Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
6.7. Парная нелинейная регрессия 151
Таблица 6.7 – Прогнозные значения и остатки модели
𝑦 𝑥
𝑥
1
2
*
𝑦
𝑒 = 𝑦 −𝑦
*
|𝑒/𝑦| 𝑒
2
26 80 350 24,7343 1,2657 0,0487 1,6020
61 75 300 60,4939 0,5061 0,0083 0,2561
95 70 250 96,2535 -1,2535 0,0132 1,5713
122 65 200 132,0131 -10,0131 0,0821 100,2622
187 60 150 167,7728 19,2272 0,1028 369,6852
202 58 130 182,0766 19,9234 0,0986 396,9419
222 55 120 218,4444 3,5556 0,0160 12,6423
211 52 110 254,8121 -43,8121 0,2076 1919,5001
264 50 90 269,1160 -5,1160 0,0194 26,1735
416 40 70 400,2832 15,7168 0,0378 247,0178
Сумма 0,6345 3075,6524
𝐻1: хотя бы для одного 𝑖 (𝑖 = 1,2) 𝛽𝑖= 0.
Вычислим статистику критерия
𝑅2(𝑛 −𝑘 − 1)
𝐹 =
.
(1 −𝑅2) 𝑘
Если справедлива основная гипотеза , то статистика критерия
0,9731 ·(10 −2 −1)
𝐹 =
= 126,7662.
(1 −0,9731) ·2
Критическое значение найдем по таблице распределения Фишера
𝑓
Так как 𝐹 > 𝑓
крит
= 𝑓
1−0,05
, то с вероятностью 0,95 уравнение регрессии признается
крит
(2; 10 −2 −1) = 𝑓
(2; 7) = 4,7374.
0,95
значимой.
6.7 Парная нелинейная регрессия
В общем случае парная нелинейная регрессионная модель имеет вид
𝑌 = 𝑓 (𝛽1, . . . ,𝛽𝑘,𝑋,𝜀) ,
152 Глава 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
где 𝛽𝑗— неизвестные параметры, а функция 𝑓 (𝛽1, . . . ,𝛽𝑘,𝑋,𝜀) нелинейна.
Однако, нелинейность модели регрессии может быть разного типа. Нели-
нейность по параметрам, в этом случае независимую переменную или некоторую функцию 𝜓 (𝑦) нельзя представить в виде линейной комбинации некоторых
известных функций 𝜑𝑗(𝑥). В этом случае, применяются нелинейные методы
оценивания.
Модель 𝑌 = 𝑓 (𝛽1, . . . ,𝛽𝑘,𝑋,𝜀) линейна по параметрам, если с помощью
замены переменной или специальных преобразований функцию можно линеаризовать. Рассмотрим некоторые примеры.
Параболическая регрессия. Пусть модель имеет вид
𝑌 = 𝛽0+ 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2+ 𝜀.
Выполнив замену переменных 𝑍1= 𝑋, 𝑍2= 𝑋2, получим линеаризованную
форму модели
𝑌 = 𝛽0+ 𝛽1𝑍1+ 𝛽2𝑍2+ 𝜀.
Гиперболическая модель. Данные связаны соотношением
1
𝑌 = 𝛽0+ 𝛽
Введем новую переменную 𝑍 =
1
, тогда модель примет вид:
𝑋
+ 𝜀.
1
𝑋
𝑌 = 𝛽0+ 𝛽1𝑍 + 𝜀.
Обратная модель. Модель, порождающая данные
1
𝑌 =
.
𝛽0+ 𝛽1𝑋 + 𝜀
Замена переменной 𝑍 =
1
приведет к следующей линейной форме модели
𝑌
𝑍 = 𝛽0+ 𝛽1𝑋 + 𝜀.
Логарифмическая модель (log −𝑙𝑖𝑛):
𝑌 = 𝛽0𝑒
𝛽1𝑋
𝜀.
Прологарифмируем обе части соотношения, введя обозначения
𝑍 = ln 𝑌, 𝐵0= ln 𝛽0, 𝜈 = ln 𝜀,
6.7. Парная нелинейная регрессия 153
запишем модель в линейной форме
𝑍 = 𝐵0+ 𝛽1𝑋 + 𝜈.
Двойная логарифмическая модель (log −log):
𝛽
𝑌 = 𝛽0𝑋
1
𝜀.
