Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
4.2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения 91
2
max𝑆
𝐹 =
min𝑆
2
,𝑆
𝑥
𝑦
2
2
,𝑆
𝑥
𝑦
63,1016
=
21,2217
≈ 2,9734.
По таблице П.3 найдем критическое значение
𝐹
крит
= 𝐹
(𝑛 −1,𝑚 − 1) = 𝐹
1−𝛼
1−0,01
(16 −1,17 −1) = 𝐹
Так как 𝐹 = 2,9734 < 3,4090 = 𝐹
(15,16) = 3,4090.
0,99
, то гипотеза о равенстве диспер-
крит
сий принимается. Следовательно при проверке гипотезы о равенстве средних
используем статистику (4.8):
𝑆 =
(𝑛 −1) 𝑆
2
+ (𝑚 − 1) 𝑆
𝑥
2
𝑦
=
𝑛 + 𝑚 − 2
(16 −1) ·63,1016 + (17 − 1) · 21,2217
=
≈ 6,441,
16 + 17 −2
16 ·17
≈ 2,6740.
16 + 17
𝑇 =
𝑚
*
− 𝑚
𝑥
𝑆
*
𝑦
𝑛 + 𝑚
𝑛𝑚
20,107 −14,1080
=
6,4410
По таблице П.2. распределения Стьюдента определим критическое значение
𝑡
Так как 𝑇 < 𝑡
крит
= 𝑡
1−𝛼/2
(𝑛 + 𝑚 − 2) = 𝑡
, гипотеза 𝐻0принимается, и это свидетельствует о том,
крит
1−0,01/2
(16 + 17 −2) = 𝑡
(31) = 2,7740.
0,995
что различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных организаций являются случайными, т. е. существенно не
различаются.
4.2.3 Критерий о средних для парных наблюдений
Пусть есть две случайные величины 𝑋 ∼ 𝑁𝑚𝑥,𝜎
2
и 𝑌 ∼ 𝑁𝑚𝑦,𝜎
𝑥
торые связаны, например, через объект наблюдения. Это могут быть значения
параметра объекта до и после некоторой обработки. Предположим, что из них
извлечена выборка парных наблюдений (𝑋,𝑌 ) = ((𝑥1,𝑦1) , (𝑥2,𝑦2) , . . . , (𝑥𝑛,𝑦𝑛)).
Рассмотрим задачу о сравнении средних этих случайных величин, т. е. прове-
2
𝑦
, ко-
ряется наличие или отсутствие эффекта обработки.
92 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Перейдем к разности случайных величин 𝑑 = 𝑋 − 𝑌 , тогда 𝑑 ∼ 𝑁𝑚𝑑,𝜎
Очевидно, что 𝑚𝑑= 𝑚𝑥− 𝑚𝑦. Дисперсия же 𝜎
2
, вообще говоря, не известна.
𝑑
2
𝑑
Выдвигается гипотеза 𝐻0: 𝑚𝑥= 𝑚𝑦(𝑚𝑑= 0). Для проверки этой гипотезы
.
используется статистика
𝑇 =
𝑚
√
*
𝑛
𝑑
. (4.11)
𝑆
𝑑
Эта статистика при справедливости гипотезы 𝐻0имеет распределение
Стьюдента с (𝑛 − 1) степенями свободы.
Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.8.
Таблица 4.8 – Гипотеза о равенстве средних для парных выборок
Альтернативная
гипотеза 𝐻
1
𝑚𝑑= 0 |𝑇 | < 𝑡
𝑚𝑑> 0 𝑇 < 𝑡
Правило принятия статистического решения
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
|𝑇 | ≥ 𝑡
1−𝛼
𝑇 ≥ 𝑡
1−𝛼
1−𝛼/2
1−𝛼/2
𝑚𝑑< 0 𝑇 > 𝑡𝛼(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
𝑇 ≤ 𝑡𝑎(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
Пример 4.4. Производитель деталей автомобиля заявляет, что новый про-
дукт, при установке его на фильтр двигателя, уменьшает расход топлива. Были
измерены расстояния, пройденные десятью автомобилями на единицу расхода
топлива, с использованием этого механизма и без него. Были получены оценки
среднего значения разностей (до–после): 𝑚
*
= −1,3 и стандартного отклоне-
𝑑
ния 𝑆 = 3,6. Свидетельствует ли это о том, что новый механизм действительно
уменьшает расход топлива при уровне значимости 𝛼 = 0,01. Распределение
значений предполагается нормальным.
