Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
1.8. Числовые характеристики многомерных случайных величин 31
Центральным моментом 𝜇𝑔ℎпорядка 𝑘 двумерного случайного векто-
ра (𝑋,𝑌 ) называется математическое ожидание произведения центрированных
величин (𝑋 −𝑚𝑥)
𝑔
𝑌 − 𝑚
ℎ
, при этом 𝑘 = 𝑔 + ℎ.
𝑦
Если двумерная случайная величина (𝑋,𝑌 ) задана плотностью распределения 𝑓 (𝑥, 𝑦), то центральный момент 𝜇𝑔ℎдвумерной величины (𝑋,𝑌 ) определяется формулой:
+∞
+∞
−∞
(𝑥 −𝑚𝑥)
−∞
𝑔
𝑦 − 𝑚
ℎ
𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑦
𝜇𝑔ℎ= M(𝑋 −𝑚𝑥)
𝑔
𝑌 − 𝑚
ℎ
=
𝑦
Если (𝑋,𝑌 ) двумерная дискретная случайная величина принимает значения (𝑥𝑖,𝑦𝑗), 𝑖 = 1,𝑠, 𝑗 = 1,𝑞, с вероятностями𝑝𝑖𝑗, то
𝑞
𝜇𝑔ℎ= M(𝑋 −𝑚𝑥)
𝑔
𝑌 − 𝑚
ℎ
𝑦
=
𝑠
𝑖=1
(𝑥𝑖− 𝑚𝑥)
𝑗=1
𝑔
𝑦𝑗− 𝑚
ℎ
𝑝𝑖𝑗.
𝑦
Чаще всего при анализе случайных величин используются моменты второго
порядка. Не трудно увидеть, что моменты 𝜇
2,0
и 𝜇
являются, соответствен-
0,2
но, дисперсиями 𝐷 (𝑋) и 𝐷 (𝑌 ) первой и второй компоненты соответственно.
Смешанный момент второго порядка 𝜇
используют при изучении линейной
1,1
зависимости между двумя случайными величинами. Этот момент называют ковариационным моментом или ковариацией и обозначают через Cov (𝑋,𝑌 ),
т. е.
Cov (𝑋,𝑌 ) = M(𝑋 −𝑚𝑥)𝑌 − 𝑚
𝑦
(1.36)
Из свойств математического ожидания следует, что из независимости случайных величин 𝑋 и 𝑌 следует равенство нулю их ковариационного момента.
Действительно, если 𝑋 и 𝑌 независимы, то
𝐶𝑜𝑣 (𝑋,𝑌 ) = M(𝑋 −𝑚𝑥)𝑌 − 𝑚
= (M𝑋 −𝑚𝑥)M𝑌 − 𝑚
= M (𝑋 −𝑚𝑥) M𝑌 − 𝑚
𝑦
= (𝑚𝑥− 𝑚𝑥)𝑚𝑦− 𝑚
𝑦
Величина ковариации Cov (𝑋,𝑌 ) зависит от дисперсий 𝜎
2
𝑥
и 𝜎
𝑦
= 0.
𝑦
=
𝑦
2
случайных величин X и Y. Поэтому трудно судить о силе линейной связи между величинами, опираясь только на значение Cov (𝑋,𝑌 ). Если, например,
32 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Cov (𝑋,𝑌 ) < Cov (𝑈,𝑉 ), то, вообще говоря, нельзя утверждать, что линейная
связь между 𝑈 и 𝑉 сильнее, чем между величинами 𝑋 и 𝑌 . Это связано с тем,
что у пары величин 𝑈 и 𝑉 дисперсии могут значительно отличаться от дисперсий пары 𝑋 и 𝑌 . Поэтому в качестве меры линейной зависимости случайных
величин 𝑋 и 𝑌 используют безразмерную характеристику, которую называют
коэффициентом корреляции, определяемую формулой
𝜌
𝑥,𝑦
=
𝜎𝑥𝜎
. (1.37)
𝑦
Свойства коэффициента корреляции случайных величин 𝑋 и 𝑌 .