Прологарифмируем обе части соотношения, введя обозначения
𝑍 = ln 𝑌, 𝐵0= ln 𝛽0, 𝑈 = ln 𝑋, 𝜈 = ln 𝜀,
запишем модель в линейной форме
𝑍 = 𝐵0+ 𝛽1𝑈 + 𝜈.
Такие модели оцениваются с помощью линейного регрессионного анализа.
Также, по аналогии с линейной регрессией, проводится проверка значимости
коэффициентов и адекватности модели.
Очевидно, для одного набора эмпирических данных можно использовать
различные модели, которые возможно окажутся и адекватными. Тогда для их
сравнения и выбора лучшей используются специальные статистические тесты.
Пример 6.6. В условиях примера 6.1 оценить квадратичную регрессионную модель 𝑌 = 𝛽0+ 𝛽1𝑋 +𝛽2𝑋2+ 𝜀 зависимости деформации 𝑌 трубопровода
от жесткости 𝑋 основания траншеи. И оценить ее адекватность при 𝛼 = 0,05.
Пусть истинная модель связи имеет вид 𝑌 = 𝛽0+𝛽1𝑋 +𝛽2𝑋2+𝜀. Выполнив
замену переменных 𝑍1= 𝑋, 𝑍2= 𝑋2, получим линейную форму модели
𝑌 = 𝛽0+ 𝛽1𝑍1+ 𝛽2𝑍2+ 𝜀.
Используя метод оценивания двуфакторной линейной регрессии, найдем
оценки 𝛽
0
, 𝛽
*
1
и 𝛽
*
коэффициентов модели.
2
*
Составим таблицу 6.8 промежуточных вычислений.
Найдем оценки 𝛽
0
, 𝛽
*
1
и 𝛽
*
коэффициентов регрессии по формулам (6.28),
2
*
(6.29), (6.30):
*
𝛽
= −0,11153, 𝛽
1
*
= 0,003118, 𝛽
2
*
= 1,577284.
0
154 Глава 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Таблица 6.8 – Вспомогательная таблица к примеру 6.6
𝑦 𝑧
1,12 5,5 30,25 1,2544 30,25 915,0625 6,1600 33,88 166,375
0,84 7,5 56,25 0,7056 56,25 3164,0625 6,3000 47,25 421,875
0,74 9,8 96,04 0,5476 96,04 9223,6816 7,2520 71,0696 941,192
0,75 10,9 118,81 0,5625 118,81 14115,8161 8,1750 89,1075 1295,029
0,64 13,2 174,24 0,4096 174,24 30359,5776 8,4480 111,5136 2299,968
0,68 13,5 182,25 0,4624 182,25 33215,0625 9,1800 123,93 2460,375
0,63 14,1 198,81 0,3969 198,81 39525,4161 8,8830 125,2503 2803,221
0,6 14,4 207,36 0,36 207,36 42998,1696 8,6400 124,416 2985,984
0,67 16,1 259,21 0,4489 259,21 67189,8241 10,787 173,6707 4173,281
0,52 18,1 327,61 0,2704 327,61 107328,3121 9,4120 170,3572 5929,741
Сумма 7,19 123,1 1650,83 5,4183 1650,83 348034,9847 83,237 1070,445 23477,04
Ср-е 0,72 12,31 165,083 0,5418 165,083 34803,4985 8,3237 107,0445 2347,704
1
𝑧
2
2
𝑦
2
𝑧
1
2
𝑧
2
𝑦𝑧
1
𝑦𝑧
2
𝑧1𝑧
2
Таким образом, оцененная квадратичная модель регрессии имеет вид:
𝑌*= 1,577284 −0,11153𝑋 + 0,003118𝑋2.
1.4
1.2
1
0.8
Деформация, мм
0.6
0.4
6 8 10 12 14 16 18
Жесткость основания, кгс/см
2
Рис. 6.4 – Диаграмма рассеяния с графиками линейной и квадратичной регрессий регрессии
Вычислим по формуле (6.18) среднюю относительную ошибку аппроксима-
ции:
𝐴 = 5,74%.
6.7. Парная нелинейная регрессия 155
Так как 𝐴 ≤ 7%, то модель имеет хорошее качество. Кроме того, средняя
относительная ошибка аппроксимации квадратичной модели меньше, чем для
линейной, т.е. в этом смысле квадратичная модель лучше.