Итак, выдвигается гипотеза 𝐻0: 𝑚𝑑= 0 против 𝐻1: 𝑚𝑑< 0 (новый продукт
не увеличивает расход топлива).
Вычислим статистику
𝑇 =
𝑚
*
𝑑
𝑆
√
𝑑
𝑛
=
−1,3 ·√10
= −1,1419.
3,6
4.3. Критерии согласия 93
По таблице П.2 определим критическое значение
𝑡
Так как 𝑇 > 𝑡
= 𝑡𝛼(𝑛 −1) = −𝑡
крит
, то нет оснований предполагать, что новый продукт
крит
(𝑛 −1) = −𝑡
1−𝛼
(9) = −2,8214.
0,99
уменьшает расход топлива.
В заключении заметим, что критерий, использующий 𝑡-статистику, называется критерием Стьюдента, аналогично критерий, основанный на 𝐹 статистике, — критерием Фишера.
Здесь стоит отметить, что мы не касались проверки гипотезы о нормальности распределения выборок. А это существенно: хотя критерий Стьюдента
и критерии, основанные на статистике с нормальным распределением, являются робастными (устойчивым при умеренных отклонениях от нормальности,
достаточно того, чтобы выборки были большого объема), то критерий Фишера чувствителен к нарушениям предположения о нормальности. К вопросу о
проверке согласованности распределения выборки и гипотетического распределения вернемся позже.
4.3 Критерии согласия
4.3.1 Постановка задачи проверки гипотезы о законе рас-
пределения
Пусть 𝑋𝑛= (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛) — выборка из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения 𝐹 (𝑥). Причем функция 𝐹 (𝑥) неизвестна.
На основании предварительного статистического анализа эмпирических
данных можно сформулировать гипотезу о функции распределения генеральной совокупности 𝐻0: 𝐹 (𝑥) = 𝐹0(𝑥,𝜃). Такого вида гипотезы называют ги-
потезами согласия или непараметрической гипотезой. Если функция распределения 𝐹0(𝑥,𝜃) полностью задана, т. е. ее вектор параметров 𝜃 известен, то
гипотеза 𝐻0является простой. В случае если значения параметров 𝜃 неизвестны и их необходимо оценить по выборке, то гипотеза 𝐻0является сложной.
Критерии, проверяющие такую гипотезу о виде распределения, против альтернативы 𝐻1: 𝐹 (𝑥) = 𝐹0(𝑥,𝜃) называются критериями согласия.
94 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
При построении критериев согласия вводят меру отклонения эмпирической функции распределения 𝐹*(𝑥) от гипотетической функции распределения
𝐹0(𝑥).
𝑈𝑛= 𝑈𝑛(𝐹*(𝑥) ,𝐹0(𝑥)) = 𝑈𝑛(𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛) , (4.12)
которая используется в качестве статистики критерия.
При этом критическая область будет иметь вид
{𝑥 : 𝑈0≥ 𝑈
}, (4.13)
крит
где случайная величина 𝑈0имеет предельное распределение 𝑈𝑛при 𝑛 → ∞,
если гипотеза 𝐻0справедлива.
При заданном уровне значимости критическое значение 𝑈
— квантиль
крит
распределения случайной величины 𝑈0уровня 1 −𝛼, т. е.
𝑃 (𝑈0< 𝑈
) = 1 −𝛼.
крит
Таким образом, критерий согласия строится следующим образом:
— 𝐻0принимается, если 𝑈0< 𝑈
— 𝐻0отвергается, если 𝑈0≥ 𝑈
крит
крит
;
.
В зависимости от вида 𝑈𝑛получаются разные критерии согласия. Рассмотрим более подробно три ярких представителя этой группы критериев.
4.3.2 Критерий согласия Пирсона
Первый из критериев согласия был предложен в 1901 г. Карлом Пирсоном и
получил название 𝜒2-критерия. Критерии этого типа широко используются и в
настоящее время из-за их универсальности: они применимы как к дискретным,
так и к непрерывным распределениям; как к одномерным, так и многомерным данным. Чтобы воспользоваться этим критерием, эмпирические данные
предварительно группируют, в связи с этим мощность критерия ниже, чем у
критериев, построенным по несгруппированным данным.
Простая гипотеза. Итак, пусть выдвигается гипотеза согласия 𝐻0: 𝐹 (𝑥) =
𝐹0(𝑥,𝜃) против альтернативы 𝐻1: 𝐹 (𝑥) = 𝐹0(𝑥,𝜃). Предположим, что гипоте-
тическая функция распределения 𝐹0(𝑥) полностью определена. В этом случае
алгоритм 𝜒2-критерия имеет следующий вид.
