Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
1.6. Примеры абсолютно непрерывных случайных величин 21
Основные числовые характеристики:
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴
𝑞
𝑝
𝑞
2
𝑝
2−𝑝
√
𝐸
𝑠
𝑞
6 +
𝑥
2
𝑝
𝑞
Многоугольник распределения случайной величины 𝑋 ∼ 𝐺 (0,3) изображен
на рис. 1.9.
𝑝
0.4
0.3
0.2
0.1
𝑘
2 4 6 8 10
Рис. 1.9 – Многоугольник распределения 𝑋 ∼ 𝐺 (0,3)
Геометрическое распределение является единственным дискретным распределением, обладающим свойством «отсутствия последействия»: состояние некоторой системы в настоящий момент времени 𝑡0однозначно определяет распределение вероятностей будущего развития процесса при 𝑡 > 𝑡0, и информация о
прошлом поведении процесса не влияет на это распределение.
1.6 Примеры абсолютно непрерывных случай-
ных величин
1.6.1 Равномерное распределение
Говорят, что случайная величина 𝑋 распределена равномерно на отрезке
[𝑎,𝑏], обозначают 𝑋 ∼ 𝑈 (𝑎,𝑏) если её плотность распределения вероятностей
определяется формулой:
22 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1
, 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] ;
𝑓 (𝑥) =
𝑏−𝑎
(1.20)
0, 𝑥 /∈ [𝑎,𝑏] .
Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий
вид:
⎧
⎪
0, 𝑥 6 𝑎;
⎪
⎨
𝐹 (𝑥) =
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
⎪
⎪
⎩
1, 𝑥 > 𝑏.
, 𝑎 < 𝑥 6 𝑏;
(1.21)
Графики плотности и функции распределения вероятностей приведены на
рис. 1.10.
1.5
𝐹 (𝑥)
1
0.5
1.5
𝑓(𝑥)
1
0.5
𝑥
−1 1 2 3 4
−1 1 2 3 4
Рис. 1.10 – Графики функции (слева) и плотности (справа) 𝑋 ∼ 𝑈 (1,3)
Основные числовые характеристики:
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴
2
𝑎+𝑏
2
(𝑏−𝑎)
12
𝐸
𝑠
𝑥
𝑀𝑜 𝑀 𝑒
0 −1,2 нет
𝑎+𝑏
2
𝑥
Равномерно распределены ошибки округления при выполнении числовых расчётов, время ожидания.
1.6.2 Экспоненциальное (показательное) распределение
Говорят, что случайная величина 𝑋 распределена по экспоненциальному закону (обозначают 𝑋 ∼ 𝐸𝑥𝑝 (𝜆)), если её плотность распределения вероятностей
для 𝜆 > 0 определяется формулой:
1.6. Примеры абсолютно непрерывных случайных величин 23
0, 𝑥 < 0;
𝑓 (𝑥) =
𝜆𝑒
−𝜆𝑥
, 𝑥 > 0.
(1.22)
Соответственно функция распределения вероятностей имеет вид:
0, 𝑥 6 0;
𝐹 (𝑥) =
1 −𝑒
−𝜆𝑥
, 𝑥 > 0.
(1.23)
Графики плотности и функции распределения вероятностей приведены на
рис. 1.11.
Основные числовые характеристики:
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴𝑠𝐸𝑥𝑀𝑜 𝑀 𝑒
1
𝜆
1
2
𝜆
2 6 0
ln(2)
𝜆
Экспоненциальное распределение широко применяется в теории надёжности и теории массового обслуживания. В наиболее общем случае время безотказной работы многих технических систем распределено экспоненциально.
Кроме того, время восстановления (ремонта) отказавшей технической системы
часто также оказывается распределённым по этому закону. В приложениях экспоненциальное распределение связано с распределением Пуассона следующим
образом. Предположим, что мы наблюдаем некоторую последовательность событий, развивающуюся с течением времени. Если интервалы времени между
моментами осуществления последовательных событий распределены по экспоненциальному закону c параметром 𝜆, то число событий, произошедших на отрезке времени [0,𝑇 ], будет распределено по закону Пуассона с параметром 𝜆𝑇.
