Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
1.2. Основные числовые характеристики случайных величин 11
Определение 1.8. Модой Mo (𝑋) абсолютно непрерывной случайной вели-
чины 𝑋 называется такое значение 𝑥, при котором плотность распределения
вероятностей случайной величины 𝑓𝑋(𝑥) принимает максимальное значение.
Для дискретной случайной величины модой является её наивероятнейшее значение.
Определение 1.9. Медианой Me (𝑋) случайной величины 𝑋 называется та-
кое значение 𝑥, которое разбивает всю область возможных значений случайной
величины на две равновероятные части, т. е. P (𝑋 ≤ 𝑥) = P (𝑋 ≥ 𝑥) = 0,5.
Медиана может быть точно определена для абсолютно непрерывных случайных величин. Как следует из определения, медиана является решением
уравнения 𝐹 (𝑥) = 0,5. Очевидно, что для дискретных величин это уравнение может не иметь решения, тогда говорят, что медианы не существует, или
иметь бесчисленное множество решений, в этом случае в качестве медианы может быть взята любая точка этого интервала.
1.2.2 Числовые характеристики рассеяния
Характеристики рассеяния являются в некотором смысле мерой разброса
возможных значений случайной величины относительно своего центра. Основными характеристиками рассеяния являются: дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации.
Определение 1.10. Дисперсией случайной величины 𝑋 называют число,
определяемое соотношением
D (𝑋) = 𝜎
Применяя формулы (1.6) для математического ожидания случайной вели-
2
= M (𝑋 −M (𝑋))2.
𝑋
чины, получим:
⎧
∞
⎪
D (𝑋) =
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
(𝑥𝑖− 𝑚𝑋)2𝑝𝑖, для дискретных СВ;
𝑖=1
+∞
(𝑥 −𝑚𝑋)2𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥, для абсолютно непрерывных СВ,
−∞
если правые части формул существуют.
Дисперсия измеряется в квадратах той единицы измерения, в которой измеряется случайная величина.
(1.7)
12 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение 1.11. Квадратный корень из дисперсии 𝜎𝑋=D (𝑋) называется средним квадратичным отклонением или стандартным отклоне-
нием случайной величины.
Стандартное отклонение, в отличии от дисперсии, измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина.
Определение 1.12. Коэффициент вариации равен отношению стандартного
отклонения к среднему значению
𝜎
V𝑋=
Коэффициент вариации V — это мера относительного разброса случайной
величины, которая указывает какую долю среднего значения этой случайной
𝑋
· 100%. (1.8)
𝑚
𝑋
величины составляет её средний разброс. Коэффициент вариации используется
только при ненулевом математическом ожидании. Так как коэффициент вариации — величина относительная, то на его величину не оказывают влияние
абсолютные значения изучаемого показателя.
С помощью коэффициента вариации можно сравнивать даже изменчивость
случайных величин, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент
вариации изменяется в пределах от 0 % до 100 %, при этом, значение коэффициента прямо пропорционально изменчивости. Если коэффициент вариации
меньше 10 %, то изменчивость случайной величины считают незначительной, от
10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и,
если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности
информации. Он также используется для сравнения рассеивания двух случайных величин, имеющих разные единицы измерения, что позволяет получить
сопоставимые результаты.
1.3 Моменты случайных величин. Асимметрия
и эксцесс. Квантили
Иногда знание математического ожидания и дисперсии оказывается недостаточным для характеристики случайной величины. Среди числовых характеристик случайной величины важное значение имеют моменты — начальные и
1.3. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили 13
центральные, частным случаем которых являются математическое ожидание и
дисперсия.
Определение 1.13. Начальным моментом 𝜈𝑘порядка 𝑘 случайной ве-
личины 𝑋 называется математическое ожидание величины 𝑋𝑘, если оно существует:
⎧
∞
𝑣𝑘(𝑋) =
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
𝑘
𝑥
𝑝𝑖, для дискретных СВ;
𝑖
𝑖=1
+∞
𝑥𝑘𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥, для абсолютно непрерывных СВ,
−∞
(1.9)
где 𝑘 = 1,2, . . ., если правые части формул существуют.