4.3. Критерии согласия 95
1. Числовая ось разбивается на 𝑚 непересекающихся интервалов
Δ1= (−∞; 𝛼1] , Δ2= (𝛼1; 𝛼2] , . . . , Δ𝑚= (𝛼
𝑚−1
; +∞) .
Обозначим 𝛼0= −∞ и 𝛼𝑚= +∞.
2. Находятся частоты 𝑛𝑖— число значений выборки, попавших в интервал
Δ𝑖, 𝑖 = 1,𝑚.
3. Вычисляются 𝑝𝑖= 𝐹0(𝛼𝑖) − 𝐹0(𝛼
) — теоретические вероятности по-
𝑖−1
падания в интервал Δ𝑖, 𝑖 = 1,𝑚, определяемые по гипотетической функции
распределения.
4. В качестве меры близости 𝑈 из (4.12) выберем статистику
𝜒2=
𝑚
(𝑛𝑖− 𝑛𝑝𝑖)
𝑖=1
𝑛𝑝
2
, (4.14)
𝑖
распределение которой, если справедлива гипотеза 𝐻0, при неограниченном росте 𝑛 стремится к 𝜒2-распределению с (𝑚 − 1) степенями свободы. По сути в
числителе каждого слагаемого (4.14) стоит квадрат разности фактических и
гипотетических частот попадания элемента выборки в интервал Δ𝑖.
5. Для выбранного уровня значимости 𝛼 по таблице приложения П.4 опре-
деляется критическое значение 𝜒
2
, как квантиль 𝜒2-распределения с (𝑚 −1)
крит
степенями свободы уровня 1 − 𝛼
𝜒
2
крит
= 𝜒
2
(𝑚 −1) .
1−𝛼
6. Критическая область в данном случае односторонняя, поэтому правило
принятия решения имеет вид
— если 𝜒2< 𝜒
— если 𝜒2≥ 𝜒
2
, то гипотеза 𝐻0принимается;
крит
2
, то гипотеза 𝐻0отвергается.
крит
В теории, чем меньше значение статистики 𝜒2, тем лучше согласованность
статистических данных с гипотетическим распределением. Но на практике
очень малое значение 𝜒2говорит скорее о том, что оно получено за счет «подгонки» данных под распределение.
Сложная гипотеза. Часто в практических задачах гипотетическое распре-
деление 𝐹0(𝑥,𝜃) зависит от неизвестных параметров (𝜃1, . . . .𝜃𝑠). В этом случае
96 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
и теоретические частоты 𝑛𝑝𝑖(𝜃) зависят от неизвестных параметров (𝜃1, . . . .𝜃𝑠),
и вычислить их не представляется возможным. Пусть 𝜃*— эффективная оценка
этих параметров, например, оценка максимального правдоподобия. Тогда, при
справедливости гипотезы 𝐻0, статистка
𝜒2=
𝑚
(𝑛𝑖− 𝑛𝑝𝑖(𝜃*))
𝑖=1
𝑛𝑝𝑖(𝜃*)
2
, (4.15)
слабо сходится к величине, имеющей 𝜒2-распределение с 𝑚 − 𝑠 − 1 степенями
свободы, 𝑠 — размерность параметра 𝜃, который оценивается по выборке. Этот
факт связывают с именем Р. Фишера. Именно он заметил, что число степеней
свободы в данном случае уменьшается на количество оцениваемых по выборке
параметров. Таким образом, в этом случае критическое значение определяется
как квантиль 𝜒2-распределения с (𝑚 −𝑠 − 1) степенями свободы уровня 1 −𝛼
𝜒
2
крит
= 𝜒
2
(𝑚 −𝑠 − 1) .
1−𝛼
Предпосылки применения критерия согласия Пирсона.
1. Объем выборки должен быть достаточно велик (𝑛 ≥ 50).
2. Интервалы, для которых теоретические частоты 𝑛𝑝𝑖малы (𝑛𝑝𝑖< 5), сле-
дует объединить. В этом случае и соответствующие им наблюдаемые частоты
также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы в качестве 𝑚 следует принять число интервалов,
оставшихся после объединения частот. Естественно при объединении интервалов снижается чувствительность критерия, поэтому следует избегать объединения ячеек, кроме тех случаев, когда это действительно необходимо.
3. Утверждение о сходимости статистики (4.15) справедливо лишь в том
случае, когда параметр оценивается по тем частотам, которые в дальнейшем
будут использоваться в критерии.
Пример 4.5. В результате эксперимента по исследованию активности це-
мента были проведены 200 опытов. Результаты приведены в таблице 4.9. С
помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении
вероятностей активности цемента.