1.6.3 Нормальное распределение
Говорят, что случайная величина 𝑋 распределена по нормальному зако-
ну, обозначают 𝑋 ∼ 𝑁𝑚,𝜎
2
, если её плотность распределения вероятностей
определяется следующей формулой:
2
𝑓 (𝑥) =
1
√
𝑒
−
(𝑥−𝑚)
2
2𝜎
. (1.24)
2𝜋𝜎
Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий
вид:
24 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.2
𝐹 (𝑥)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
𝑥
2 4 6 8 10
1.2
𝑓(𝑥)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
𝑥
2 4 6 8 10
Рис. 1.11 – Графики функции (слева) и плотности (справа) 𝑋 ∼ 𝐸𝑥𝑝 (0,7)
𝑥
𝐹 (𝑥) =
√
1
−
𝑒
(𝑦−𝑚)
2𝜎
2
2
𝑑𝑦. (1.25)
2𝜋𝜎
−∞
Основные числовые характеристики:
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴𝑠𝐸𝑥𝑀𝑜 𝑀 𝑒
𝑚 𝜎
2
0 0 𝑚 𝑚
Графики плотности и функции распределения вероятностей приведены на
рис. 1.12.
1.2
𝐹 (𝑥)
0.3
𝑓(𝑥)
1
0.8
0.2
0.6
0.4
0.1
0.2
−4 −2 2 4 6
𝑥
−4 −2
2 4 6
𝑥
Рис. 1.12 – Графики функции (слева) и плотности (справа) 𝑋 ∼ 𝑁 (1; 4)
Так как функция распределения нормальной случайной величины не выра-
жается в элементарных функциях, то ее значения в частном случае при 𝑚 = 0
1.6. Примеры абсолютно непрерывных случайных величин 25
и 𝜎2= 1 табулированы. Распределение случайной величины 𝑋 ∼ 𝑁 (0,1) называется стандартным нормальным. Ее плотность и функция распределения
вероятностей соответственно имеют вид:
2
𝑓
0,1
(𝑥) =
1
√
𝑥
−
2
𝑒
. (1.26)
2𝜋
𝑥
𝐹
0,1
(𝑥) =
1
√
2
𝑦
−
2
𝑒
𝑑𝑦. (1.27)
2𝜋
−∞
Выполнив замену переменной интегрирования в (1.27), можно получить
связь между функциями 𝐹
𝑚,𝜎
2
(𝑥) и 𝐹
0,1
(𝑥):
𝑥 −𝑚
2
𝐹
𝑚,𝜎
(𝑥) = 𝐹
0,1
𝜎
. (1.28)
Используя соотношение (1.28) и таблицы значений для функции распреде-
ления стандартной нормальной случайной величины, можно найти вероятность
попадания случайной величины 𝑋 ∼ 𝑁𝑚,𝜎
𝛽 − 𝑚
P (𝛼 < 𝑋 < 𝛽) = 𝐹
0,1
2
в интервал (𝛼,𝛽) по формуле:
𝛼 −𝑚
− 𝐹
𝜎
0,1
𝜎
. (1.29)
При решении задач, связанных с нормальным распределением, часто вместо
функции распределения вероятностей 𝐹
(𝑥) используется функция Лапласа
0,1
Φ (𝑥):
𝑥
Φ (𝑥) =
1
√
2
𝑦
−
2
𝑒
𝑑𝑦, 𝑥 > 0. (1.30)
2𝜋
0
Так как для 𝑥 > 0 𝐹
(𝑥) = 𝐹
0,1
(0) + Φ (𝑥) и 𝐹
0,1
𝐹
(𝑥) = 0,5 + Φ (𝑥) .