Вычислим коэффициент детерминации регрессионной модели
𝑅2= 0,9043.
Это означает, что модель объясняет 90,43% изменчивости зависимой переменной. Этот результат также лучше, чем у линейной.
Для сравнения нанесем на диаграмму рассеяния прямую и параболу, которые соответствует двум построенным моделям (см. рисунок 6.4).
Контрольные вопросы
1. Какие задачи решает корреляционный анализ?
2. В чем отличие функциональной и корреляционной связи?
3. Что определяет парный коэффициент корреляции?
4. Как определить значимость коэффициента корреляции?
5. Что определяет коэффициент частной корреляции?
6. Что определяет коэффициент множественной корреляции?
7. Как определить значимость коэффициента множественной корреляции?
Какие задачи решает регрессионный анализ?
8. Приведите общую постановку задачи регрессионного анализа.
9. Перечислите этапы регрессионного анализа.
10. Сформулируйте и запишите постановку задачи парной линейной регрес-
сии.
11. В чем суть метода наименьших квадратов?
12. Назовите условия Гаусса–Маркова.
13. О чем говорит теорема Гаусса–Маркова?
14. Запишите выражения для оценки коэффициентов регрессии в задаче
линейной регрессии.
15. Запишите выражения для оценки дисперсии случайного члена в задаче
линейной регрессии.
156
16. Запишите формулу для оценки ковариационной матрицы коэффициен-
тов регрессии в задаче линейной регрессии.
17. Запишите доверительный интервал для коэффициентов регрессии в за-
даче линейной регрессии.
18. Как проверяется значимость уравнения регрессии?
19. Как проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии?
20. Как вычисляется коэффициент детерминации 𝑅2?
21. Чему равны коэффициент детерминации 𝑅2и 𝐹 –статистика в случае
строгой функциональной зависимости 𝑌 от 𝑋?
СТАТИСТИЧЕСКИЕ
ТАБЛИЦЫ
В приложении приведены статистические таблицы квантилей основных вероятностных распределений.
В таблице П.1 приведены значения функции распределения стандартно-
2
𝑢
−
2
𝑒
𝑑𝑢 для 𝑥 ≥ 0. Если 𝑥 < 0, то
го нормального закона 𝐹 (𝑥) =
√
1
2𝜋
𝑥
−∞
𝐹 (𝑥) = 1 −𝐹 (−𝑥).
В первом столбце таблицы указаны целая и десятая часть аргумента, в
первой строке соответствующая сотая часть.
В таблице П.2. приведены квантили распределения Стьюдента c 𝑛 степенями свободы.
В таблицах П.3 приведены квантили уровней 0,9; 0,95; 0,99 для случайной величины, имеющей распределение Фишера, 𝑛 — число степеней числителя
(указаны в первой строке таблицы), 𝑚 — число степеней знаменателя (указаны
в первом столбце таблицы).
В таблице П.4 приведены квантили распределения c 𝑛 степенями свободы.
В таблице П.5 приведены квантили для критерия согласия Колмогорова.
В таблице П.6 приведены критические значения коэффициента Кохрена.