Выдвигается гипотеза согласия
4.3. Критерии согласия 97
Таблица 4.9 – Эмпирическое распределение активности цемента
Номер
интервала
Активность цемента, МПа Число
наблюдений
Левая граница
интервала
Правая граница
интервала
1 25,7 29,7 5
2 29,7 33,7 7
3 33,7 37,7 22
4 37,7 41,7 50
5 41,7 45,7 58
6 45,7 49,7 38
7 49,7 53,7 15
8 53,7 57,7 5
𝑥
𝐻0: 𝐹 (𝑥) = 𝐹
𝑥,𝑚,𝜎
0
2
=
√
1
−
𝑒
(𝑦−𝑚)
2
2𝜎
2
𝑑𝑦,
2𝜋𝜎
−∞
против альтернативы
𝐻1: 𝐹 (𝑥) = 𝐹
0
𝑥,𝑚,𝜎
2
.
Гипотетическое распределение зависит от двух параметров 𝑚 и 𝜎2, которые
необходимо оценить по эмпирическим данным.
Учитывая, что 𝑚 — теоретическое математическое ожидание, а 𝜎2— теоретическая дисперсия, найдем их несмещенные оценки 𝑚*и 𝑆2. Заполним вспомогательную таблицу 4.10.
*
Используя результаты таблицы 4.10, вычислим оценки 𝑚
параметров 𝑚𝑥и 𝜎
2
соответственно.
𝑥
𝑥
2
и 𝑆
неизвестных
𝑥
𝑚*=
𝑛
1
𝑛
𝑛𝑖˜𝑥𝑖= 42,66,
𝑖=1
98 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Таблица 4.10 – Оценивание параметров
Номер интервала Середина интервала ˜𝑥𝑖𝑛
˜𝑥𝑖𝑛
𝑖
𝑖
2
˜𝑥
𝑛
𝑖
𝑖
1 27,7 5 138,5 3836,45
2 31,7 7 221,9 7034,23
3 35,7 22 785,4 28038,78
4 39,7 50 1985 78804,5
5 43,7 58 2534,6 110762
6 47,7 38 1812,6 86461,02
7 51,7 15 775,5 40093,35
8 55,7 5 278,5 15512,45
Сумма 8532 370542,8
Среднее 42,66 1852,714
𝑛
1
𝐷
𝑆
*
𝑥
2
𝑥
=
𝑛
=
𝑛 −1
𝑖=1
𝑛
𝑛𝑖˜𝑥
𝐷
2
− (𝑚
𝑖
200 ·42,1482
*
=
𝑥
*
)2= 1852,0241 −(42,66)2= 42,1482,
𝑥
= 42,2542, 𝑆𝑥=√𝑆2=42,2542 = 6,5.
199
Для вычисления статистики критерия 𝜒2заполним вторую вспомогательную таблицу 4.11.
*
𝛼𝑖−𝑚
В этой таблице 𝑧𝑖=
мального распределения в точке 𝑧𝑖и 𝑝𝑖= 𝐹 (𝑧𝑖) − 𝐹 (𝑧
𝑥
, 𝐹 (𝑧𝑖) — значение функции стандартного нор-
𝑆
𝑥
). Значения 𝐹 (𝑧𝑖)
𝑖−1
находятся по таблице приложения П.1.
Таким образом, значение статистики (4.15) равно
𝑈 =
8
(𝑛𝑖− 𝑛𝑝𝑖)
𝑖=1
𝑛𝑝
2
= 9,355
𝑖
Число степеней свободы равно 𝑚 − 𝑠 − 1 = 8 − 2 − 1 = 5. По таблице
распределений 𝜒2 с 5 степенями свободы и уровнем значимости 0,05 найдем
𝜒
2
крит
= 𝜒
2
(5) = 11,0705. Так как 𝜒2< 𝜒
0,95
2
, то гипотеза 𝐻0не противоречит
крит
эмпирическим данным и можем считать, что активность цемента подчиняется
нормальному распределению.
