Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
1.9. Методы решения обратных конечномерных задач на основе ГА
=
N
ния ГА, оптимальной настройке их параметров и даже не дают каких-либо
гарантий сходимости.
Приведем пример работы типичного ГА на примере поиска минимума
функции Асклея, имеющей достаточно сложный рельеф и глобальный минимум в точке
),0,0(
представленной на рис. 1.13.
Рис. 1.13.
Функция Асклея
, xx
На рис. 1.14 представлены графики эволюции переменных
симости от поколений, отложенных по оси
Как видно, после 10-го по-
.Ox
в зави-
21
коления произошла стабилизация решения задачи нахождения глобального
минимума функции Асклея. Критерием останова при реализации ГА
в рассматриваемом случае было ограничение на число поколений
Рис. 1.14.
Эволюция переменных функции Асклея в ГА
.50
81
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
1.10. Некоторые особенности обратных задач и общие методы
их исследования
Ознакомившись с основными принципами преодоления некорректно-
сти, присущей всем ОЗ, приступим к изложению общих подходов, используемых при их решении. Основной тезис в теории практического решения
ОЗ состоит в следующем: прежде чем приступать к решению ОЗ, необходимо научиться эффективно решать прямые задачи. Как видно из классификации ОЗ, два их
ными, а два (коэффициентные и геометрические) — существенно нелинейными. В силу нелинейности ОЗ процедура их решения сводится к многократному решению прямой задачи и некоторой процедуре сравнения согласно некоторому критерию. При этом необходимо учитывать такие особенности ОЗ, как неединственность решения и неустойчивость
нию к малым изменениям входной информации.
Первым этапом на пути решения ОЗ является процедура построения
операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции.
Как правило, для этого необходимо построить решение некоторой прямой
задачи в общем виде (при любых достаточно общих видах функциональных зависимостей), а затем сформулировать операторное уравнение для
хождения неизвестной функции или системы функций, исходя из некоторого дополнительного условия. Если дифференциальный оператор, фигурирующий в постановке прямой задачи, имеет переменные коэффициенты
или область, занятая ОИ, имеет неканоническую форму, то возникают зна-
типа (ретроспективные и граничные) являются линей-
по отноше-
на-
чительные математические трудности при формулировке операторного
уравнения ОЗ, поскольку прямая задача в этом случае может
только численно.
Если речь идет о линейных ОЗ, то очень часто можно выписать решение
прямой задачи в виде некоторого интеграла или ряда, которые порождают
некоторый линейный вполне непрерывный оператор (см. пример в п. 1.1).
В других ситуациях для линейных ОЗ возможно понижение размерности
исследуемой задачи путем перехода к граничным интегральным
ям (ГИУ).
Как отмечено выше, для операторов с переменными коэффициентами
используется ряд способов, позволяющих точно или приближено формули-
82
быть решена
уравнени-
1.10. Некоторые особенности обратных задач и общие методы их исследования
xEE
=
x
ρ=ρ
x
xEE
=
Tttgt
∈
ровать операторные уравнения или строить решение ОЗ. Среди этих способов отметим следующие, наиболее употребительные: метод преобразования и метод операторных уравнений Вольтерра [24], метод линеаризации,
итерационная схема, метод обращения разностной схемы и метод оптимизации. Изложим основные идеи применения этих способов на простом
примере.
Рассмотрим одномерную нестационарную задачу для упругого
бесконечного неоднородного (
)(
) стержня, уравнение дви-
),(
жения которого имеет вид
2
u
∂
⎛
⎜
x
∂
⎝
∂
xE
⎞
ρ=
⎟
x
∂
⎠
u
∂
)()(
x
2
t
∂
(1.10.1)
со следующим граничным условием:
∂
)0( t
E δ−=
tu
x
∂
1),0(
)(
(1.10.2)
2
и нулевыми начальными условиями
u
.0|
0=<t
(1.10.3)
Для начально-краевой задачи (1.10.1)–(1.10.3) сформулируем следую-
щую ОЗ.
u
Зная
=
),(
ρ
определить
].,0[),(),0(
)(
по информации
(1.10.4)
Опишем кратко способы построения операторных уравнений на основе
полу-
различных подходов.
1. Метод операторов Вольтерра
Непосредственно построить в аналитическом виде решение начальнокраевой задачи (1.10.1)–(1.10.3) а затем, выполняя условие (1.10.4), получить интегральное уравнение для нахождения искомой функции, нельзя.