Cov (𝑋,𝑌 )
1. Абсолютное значение не превосходит единицы, т.е. |𝜌
𝑥,𝑦
| ≤ 1.
2. Случайные величины называются некоррелированными, если коэф-
фициент корреляции между ними равен нулю. Из независимости случайных
величин следует их некоррелированность. Обратное утверждение в общем случае не является верным.
3. |𝜌
| = 1 тогда и только тогда, когда 𝑋 и 𝑌 связаны функциональной ли-
𝑥,𝑦
нейной зависимостью, т.е. 𝑌 = 𝑘𝑋 + 𝑏, где 𝑘 = 0 и 𝑏 — неслучайные константы,
причем 𝜌
= 1, если 𝑘 > 0, и 𝜌
𝑥,𝑦
= −1, если 𝑘 < 0.
𝑥,𝑦
1.9 Предельные теоремы
В конце XIX столетия в теории вероятностей начинают бурно развиваться
исследования, связанные с предельными теоремами теории вероятностей. Основоположниками этого направления являются русские ученые: П. Л. Чебышев,
А. А. Марков, А. М. Ляпунов.
Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Они обе
изучают случайные явления. Связующими элементами между этими дисциплинами служат предельные теоремы. Они устанавливают взаимосвязь между
теоретическими и эмпирическими свойствами случайных величин при неограниченном росте наблюдений над ними.
Предельные теоремы делятся на две группы:
— закон больших чисел (ЗБЧ);
— центральная предельная теорема (ЦПТ).
1.9. Предельные теоремы 33
1.9.1 Закон больших чисел
Закон больших чисел — это обобщенное название цикла теорем, формулирующих условия, при которых разность среднего арифметического случайных
величин и среднего арифметического их математических ожиданий сходится
по вероятности к нулю.
Первую общую теорему, связанную с законом больших чисел, сформулировал и доказал в 1866 г. великий русский математик П. Л. Чебышев в работе
«О средних величинах».
Основным инструментом, используемым при анализе случайных величин с
помощью закона больших чисел, служит неравенство Чебышева.
Теорема 1.1 (Неравенство Чебышева). Пусть 𝑔 (𝑥) — неотрицательная
неубывающая на множестве значений случайной величины 𝑋 функция. Пред-
положим, что существует M𝑔 (𝑋). Тогда для каждого 𝜀 > 0 справедливо
неравенство
P {𝑋 > 𝜀} ≤ M𝑔 (𝑋) /𝑔 (𝜀).
Пример 1.1. Масса изделия, изготавливаемого цехом, есть случайная величина со средним квадратическим отклонением равным 20 г. Oценить вероятность того, что масса изделия отклонится от его математического ожидания по
абсолютной величине более чем на 30 г.
Решение. Пусть 𝑌 — случайная величина, равная массе изделия, по условию
𝐷 (𝑌 ) = 𝜎
2
= 202= 400. Положим 𝑔 (𝑥) = 𝑥2и 𝑋 = |𝑌 − 𝑀 (𝑌 )|, тогда,
𝑦
согласно неравенству Чебышева, имеем
=
2
=
2
.
3
P {|𝑌 − M (𝑌 )| > 30}6
M𝑔({|𝑌 −M(𝑌 )|>30})
𝑔(𝜀)
M{|𝑌 −M(𝑌 )|>30}
=
D(𝑋)
=
900
=
30
2
400
900
Определение 1.19. Говорят, что последовательность случайных величин
𝑋1, . . . ,𝑋𝑛, . . . сходится по вероятности к 𝑋, если для любого 𝜀 > 0 справедливо
lim
P (|𝑋𝑛− 𝑋| > 𝜀) = 0,
𝑛→∞
в этом случае пишут 𝑋
𝑝
−→ 𝑋.
𝑛
34 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Теорема 1.2 (Закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть {𝑋𝑛} —
последовательность независимых случайных величин, для которых существу-
ют D (𝑋𝑛), причем D (𝑋𝑛) ≤ 𝑐 при всех 𝑛. Тогда
𝑛
1
𝑛
𝑘=1
𝑋
𝑘
𝑝
−−→
1
𝑛
𝑛
𝑘=1
M (𝑋𝑘) .
