной величины?
Глава 4
ПРОВЕРКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ
4.1 Постановка задачи проверки гипотез
Важной задачей математической статистики является проверка согласованности выборки и некоторой гипотезы, возможно нескольких, о распределении
генеральной совокупности. Хотя гипотезы и выдвигаются на основании теоретических соображений, но по выборке конечного объема трудно сделать безошибочный вывод о распределении.
Определение 4.1. Статистической гипотезой (или просто гипотезой) на-
зывается любое утверждение о виде или свойствах распределения, наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Статистическая гипотеза называется
простой, если она однозначно задает распределение наблюдений. В противном
случае гипотеза является сложной.
Проверка гипотез — это формальная процедура проверки согласованности
статистической гипотезы и эмпирических данных. Проверяемая гипотеза называется основной или нулевой, обозначается 𝐻0. Предполагается, что она верна.
Противоположное утверждение 𝐻1, которое считается верным, если нулевая
гипотеза неверна, называют альтернативной или конкурирующей гипотезой.
Некоторые задачи проверки статистических гипотез.
1. Параметрическая гипотеза. Выдвигается простая гипотеза 𝐻0: 𝜃 = 𝜃
против сложной альтернативы 𝐻1: 𝜃 = 𝜃0.
77
0
78 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
2. Гипотеза согласия. Основная и альтернативная гипотезы сложные
𝐻0: 𝐹 ∈ F, 𝐻1: 𝐹 /∈ F.
3. Гипотеза однородности. Даны две выборки (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛) из распреде-
ления 𝐹𝑥и (𝑦1,𝑦2, . . . ,𝑦𝑚) из распределения 𝐹𝑦. Выдвигается сложная гипотеза
𝐻0: 𝐹𝑥= 𝐹𝑦против альтернативы 𝐻1: 𝐹𝑥= 𝐹𝑦.
4. Гипотеза независимости. По выборке ((𝑥1,𝑦1) , (𝑥2,𝑦2) , . . . , (𝑥𝑛,𝑦𝑛)) из 𝑛
независимых наблюдений над парой случайных величин (𝑥,𝑦) проверяется гипотеза 𝐻0: 𝑥 и 𝑦 независимы (сложная гипотеза), против сложной альтернативной
гипотезы 𝐻1: 𝐻0не верна.
5. Гипотеза случайности. По выборке (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛), в которой каждая
случайная величина 𝑥𝑖, 𝑖 = 1,𝑛, представлена одним значением, проверяется
сложная гипотеза 𝐻0: 𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛— независимы и одинаково распределены,
против сложной альтернативы 𝐻1: 𝐻0не верна.
Определение 4.2. Статистический критерий (или просто критерий) —
правило, согласно которому гипотеза 𝐻0принимается или отвергается.
Статистический критерий не отвечает на вопрос — верна или нет проверяемая гипотеза. Он лишь решает, противоречит выдвинутая гипотеза или нет
эмпирическим данным, и следует ли принять оную или отклонить. При этом
выбирается подходящая функция 𝑄 = 𝑄 (𝑥1, . . . 𝑥2) элементов выборки, которую называют статистикой критерия.
Определение 4.3. Множество 𝑆 значений статистики 𝑄, при которых прини-
мается решение отклонить гипотезу 𝐻0, называется критической областью.
Критическая область может быть трех видов
— правосторонняя 𝑆 = [𝑄
— левосторонняя 𝑆 = (−∞; 𝑄
— двухсторонняя 𝑆 =−∞; 𝑄
крит
; +∞);
];
крит
∪
𝐿
крит
𝑄
𝑅
крит
; +∞.
Выбор критической области зависит от решаемой задачи.
Таким образом, критерий проверки статистических гипотез имеет вид:
𝐻0, если 𝑄 /∈ 𝑆;
𝛿 (𝑋𝑛) =
𝐻1, если 𝑄 ∈ 𝑆.