Не трудно заметить, что первый начальный момент равен математическому
ожиданию случайной величины.
Определение 1.14. Центральным моментом 𝜇𝑘порядка 𝑘 случайной
величины 𝑋 называется математическое ожидание величины (𝑋 −𝜈1)𝑘, если
оно существует:
⎧
∞
⎪
𝜇𝑘(𝑋) =
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
(𝑥𝑖− 𝑚𝑋)𝑘𝑝𝑖, для дискретных СВ;
𝑖=1
+∞
(𝑥 −𝑚𝑋)𝑘𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥, для абсолютно непрерывных СВ,
−∞
(1.10)
где 𝑘 = 1,2, . . ., если правые части формул существуют.
Очевидно, что первый центральный момент всегда равен нулю, а второй —
дисперсии случайной величины.
Используя свойства математического ожидания, можно установить формулы связи между центральными и начальными моментами:
𝜇2= 𝜈2− 𝜈
2
, 𝜇3= 𝜈3− 3𝜈2𝜈1+ 2𝜈
1
3
, 𝜇4= 𝜈4− 4𝜈3𝜈1+ 6𝜈2𝜈
1
2
− 3𝜈
1
4
. (1.11)
1
Центральный момент третьего порядка 𝜇3характеризует скошенность закона распределения вероятностей случайной величины. За меру скошенности
принимают величину, называемую коэффициентом асимметрии.
Определение 1.15. Коэффициентом асимметрии (асимметрией) рас-
пределения случайной величины называют величину, определяемую соотношением
𝜇
As =
3
. (1.12)
3
𝜎
14 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Асимметрия является безразмерной величиной. Если коэффициент асимметрии
— положителен, то правый хвост распределения длиннее левого;
— отрицателен, то левый хвост распределения длиннее;
— равен нулю, то распределение симметрично относительно математического ожидания (см. рис. 1.2).
𝑓(𝑥)
As > 0
𝑓(𝑥)
𝑥
As < 0
𝑥
Рис. 1.2 – Зависимость знака асимметрии от вида плотности распределения
Центральный момент четвёртого порядка 𝜇4характеризует островершинность или плосковершинность плотности вероятности 𝑓 (𝑥) распределения вероятностей случайной величины. За меру островершинности закона распределения принимается величина Ex, называемая коэффициентом эксцесса.
Определение 1.16. Коэффициентом эксцесса (эксцессом) называют ве-
личину:
𝜇
Ex =
4
− 3 (1.13)
4
𝜎
График плотности распределения имеет
— более острою вершину, если 𝐸𝑥 > 0;
— более пологую, если 𝐸𝑥 < 0.
Для наглядности при различных значениях эксцесса графики плотности
вероятностей изображены на рис. 1.3.
Определение 1.17. Квантилью порядка 𝑝 случайной величины 𝑋 называ-
ют такое число 𝑥𝑝, для которого выполняется следующее равенство:
P (𝑋 < 𝑥𝑝) = 𝑝 или 𝐹 (𝑥𝑝) = 𝑝. (1.14)
1.3. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили 15
𝑘1𝑘
2
𝑘
3
Ex = 0
𝑓(𝑥)
Ex < 0
Ex > 0
𝑥
Рис. 1.3 – Зависимость знака эксцесса от вида плотности распределения
Квантили удобны для сравнения различных законов распределения вероятностей. Часто пользуются децили: 𝑥
распространение получили квартили 𝑥
0,1,𝑥0,2
0,25,𝑥0,5,𝑥0,75
, . . . ,𝑥
. Однако, наибольшее
0,9
. Квартили 𝑘1= 𝑥
0,25
и
𝑘3= 𝑥
называют обычно нижней и верхней квартилями.