Следствие из теоремы Чебышева. Пусть {𝑋𝑛}— последовательность независимых случайных величин такая, что M (𝑋𝑛) = 𝑚, D (𝑋𝑛) ≤ 𝑐 при всех 𝑛.
Тогда для каждого 𝜀 > 0
lim
𝑛→∞
P
𝑛
1
𝑛
𝑋𝑘− 𝑚
𝑘=1
> 𝜀= 0.
Этот частный случай теоремы Чебышева дает обоснование правилу среднего арифметического в теории обработки результатов измерений.
Рассмотрим последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может быть только два исхода — успех (У) с постоянной вероятностью 𝑝
и неудача (Н) с вероятностью 𝑞 = 1 −𝑝. Назовем такую последовательность испытаний схемой Бернулли. Тогда для 𝜈𝑛— частоты появления успеха в первых
𝑛 испытаниях справедлива следующая теорема, которая является следствием
теоремы Чебышева.
Теорема 1.3 (Закон больших чисел в форме Бернулли). В схеме Бернулли
для любого 𝜀 > 0 справедливо равенство
lim
P {|𝜈𝑛− 𝑝| > 𝜀} = 0.
𝑛→∞
Оказывается, что для независимых одинаково распределенных случайных
величин закон больших чисел справедлив и без требования ограниченности дисперсий, и тем более требования существования дисперсий. А именно, имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.4 (Закон больших чисел в форме Хинчина). Пусть {𝑋𝑛}— по-
следовательность независимых одинаково распределенных величин, имеющих
конечное математическое ожидание M (𝑋𝑛) = 𝑚. Тогда для каждого 𝜀 > 0
справедливо
1.9. Предельные теоремы 35
lim
𝑛→∞
P
𝑛
1
𝑛
𝑋𝑘− 𝑚
𝑘=1
> 𝜀= 0.
Обобщение закона больших чисел для зависимых случайных величин было
получено А. А. Марковым.
Теорема 1.5 (Закон больших чисел в форме Маркова). Если последова-
тельность произвольных случайных величин удовлетворяет условию
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛
1
2
D
𝑘=1
𝑋
= 0,
𝑘
тогда для любого 𝜀 > 0 имеет место
lim
𝑛→∞
P
𝑛
1
𝑛
𝑋𝑘−
𝑘=1
𝑛
1
𝑛
𝑘=1
M (𝑋𝑘)
> 𝜀= 0.
1.9.2 Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно
приближается к нормальному закону.
Одним из важнейших примеров применения результатов теории вероятностей в технике, экономике и естествознании является следующий: пусть некоторый процесс, будь то экономический или физический, протекает под влиянием
большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых мало
влияет на изменение наблюдаемого процесса. Исследователя интересует поведение процесса в целом, а не воздействие отдельных факторов. Таким образом,
возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого
числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь
малое влияние на сумму. Вместо того, чтобы изучать суммы очень большого,
но конечного числа слагаемых, мы будем рассматривать последовательность
сумм со все большим и большим числом слагаемых и считать, что решения
интересующих нас задач даются предельными функциями распределения для
последовательности функций распределения таких сумм.
36 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Теорема 1.6 (Классическая ЦПТ). Пусть 𝑋1, . . . ,𝑋𝑛, . . . — последователь-
ность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной
дисперсией 𝐷 (𝑋𝑘) = 𝜎2< ∞ и 𝑠𝑛=
𝑛
𝑋𝑘. Тогда для любого 𝑥 ∈ 𝑅 при
𝑘=1
𝑛 → ∞.
𝑠𝑛− M (𝑠𝑛)
P
D (𝑠𝑛)
< 𝑥→
√
1
2𝜋
−∞
𝑥
2
𝑢
−
2
𝑒
𝑑𝑢 = 𝐹 (𝑥) .