При принятии решения на основе конкретной выборки возможны следующие варианты (см. таб. 4.1): гипотеза 𝐻0является верной, и она принимается
4.1. Постановка задачи проверки гипотез 79
Таблица 4.1 – Ошибки при проверке гипотез
𝐻0принимается 𝐻0отвергается
𝐻0верна Верное решение Ошибка I рода
𝐻0неверна Ошибка II рода Верное решение
в соответствии с критерием; 𝐻0является ложной гипотезой и она отвергается
в соответствии с критерием. Эти решения являются верными. Возможны варианты, когда принятое решение является ошибочным: 𝐻0отвергается, являясь
истинной гипотезой, или принимается, хотя на самом деле она является ложной. В первом случае ошибку в решении называют ошибкой первого рода, во
втором случае — ошибкой второго рода.
Пример 4.1. Некоторая компания выдвигает на рынок новый материал
для облицовки жилых помещений. Независимых экспертов интересует: не повлечет ли применение этого материала вреда здоровью.
Итак, пусть экспертами выдвигается основная гипотеза
𝐻0: материал токсичен;
против альтернативы
𝐻1: материал не токсичен.
Посмотрим, что из себя в этом случае представляют ошибки первого и второго рода и чем они чреваты:
— ошибка первого рода: гипотеза 𝐻0отвергнута, в то время как она верна —
тестируемый материал разрешен к применению, хотя и обладает ярко выраженным токсичным эффектом, и как результат — человеческие жертвы среди
клиентов;
— ошибка второго рода: гипотеза 𝐻0принята, в то время как верна 𝐻1—
тестируемый материал запретили к применению, в то время как он является
безопасным для здоровья, результат: компания несет убытки, но человеческих
жертв, связанных с таким решением, нет.
Принципиальная разница от последствий ошибок очевидна. Естественно,
у экспертов возникает необходимость разработать критерий, у которого ошибка первого рода была бы заранее фиксирована, несмотря на величину ошибки
второго рода.
80 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Определение 4.4. Вероятность ошибки первого рода
𝛼 = 𝑃 {𝑄 ∈ 𝑆/𝐻1}
называют уровнем значимости (иногда размером) критерия.
Определение 4.5. Мощностью критерия называют величину 𝑊 = 1 − 𝛽,
где 𝛽 = 𝑃 (𝑄 /∈ 𝑆/𝐻0) — вероятность ошибки второго рода критерия.
Вероятности ошибок первого и второго рода вычисляются при разных предположениях о распределении, эмпирических данных, так что никаких фиксированных соотношений, типа 𝛼 = 1 − 𝛽, независимо от вида гипотез и вида
критериев, между ними нет.
Одновременное уменьшение вероятностей обеих ошибок невозможно: уменьшение одной из них неизбежно влечёт увеличение другой (при постоянном объёме выборки). Поэтому, при построении критической области, как правило, руководствуются одним из трех подходов.
1. Критерий 𝛿 называется минимаксным критерием, если для любого дру-
гого критерия 𝜌 выполнено неравенство
max {𝛼 (𝛿) ,𝛽 (𝛿)} ≤ max {𝛼 (𝜌) ,𝛽 (𝜌)}
Как следует из определения, у минимаксного критерия наименьшая из наибольших ошибок среди всех других критериев.
2. Байесовский подход применяется в случае, если априори известно, что
с вероятностью 𝑝 справедлива основная гипотеза и с вероятностью 𝑞 = 1 −
𝑝 — альтернатива 𝐻1. Критерий 𝛿 называют байесовским, если для любого
критерия 𝜌 выполнено неравенство
𝑝𝛼 (𝛿) + 𝑞𝛽 (𝛿) ≤ 𝑝𝛼 (𝜌) + 𝑞𝛽 (𝜌) .
3. Зафиксируем, например, ошибку первого рода на достаточно низком
уровне, и будем рассматривать только критерии с ошибкой первого рода, не
превосходящей указанной границы. Если из них выбрать критерий с самой маленькой ошибкой второго рода, то он будет иметь самую большую мощность,
поэтому такой критерий называют наиболее мощным.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]