0,75
Определение 1.18. Разность между первой и третьей квартилями называют
интерквартильным размахом.
Квартиль 𝑘2= 𝑥
является медианой распределения. На рис. 1.4 показано
0,5
расположение квартилей на числовой оси.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2 4 6 8
Рис. 1.4 – Квартили распределения
С помощью квантилей удобно сравнивать распределения по величине рассеяния возможных значений случайных величин. В частности, если дисперсия
16 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
случайной величины не существует, то в качестве меры рассеяния можно применить величину 0,5 (𝑘3− 𝑘1), которую называют вероятным отклонением
или срединным отклонением.
Чем больше известно квантилей, тем более полное представление можно составить о характере закона распределения случайной величины. Однако, описание случайных величин с помощью квантилей применимо лишь к непрерывным
случайным величинам. Так как для дискретных случайных величин функция
распределения вероятностей имеет ступенчатый вид, то уравнение (1.14) будет
иметь единственное решения только для некоторых значений 𝑝.
1.4 Примеры дискретных случайных величин
Некоторые законы распределения вероятностей достаточно часто встречаются в практических задачах. Рассмотрим некоторые из дискретных законов.
1.4.1 Дискретное равномерное распределение.
Говорят, что случайная величина 𝑋 распределена по дискретному равномерному закону, обозначают 𝑋 ∼ 𝐷𝑈 (𝑖,𝑗), если она может принимать только
целые значения от 𝑖 до 𝑗 включительно, а вероятности всех возможных значений одинаковы, т.е.
𝑝𝑘= P (𝑋 = 𝑘) =
Многоугольник распределения этой случайной величины для 𝑖 = 1 и 𝑗 = 5
изображен на рис. 1.5. На практике равномерное распределение используется
1
, 𝑘 = 𝑖,𝑗. (1.15)
𝑗 − 𝑖 + 1
при моделировании случайных величин, о вероятностных характеристиках которых мало что известно.
Основные числовые характеристики равномерной случайной величины
M (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴
𝑗+𝑖
2
(𝑗−𝑖+1)2−1
12
𝑠
0 −
𝐸
𝑥
6((𝑗−𝑖+1)2+1
5((𝑗−𝑖+1)2−1
)
)
1.4. Примеры дискретных случайных величин 17
0.3
𝑝
0.2
0.1
𝑘
1 2 3 4 5 6
Рис. 1.5 – Многоугольник распределения 𝑋 ∼ 𝐷𝑈 (1; 5)
1.4.2 Распределение Бернулли
Случайная величина 𝑋 имеет распределение Бернулли, если она принимает
всего два значения: 0 и 1 с вероятностями:
𝑝 = P (𝑋 = 1) или 𝑞 = 1 −𝑝 = P (𝑋 = 0) . (1.16)
Этот факт обозначают 𝑋 ∼ 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑢𝑙𝑙𝑖 (𝑝).
Говорят, что если
— (𝑋 = 1), то произошел «успех»
— (𝑋 = 0), наступила «неудача».
Эти названия условные и, в зависимости от конкретной задачи, могут быть
заменены на противоположные. Случайную величину с распределением Бернулли называют еще индикатором события «успех».
Многоугольник распределения этой случайной величины для 𝑝 = 0,3 изображен на рис. 1.6.
На практике используется при моделировании случайного события произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.
Основные числовые характеристики случайной величины с распределением
Бернулли:
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴
1−2𝑝
𝑝 𝑝𝑞
√
𝑠
𝑝𝑞
𝐸
𝑥
6𝑝2−6𝑝+1
𝑝𝑞
18 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
0.8
𝑝
0.6
0.4
0.2
𝑘
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 1.6 – Многоугольник распределения 𝑋 ∼ 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑢𝑙𝑙𝑖 (0,3)
1.4.3 Биномиальное распределение
Говорят, что случайная величина 𝑋 распределена по биномиальному закону, обозначают 𝑋 ∼ 𝐵 (𝑛,𝑝), если она может принимать только целые неотрицательные значения от 0 до 𝑛, а вероятности этих значений определяются
формулой:
𝑘
𝑝𝑘= P (𝑋 = 𝑘) = 𝐶
По смыслу биномиальная случайная величина 𝑋 — это число успехов в серии из 𝑛 одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха
𝑝 в каждом испытании.