Пример 1.2. Длина изделия является случайной величиной со средним
квадратическим отклонением 20 мм. Отделом технического контроля качества
проверяется 100 изделий. Какова вероятность того, что среднее арифметическое
длин этих изделий по абсолютной величине отклонится от средней длины не
более чем на 3 мм.
Пусть 𝑋𝑘— длина 𝑘-ой детали. Согласно ЦПТ
P
= P
1
𝑛
𝑛
𝑘=1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑋𝑘−
𝑛
𝑘=1
= 𝐹
𝑋𝑘−
0,1
⎧
𝑛
𝑛𝑥
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑘=1
𝑘=1
<
− 𝐹
< 𝑥= P
𝑛𝑥
√
𝑛 D(𝑋1)
0,1
−
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
√
= P
√
𝐷(𝑋1)
𝑛
1
M (𝑋𝑘)
𝑛
𝑘=1
M(𝑋𝑘)
𝑘
√
𝑛𝑥
D(𝑋1)
𝑛
𝑘=1
𝑛
D
𝑘=1
𝑋
√
𝑋𝑘−
D
𝑘=1
𝑛
𝑋𝑘−
D
= 2𝐹
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
0,1
𝑋
𝑘=1
𝑛
M(𝑋𝑘)
𝑘
𝑛
M(𝑋𝑘)
𝑋
𝑘
√
√
D(𝑋1)
<
𝑛𝑥
𝑛𝑥
𝑛
D
<
√
𝑘=1
√
𝑛𝑥
D(𝑋1)
− 1.
𝑋
𝑘
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
=
≈
В нашем случае 𝑥 = 3, 𝐷 (𝑋) = 202= 400, 𝑛 = 100. Следовательно, искомая
вероятность равна
3 ·10
2𝐹
0,1
20
− 1 = 2𝐹
(1,5) −1 = 2 · 0,9332 − 1 = 0,8664.
0,1
Значения функции 𝐹 (𝑥) взяты из таблицы П.1 приложения, приведенного
в конце пособия.
Контрольные вопросы
1. Что такое случайная величина?
2. В чём различие дискретной и абсолютно непрерывной случайных вели-
чин?
1.9. Предельные теоремы 37
3. Что называется законом распределения случайной величины?
4. Какими способами можно задать дискретную случайную величину?
5. Что такое функция распределения вероятностей случайной величины?
6. Какими основными свойствами обладает функция распределения веро-
ятностей случайной величины?
7. Что такое плотность распределения вероятностей случайной величины?
8. Какими основными свойствами обладает плотность распределения веро-
ятностей случайной величины?
9. Как определяются математическое ожидание и дисперсия дискретной
случайной величины?
10. Как определяются математическое ожидание и дисперсия абсолютно
непрерывной случайной величины?
11. Что такое мода, медиана и как они определяются?
12. Что такое асимметрия и эксцесс распределения, как они определяются?
13. Что такое квантили распределения и как они определяются?
14. Как можно задать двумерную дискретную случайную величину?
15. Что такое функция распределения вероятностей двумерной величины?
16. Какими основными свойствами обладает двумерная функция распреде-
ления вероятностей? Каков их смысл?
17. Как получить двумерную плотность распределения вероятностей, зная
функцию распределения вероятностей двумерной величины?
18. Какими основными свойствами обладает двумерная плотность распре-
деления вероятностей?
19. Как определить вероятность попадания двумерной случайной величины
в заданную область?
20. В каком случае две случайные величины называются независимыми?
21. Что называется ковариацией случайного вектора?
22. Что называется коэффициентом корреляции?
23. В чем состоит суть закона больших чисел?
24. Как формулируется центральная предельная теорема?
Глава 2
ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО
МЕТОДА
2.1 Задачи математической статистики
Статистика (от латинского «статус» — состояние) — наука, обрабатывающая и изучающая количественные показатели развития общественного производства и общества, их соотношения и изменения.
Математическая статистика — раздел математики, целью которого является разработка методов сбора, систематизации и анализа данных для изучения закономерностей массовых явлений.