157
158
Таблица П.1 – Функция распределения стандартного нормального закона
𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
159
Таблица П.2 – Квантили распределения Стьюдента c 𝑛 степенями свободы
n Уровень n Уровень
0,95 0,975 0,995 0,9975 0,95 0,975 0,995 0,9975
1 6,31375 12,70620 63,65674 127,3213 36 1,68830 2,02809 2,71949 2,99049
2 2,91999 4,30265 9,92484 14,08905 37 1,68709 2,02619 2,71541 2,98524
3 2,35336 3,18245 5,84091 7,45332 38 1,68595 2,02439 2,71156 2,98029
4 2,13185 2,77645 4,60410 5,59757 39 1,68488 2,02269 2,70791 2,97561
5 2,01505 2,57058 4,03214 4,77334 40 1,68385 2,02108 2,70446 2,97117
6 1,94318 2,44691 3,70743 4,31683 41 1,68288 2,01954 2,70118 2,96696
7 1,89458 2,36462 3,49948 4,02934 42 1,68195 2,01808 2,69807 2,96296
8 1,85955 2,30600 3,35539 3,83252 43 1,68107 2,01669 2,69510 2,95916
9 1,83311 2,26216 3,24984 3,68966 44 1,68023 2,01537 2,69228 2,95553
10 1,81246 2,22814 3,16927 3,58141 45 1,67943 2,01410 2,68959 2,95208
11 1,79589 2,20099 3,10581 3,49661 46 1,67866 2,01290 2,68701 2,94878
12 1,78229 2,17881 3,05454 3,42844 47 1,67793 2,01174 2,68456 2,94563
13 1,77093 2,16037 3,01228 3,37247 48 1,67722 2,01064 2,68220 2,94262
14 1,76131 2,14479 2,97684 3,32570 49 1,67655 2,00958 2,67995 2,93973
15 1,75305 2,13145 2,94671 3,28604 50 1,67591 2,00856 2,67779 2,93696
16 1,74588 2,11991 2,92078 3,25199 51 1,675285 2,007584 2,675722 2,934311
17 1,73961 2,10982 2,89823 3,22245 52 1,674689 2,006647 2,673734 2,931765
18 1,73406 2,10092 2,87844 3,19657 53 1,674116 2,005746 2,671823 2,929318
19 1,72913 2,09302 2,86094 3,17373 54 1,673565 2,004879 2,669985 2,926965
20 1,72472 2,08596 2,84534 3,15340 55 1,673034 2,004045 2,668216 2,924701
21 1,72074 2,07961 2,83136 3,13521 56 1,672522 2,003241 2,666512 2,922521
22 1,71714 2,07387 2,81876 3,11882 57 1,672029 2,002465 2,66487 2,92042
23 1,71387 2,06866 2,80734 3,10400 58 1,671553 2,001717 2,663287 2,918394
24 1,71088 2,06390 2,79694 3,09051 59 1,671093 2,000995 2,661759 2,91644
25 1,70814 2,05954 2,78744 3,07820 60 1,670649 2,000298 2,660283 2,914553
26 1,70562 2,05553 2,77872 3,06691 61 1,670219 1,999624 2,658857 2,912729
27 1,70329 2,05183 2,77068 3,05652 62 1,669804 1,998972 2,657479 2,910967
28 1,70113 2,04841 2,76326 3,04693 63 1,669402 1,998341 2,656145 2,909262
29 1,69913 2,04523 2,75639 3,03805 64 1,669013 1,99773 2,654854 2,907613
30 1,69726 2,04227 2,75000 3,02980 65 1,668636 1,997138 2,653604 2,906015
31 1,69552 2,03951 2,74404 3,02212 66 1,668271 1,996564 2,652394 2,904468
32 1,69389 2,03693 2,73848 3,01495 67 1,667916 1,996008 2,65122 2,902968
33 1,69236 2,03452 2,73328 3,00824 68 1,667572 1,995469 2,650081 2,901514
34 1,69092 2,03225 2,72839 3,00195 69 1,667239 1,994945 2,648977 2,900103
35 1,68957 2,03011 2,72381 2,99605 70 1,666914 1,994437 2,647905 2,898734
160
Таблица П.3.а – Распределение Фишера. Квантиль уровня 0,9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 24 40 60
1 39,9 49,5 53,7 55,9 57,2 58,2 58,9 59,4 59,9 60,2 60,8 61,2 6,00 62,5 62,8
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,45 9,47 9,47
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,16 5,15
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,83 3,80 3,79
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,19 3,16 3,14
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,82 2,78 2,76
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,58 2,54 2,51
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,40 2,36 2,34
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,28 2,23 2,21
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,18 2,13 2,11
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,21 2,17 2,10 2,05 2,03
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,04 1,99 1,96
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 1,98 1,93 1,90
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,05 2,01 1,94 1,89 1,86
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,90 1,85 1,82
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,99 1,94 1,87 1,81 1,78
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,96 1,91 1,84 1,78 1,75
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,93 1,89 1,81 1,75 1,72
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,91 1,86 1,79 1,73 1,70
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,77 1,71 1,68
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,75 1,69 1,66
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,73 1,67 1,64
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,72 1,66 1,62
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,70 1,64 1,61
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,69 1,63 1,59
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,81 1,76 1,68 1,61 1,58
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,80 1,75 1,67 1,60 1,57
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,66 1,59 1,56
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,78 1,73 1,65 1,58 1,55
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,64 1,57 1,54
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,57 1,51 1,47
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,51 1,44 1,40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]