Основные числовые характеристики:
𝑛
𝑝𝑘𝑞
𝑛−𝑘
, 𝑘 = 0,𝑛, 0 < 𝑝 < 1, 𝑞 = 1 −𝑝. (1.17)
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴
1−2𝑝
𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞
√
𝑛𝑝𝑞
𝐸
𝑠
𝑥
1−6𝑝𝑞
𝑛𝑝𝑞
Таким образом, скошенность распределения может быть и положительной,
и отрицательной. Распределение становится симметричным при 𝑝 = 0,5. Величина эксцесса всегда отрицательна и приближается к нулю при возрастании 𝑛.
Многоугольник распределения этой случайной величины для 𝑛 = 4 и 𝑝 = 0,3
изображен на рис. 1.7.
1.4. Примеры дискретных случайных величин 19
Биномиальный закон распределения вероятностей применяется в теории
стрельбы, в теории статистического контроля качества продукции, в теории
массового обслуживания, в теории надежности и т.д. Этот закон может применяться во всех случаях, когда имеет место последовательность независимых
испытаний.
𝑝
0.4
0.3
0.2
0.1
𝑘
1 2 3 4 5
Рис. 1.7 – Многоугольник распределения 𝑋 ∼ 𝐵 (4; 0,3)
1.4.4 Распределение Пуассона
Говорят, что случайная величина 𝑋 распределена по закону Пуассона, обозначают 𝑋 ∼ 𝑃 (𝜆), если она может принимать только целые неотрицательные
значения, а вероятности этих значений определяются формулой:
𝑘
𝑝𝑘= P (𝑋 = 𝑘) =
Основные числовые характеристики:
𝜆
𝑒−𝜆, 𝑘 = 0,1,2, . . . , 𝜆 > 0. (1.18)
𝑘!
𝑀 (𝑋) 𝐷 (𝑋) 𝐴𝑠𝐸
1
𝜆 𝜆
√
𝜆
𝑥
1
𝜆
Многоугольник распределения этой случайной величины для 𝜆 = 3 изображен на рис. 1.8.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Это распределение применяется в
20 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
картах контроля качества, теории массового обслуживания, телекоммуникации, медицинской статистике и т. д. Распределение Пуассона еще называют
законом редких событий.
𝑝
0.4
0.3
0.2
0.1
𝑘
2 4 6 8 10
Рис. 1.8 – Многоугольник распределения 𝑋 ∼ 𝑃 (3)
Если в схеме Бернулли число независимых испытаний 𝑛 → ∞, а вероятность 𝑝 → 0 так, чтобы 𝑛𝑝 → 𝜆, то биномиальное распределение будет неограниченно приближаться к распределению Пуассона.
1.5 Геометрическое распределение (Фарри)
Этот закон распределения вероятностей также связан с последовательностью независимых испытаний в схеме Бернулли. Пусть случайной величиной
является число проведённых испытаний, предшествующих первому осуществлению наблюдаемого события. Например, число выстрелов до первого попадания в цель, число проверенных изделий до первого появления бракованного
изделия и т.п. Очевидно, что возможными значениями такой случайной величины будут целые числа 1,2,3, . . . Если 𝑝 есть вероятность данного события в
одном испытании, а 𝑞 = 1 −𝑝, то
𝑝𝑘= P (𝑋 = 𝑘) = 𝑝𝑞𝑘, 𝑘 = 0,1,2, . . . , 0 < 𝑝 < 1. (1.19)
Эти формулы и представляют геометрический закон распределения вероятностей, пишут 𝑋 ∼ 𝐺 (𝑝). C ростом 𝑘 вероятности монотонно убывают.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]