В определенном смысле задачи математической статистики являются обратными к задачам теории вероятностей. Если вторая выводит правила, позволяющие по вероятностям одних (простых) случайных событий вычислять вероятность других, с ними связанных, то методы математической статистики,
исходя из известных реализаций каких–либо событий, из, так называемых статистических данных, которые носят числовой характер, хотя это и не обязательно, помогают, сделать вывод о вероятностных характеристиках всего процесса
или явления в целом.
Условно статистику можно разбить на три раздела.
1. Сбор статистических данных, т. е. сведений, характеризующих отдельные
единицы изучаемых массовых явлений.
2. Статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового явления.
3. Разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных.
38
2.1. Задачи математической статистики 39
Основные задачи математической статистики.
1. Сбор и предварительная обработка данных — упорядочение результатов
наблюдения или эксперимента, представление их в удобном для исследователя
виде.
2. Оценка значения неизвестной вероятности случайного события.
3. Определение неизвестной функции распределения: в результате 𝑛 независимых испытаний над случайной величиной 𝑋 получены следующие ее значения 𝑋𝑛= (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛); требуется определить, хотя бы приближенно, неизвестную функцию распределения 𝐹 (𝑥) величины 𝑋.
4. Определение неизвестных параметров распределения. Часто из общетеоретических соображений делают вывод о виде функции распределения 𝐹𝑥,¯𝜃,
здесь¯𝜃 = (𝜃1, . . . ,𝜃𝑘) — неизвестный параметр, который надлежит оценить по
выборке.
5. Проверка статистических гипотез. На основании некоторых соображений
выдвигается гипотеза, например, функция распределения случайной величины
𝑋 есть 𝐹 (𝑥), необходимо проверить: согласуется ли гипотеза с эмпирическими
данными.
6. Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величин 𝑋 и 𝑌 . Результаты наблюдений заданы парами
значений (𝑥1; 𝑦1) , (𝑥2; 𝑦2) , . . . , (𝑥𝑛; 𝑦𝑛). Выяснить наличие функциональной или
корреляционной (статистической) связи между 𝑋 и 𝑌 .
7. Управление процессами. Пусть имеется случайный процесс 𝑋 (𝑡), который под влиянием тех или иных причин может нарушить свое нормальное протекание и стать 𝑌 (𝑡), нам необходимо вовремя обнаружить момент разладки
и оказать управляющее воздействие с целью восстановления нормального хода
процесса.
Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей. В свою очередь она служит основой для разработки методов обработки и анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой
деятельности. Методы математической статистики применяются в различных
отраслях науки: технике экономике, и т. д.
Пусть необходимо исследовать однородную совокупность некоторых объектов относительно количественного или качественного признака.
40 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Сплошное исследование — обследуются все единицы объекта наблюдения.
На практике оно редко применяется при изучении массового явления. Это не
только физически затруднительно, но и исключено, так как иногда исследования объекта связаны с его физическим уничтожением или требует больших
материальных затрат. Например, проверка пригодности лампы накаливания
приводит к выводу ее из строя, также невозможно исследовать длительность
всех телефонных разговоров. В этих случаях из всей совокупности объектов
случайным образом выбирается их ограниченное количество для статистического анализа, т.е. по результатам статистического анализа над ограниченным
объемом объектов делается вывод о вероятностных характеристиках всей совокупности.
2.2 Выборка
Основными понятиями математической статистики являются понятия генеральной совокупности и выборочной совокупности (выборки).
Определение 2.1. Генеральная совокупность — это значения изучаемой
характеристики всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины. Будем отождествлять генеральную совокупность со
случайной величиной, например, 𝑋, распределение которой нам, вообще говоря, неизвестно.
Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.
Определение 2.2. Выборочной совокупностью (выборкой) называется
совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности для
непосредственного анализа статистических свойств 𝑋𝑛= (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛), с целью сделать заключение обо всей генеральной совокупности.
В силу того, что в другой серии из 𝑛 испытаний мы в общем случае получим
другие числовые данные, то на 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑛, более естественно смотреть, как
на случайные величины, распределенные так же, как и 𝑋. Таким образом, на
выборку 𝑋𝑛= (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛) более правильно смотреть, как на 𝑛–мерный век-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]