4.3. Критерии согласия 99
Таблица 4.11 – Вычисление статистики критерия
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 сумма
𝛼
𝑧
𝐹 (𝑧
𝑖−1
𝛼
𝑛
𝑖−1
𝑧
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖−1
−∞ 29,7 33,7 37,7 41,7 45,7 49,7 53,7
29,7 33,7 37,7 41,7 45,7 49,7 53,7 +∞
5 7 22 50 58 38 15 5
-2,61 -1,99 -1,38 -0,76 -0,15 0,47 1,08 1,7
-1,99 -1,38 -0,76 -0,15 0,47 1,08 1,7 2,31
) 0 0,023 0,084 0,224 0,44 0,681 0,86 0,955
𝐹 (𝑧𝑖) 0,023 0,084 0,224 0,44 0,681 0,86 0,955 1
𝑝
𝑖
𝑛𝑝
𝑖
𝑛𝑖− 𝑛𝑝
(𝑛𝑖− 𝑛𝑝𝑖)
(𝑛𝑖−𝑛𝑝𝑖)
𝑛𝑝
𝑖
0,023 0,061 0,14 0,216 0,241 0,179 0,095 0,045 1
4,6 12,2 28 43,2 48,2 35,8 19 9 200
𝑖
2
0,4 -5,2 -6 6,8 9,8 2,2 -4 -4
2
0,16 27,04 36 46,24 96,04 4,84 16 16
0,035 2,216 1,286 1,07 1,993 0,135 0,842 1,778 9,355
4.3.3 Критерий Колмогорова
К сожалению, если в нашем распоряжении имеется выборка малого объема,
то 𝜒2-критерий применять нельзя, возникнут проблемы с группировкой. В этом
случае альтернативой выступает критерий Колмогорова.
При его построении в качестве меры отклонения эмпирической функции
распределения 𝐹*(𝑥) от гипотетической 𝐹0(𝑥) выбирают максимальное значение абсолютной величины разности между ними
𝐷𝑛= sup
−∞≤𝑥≤∞
|𝐹*(𝑥) −𝐹0(𝑥)|, (4.16)
если гипотетическая функция распределения 𝐹0(𝑥) непрерывна и полностью
определена, т. е. все параметры однозначно определены, а гипотеза 𝐻0: 𝐹 (𝑥) =
𝐹0(𝑥,𝜃) верна, распределение случайной величины 𝐷𝑛не зависит от закона
распределения генеральной совокупности. Квантили 𝐷𝑛приведены в таблице
П.5.
Правило принятия решения по критерию Колмогорова:
— если 𝐷𝑛< 𝐷
— если 𝐷𝑛≥ 𝐷
, то гипотеза 𝐻0принимается;
𝑛,1−𝛼
, то гипотеза 𝐻0отвергается.
𝑛,1−𝛼
100 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Доказано, что в этих условиях при неограниченном увеличении числа наблюдений имеет место сходимость (теорема Колмогорова):
𝑃𝐷√𝑛 < 𝑥−−−→
𝑛→∞
𝐾 (𝑥) ,
где функцию
∞
𝐾 (𝑥) =
(−1)𝑖𝑒
𝑖=−∞
−2𝑖2𝑥
2
называют функцией распределения Колмогорова.
При больших значениях 𝑛 (𝑛 > 35), в качестве 𝐷
двух гипотез можно использовать 𝐷
— квантиль предельного распределения
1−𝛼
𝑛,1−𝛼
при выборе одной из
Колмогорова уровня 1 −𝛼, деленный на√𝑛.
Предпосылки применения критерия согласия Колмогорова.
1. Гипотетическое распределение 𝐹0полностью определено.
2. Функция 𝐹0гипотетического распределения непрерывна.
Как мы уже видели, эту же задачу можно решать с помощью 𝜒2–критерия.
Преимущество критерия Колмогорова состоит в том, что
во-первых, он не группирует данные, а дает возможность рассматривать
индивидуальные наблюдаемые значения, то есть не происходит потери информации, содержащейся в выборке;
во-вторых, его можно успешно применять для малых выборок;
в-третьих, считается, что его мощность, вообще говоря выше, чем у 𝜒2–
критерия.
Несколько слов о том, как находить sup
−∞≤𝑥≤∞
|𝐹*(𝑥) −𝐹0(𝑥)|. Для вычис-
ления значения статистики 𝐷𝑛для всех 𝑥 ∈ 𝑅. Функция 𝐹0(𝑥) непрерывна,
а 𝐹*(𝑥) сохраняет постоянные значения на интервалах 𝑥
𝑥
, 𝑖 = 1,𝑛, — значение вариационного ряда. Следовательно, максимальное
(𝑖)
(𝑖−1)
< 𝑥 ≤ 𝑥
(𝑖)
, где
уклонение непрерывной гипотетической функции распределения от кусочнопостоянной эмпирической функции распределения достигается в точках скачков последней. Поэтому значение sup
−∞≤𝑥≤∞
щим образом.
|𝐹*(𝑥) −𝐹0(𝑥)| вычисляется следую-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]