0,1
(0) = 0,5, то
0,1
Таким образом, вероятность попадания случайной величины 𝑋 ∼ 𝑁𝑚,𝜎
в интервал (𝛼; 𝛽) можно находить и по следующей формуле:
𝛽 − 𝑚
𝑃 (𝛼 < 𝑋 < 𝛽) = Φ
𝛼 −𝑚
𝜎
𝜎
− Φ
. (1.31)
2
26 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Какую из формул (1.29) или (1.31) использовать зависит только от того,
какие таблицы имеются в распоряжении.
Отметим, что функция Φ (𝑥) является нечётной функцией, т.е.
Φ (−𝑥) = −Φ (𝑥), 𝑓
для функции 𝐹
0,1
(𝑥) является чётной функцией, т.е. 𝑓
0,1
(𝑥) выполняется соотношение 𝐹
0,1
0,1
(𝑥) = 1−𝐹
(−𝑥) = 𝑓
(−𝑥). Поэтому
0,1
0,1
(𝑥), а
обычно приводятся таблицы значений этих функций только для положительных значений аргументов.
Нормально распределённые случайные величины встречаются очень часто
в практических задачах. Это связано с тем, что нормально распределённая
случайная величина является следствием суммарного взаимодействия большого числа других величин (или факторов), каждая из которых вносит малую
долю в общий результат.
1.7 Многомерные случайные величины
Рассмотрим теперь 𝑛 случайных величин 𝑋1,𝑋2, . . . ,𝑋𝑛, в этом случае
(𝑋1,𝑋2, . . . ,𝑋𝑛) называется случайным вектором или 𝑛–мерной случайной величиной. В частности (𝑋,𝑌 ) — двумерная случайная величина, (𝑋,𝑌,𝑍) — трёхмерная случайная величина и т.д.
Не умаляя общности, вопросы, касающиеся изучения 𝑛-мерных случайных
величин, можно рассмотреть на примере двумерной случайной величины.
Пусть для двумерной случайной величины (𝑋,𝑌 ) возможными значениями
компоненты 𝑋 являются 𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑘, а возможными значениями 𝑌 являются
𝑦1,𝑦2, . . . ,𝑦𝑚. В этом случае говорят, что имеют дело с двумерной дискретной
случайной величиной. Чтобы задать ее закон распределения необходимо перечислить все пары возможных значений (𝑥𝑖,𝑦𝑗), 𝑖 = 1,𝑘, 𝑗 = 1,𝑚 и указать
вероятности этих пар 𝑝𝑖𝑗= 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖,𝑌 = 𝑦𝑗). Для дискретных величин часто
применяют табличный способ задания:
1.7. Многомерные случайные величины 27
𝑋 ∖𝑌 𝑦
𝑥
1
𝑥
2
𝑝
𝑝
1
11
21
𝑦
. . . 𝑦
2
𝑝
𝑝
12
22
. . . 𝑝
. . . 𝑝
𝑚
1𝑚
2𝑚
𝑝
𝑖*
𝑝
1*
𝑝
2*
. . . .. . . . . . . . . . . . . .
𝑥
𝑘
𝑝
*𝑗
𝑝
𝑝
𝑘1
*1
𝑝
𝑝
𝑘2
*2
. . . 𝑝
. . . 𝑝
𝑘𝑚
*𝑚
𝑝
𝑘*
1
В первом столбце перечислены возможные значения случайной величины
𝑋, а в первой строке — возможные значения случайной величины 𝑌 . На пе-
ресечении 𝑖-й строки и 𝑗-го столбца указана вероятность того, что случайная
величина 𝑋 примет значение 𝑥𝑖, и одновременно случайная величина 𝑌 примет
значение 𝑦𝑗, т.е. 𝑝𝑖𝑗= 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖,𝑌 = 𝑦𝑗).
Суммируя все вероятности 𝑝𝑖𝑗по одному из индексов, сохраняя постоянным другой индекс, можно получить закон распределения вероятностей для
соответствующей одномерной величины:
P (𝑋 = 𝑥𝑖) =
𝑚
𝑝𝑖𝑗, 𝑖 = 1,𝑘, P (𝑌 = 𝑦𝑗) =
𝑗=1
𝑘
𝑝𝑖𝑗, 𝑗 = 1,𝑚. (1.32)
𝑖=1
Эти вероятности будем обозначать соответственно 𝑝𝑖*и 𝑝*𝑗. Символ «звёздочка» означает, что по данному индексу проведено суммирование вероятностей
двумерной случайной величины. Вероятности 𝑝𝑖*и 𝑝*𝑗записаны соответственно в последнем столбце и в последней строке таблицы. Очевидно, что обычное
условие нормировки вероятностей для 𝑝𝑖*и 𝑝*𝑗сохраняется, т.е.
𝑚
𝑝𝑖*= 1 и
𝑗=1
𝑘
𝑖=1
𝑝*𝑗= 1.
Из этого следует, что сумма всех вероятностей 𝑝𝑖𝑗всегда будет равна единице (условие нормировки двумерных вероятностей):
𝑘
𝑚
𝑝𝑖𝑗= 1.
𝑖=1
𝑗=1
Аналогично можно задавать и случайные величины большей размерности.
С ростом размерности процесс задания случайной величины становится громоздким. Так, для трёхмерной случайной величины потребуется трёхмерная
таблица, т. е. несколько таблиц представленного выше типа.
28 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины.
Универсальным способом задания статистических свойств двумерной случайной величины является задание её функции распределения вероятностей.
Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины (𝑋,𝑌 )
в точке (𝑥,𝑦) называется вероятность того, что случайная величина 𝑋 примет
значение меньшее, чем 𝑥, а случайная величина 𝑌 одновременно примет значение меньшее, чем 𝑦, т.е.
𝐹 (𝑥,𝑦) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥,𝑌 < 𝑦) .
Свойства двумерной функции распределения.
1. 0 ≤ 𝐹 (𝑥,𝑦) ≤ 1
2. 𝐹 (𝑥,𝑦) — неубывающая функция по каждому аргументу
3. 𝐹 (𝑥,𝑦) — непрерывная слева функция по каждому аргументу
4. 𝐹 (−∞, − ∞) = 𝐹 (𝑥, − ∞) = 𝐹 (−∞,𝑦) = 0
5. 𝐹 (+∞, + ∞) = 1
6. 𝐹𝑋(𝑥) = 𝐹 (𝑥, + ∞) и 𝐹𝑌(𝑦) = 𝐹 (+∞,𝑦) суть одномерные функции
распределения вероятностей соответственно для величин 𝑋 и 𝑌 .
7. Вероятность того, что случайная величина 𝑋 примет значение из интервала [𝑎,𝑏), а величина 𝑌 примет значение из интервала [𝑐,𝑑), определяется
формулой:
𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏,𝑐 ≤ 𝑌 < 𝑑) = 𝐹 (𝑏,𝑑) − 𝐹 (𝑎,𝑑) −𝐹 (𝑏,𝑐) + 𝐹 (𝑎,𝑐) . (1.33)
Графиком двумерной функции распределения является поверхность. Для
дискретных величин эта поверхность имеет ступенчатую форму. Для непрерывных величин график не имеет разрывов в области определения функции
распределения.
Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины.
Совместная плотность распределения вероятностей 𝑓 (𝑥,𝑦) является удобной формой задания закона распределения вероятностей для двумерных случайных величин, каждая координата которых также абсолютно непрерывна. В
этом случае двумерную функцию распределения можно представить в виде:
1.7. Многомерные случайные величины 29
𝑦
𝑥
𝐹 (𝑥,𝑦) =
−∞
𝑓 (𝑡,𝑢) 𝑑𝑢𝑑𝑡
−∞
Графиком двумерной плотности распределения вероятностей является поверхность, расположенная над координатной плоскостью 𝑥𝑂𝑦.
Свойства двумерной плотности распределения вероятностей.
1. 𝑓 (𝑥,𝑦) ≥ 0.
2.
+∞
−∞
+∞
𝑓 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1.
−∞
3. Вероятность попадания случайной точки (𝑋,𝑌 ) в произвольную область
𝐷 ⊆ 𝑅2равна интегралу от плотности распределения вероятностей по этой
области:
𝑃 ((𝑋,𝑌 ) ∈ 𝐷) =
𝑓 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦. (1.34)
𝐷
В частности, если область — прямоугольник 𝐷 = {(𝑥,𝑦) : 𝑎 < 𝑥 < 𝑏,𝑐 < 𝑦 < 𝑑},
то (1.34) можно переписать в виде:
P ((𝑋,𝑌 ) ∈ 𝐷) =
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝑑
𝑓 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 (1.35)
𝑐
Одномерные плотности распределения вероятностей для величин 𝑋 и 𝑌
соответственно можно найти по формулам
+∞
𝑓 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑓𝑋(𝑥) и
−∞
+∞
𝑓 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑓𝑌(𝑦) .
−∞
Независимость случайных величин.
Случайные величины 𝑋 и 𝑌 называются независимыми, если
𝑃 (𝑋 < 𝑥,𝑌 < 𝑦) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥) 𝑃 (𝑌 < 𝑦) ,
т. е.
𝐹 (𝑥,𝑦) = 𝐹 (𝑥) 𝐹 (𝑦) ,
совместная функция распределения случайных величин равна произведению
одномерных.
30 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Для независимости дискретных случайных величин необходимо и достаточно, чтобы для любых 𝑖 и 𝑗 выполнялось равенство 𝑝𝑖𝑗= 𝑝𝑖*𝑝*𝑗.
Признаком независимости абсолютно непрерывных случайных величин является выполнение равенства
𝑓 (𝑥,𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥) 𝑓𝑌(𝑦) .
1.8 Числовые характеристики многомерных слу-
чайных величин
При изучении свойств двумерной случайной величины (𝑋,𝑌 ) можно говорить о математических ожиданиях отдельных компонент 𝑀 (𝑋) и 𝑀 (𝑌 ), об
их дисперсиях 𝐷 (𝑋) и 𝐷 (𝑌 ) и других моментах, характеризующих свойства
случайных величин 𝑋 и 𝑌 по отдельности.
Однако знание этих одномерных характеристик не позволяет делать выводы как о взаимосвязи между ними, так и о характере этой связи. При изучении
многомерных величин дополнительно определяют числовые характеристики,
отражающие статистическую связь. К таким характеристикам относятся смешанные моменты случайных величин.
Если двумерная случайная величина (𝑋,𝑌 ) задана плотностью распределения 𝑓 (𝑥, 𝑦), то смешанным начальным моментом 𝜈𝑔ℎпорядка 𝑘 = 𝑔 + ℎ
двумерной величины (𝑋,𝑌 ) называется математическое ожидание произведения 𝑋𝑔· 𝑌ℎ.
+∞
+∞
−∞
𝑥𝑔𝑦ℎ𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦.
−∞
𝜈𝑔ℎ= M𝑋𝑔𝑌
ℎ
=
Если (𝑋,𝑌 ) двумерная дискретная случайная величина принимает значения (𝑥𝑖,𝑦𝑗), 𝑖 = 1,𝑠, 𝑗 = 1,𝑞, с вероятностями 𝑝𝑖𝑗, то
𝑞
𝑠
𝑖=1
𝑗=1
𝑔
ℎ
𝑥
𝑦
𝑝𝑖𝑗.
𝑗
𝑖
𝜈𝑔ℎ= M𝑋𝑔𝑌
ℎ
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]