Для операторов с постоянными коэффициентами эту процедуру осуществить можно, используя понятие фундаментального решения соответствующего оператора. Поэтому на первом этапе, используя некоторые преобразования, необходимо выделить из оператора
прямой задачи главный оператор с постоянными коэффициентами, обратить его и, выполняя дополнительное условие (1.10.4), получить уже уравнение или систему операторных уравнений для нахождения неизвестных функций. При этом при обращении волнового оператора и использовании фундаментального решения
83
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
t
стандартного гиперболического оператора появляются нелинейные интегральные операторы с переменными пределами интегрирования (типа операторов Вольтерра). Этот подход исторически был первым на пути построения операторных уравнений в коэффициентных ОЗ. Изложим схематично этот подход в соответствии с [24, 32].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 8
Начально-краевая задача (1.10.1)–(1.10.3) может быть приведена к виду
2
∂
w
2
∂
t
2
∂
w
=
−
2
∂
y
∂
w
yK
,)(
∂
y
∂
w
w
∂
y
0
=
y
,0
=
0
<
)0(
a
),(
δ−=
t
(1.10.5)
2
где
x
ξ
1−−−
)()),((),(
xyy ,tyutyw
d
==
ya ya
yK
)(),(ln)(
dy
d
=ξ
v
==τ=
∫
ξ
v
)(
0
)(,
1
11
τρτ
yyE
ξ
E
)(
,
ξρ
)(
(1.10.6)
.
))(())((
Осуществим в исходной задаче замену переменной в соответствии
с (1.10.6). Тогда находим последовательно
2
w
∂
y
xvx
)(
∂
′
w
v
∂
−
v
2
u
∂
=
2
t
∂
.
22
y
∂
2
u
∂
2
xv
2
x
∂
′
uE
∂
.)(
+
ρ
x
∂
=
1yw
∂
)(
xvx
∂
,
u
∂
∂
2
u
∂
∂
1
=
22
Уравнение (1.10.1) примет вид
Делая в последнем уравнении замену неизвестной функции, получаем
окончательно
∂
w
a
2
w
2
t
∂
t
<
0
2
w
∂
=
=
0
∂
∂
−
2
y
∂
,0
tw
y
w
∂
yK
,)(
y
∂
1),0(1
).(
t
δ−=
2
84
1.10. Некоторые особенности обратных задач и общие методы их исследования
S
tyV
t
S
Теорема 10
Начально-краевая задача (1.10.5) может быть сведена к виду, не содер-
жащему первых производных:
2
V
∂
2
t
∂
2
V
∂
=
+
2
y
∂
,)(
Vyq
V
t
<
∂
∂
,0
=
0
1),0(
tV
y
2
),0()0(
tVK
)0(
a
2
).(
t
δ−=+
Отыскивая решение (1.10.5) в виде произведения функций
yw =
),(),(),( y
находим
2
∂
V
2
∂
t
′
S
=
S
2
V
∂
=
y
∂
V
∂
+
2
⎛
⎜
y
∂
⎝
Выберем далее
1
yK
2
d
),(
ln yKS
dy
′
S
yK
+−
)( y
таким образом, чтобы
⎞
+
⎟
S
⎠
V
′′
S
⎛
−
⎜
S
⎝
1
и, интегрируя, находим
=
),(
2
′
S
⎞
yK
.)(2)(
⎟
S
⎠
yK
окончательно
2
K
′
S
S
=
S
S
+−
yK
′′
S
−
=
yq
S
′′
′
S
⎞
⎛
⎜
⎝
.2)(2)(
⎟
S
⎠
(1.10.7)
(1.10.8)
′
S
+−
,02)( =
откуда
S
y
1
∫
2
0
=
eS
ξξ
)(
dK
,
и
Теперь граничные условия преобразуются к виду
)0(),0(
∂
∂
tw
y
∂
tV
y
∂
a
),(
t
δ−=
2
),0(
+
′
StVS
∂
)0(),0()0(
=
),0(
tV
y
∂
1
),0(
)0(
KtV
2
)0(
a
).(
t
δ−=+
2
(1.10.9)
Смысл этих преобразований состоит в том, что вся информация о неод-
).(yq
нородности будет заложена в функцию
Это позволяет более просты-
ми средствами исследовать исходную ОЗ. При этом, обращая главный оператор задачи (1.10.7) (оператор, порожденный старшими производными),
приведем исходную задачу к интегральному уравнению Вольтерра [4, 15].
При этом учтем, что построение такого обратного оператора осуществляет-
85
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
t
=
ε
ε
ε
ся достаточно просто, поскольку главный оператор задачи (1.10.7) имеет
постоянные коэффициенты.
Таким образом, исходная задача (1.10.1)–(1.10.3) упрощается и приво-
дится к виду
2
⎧
∂
u
⎪
2
∂
t
⎨
⎪
u
<
t
⎩
ОЗ состоит в нахождении
2
u
∂
2
∂
2
∂
u
=
2
∂
x
=
.0
0
).(
th
=
0
x
=
δδ++
),()()(
txuxq
)(xq
по заданной информации
(1.10.10)
(1.10.11)
При помощи обращения главного оператора задачи исходная задача
сводится к решению системы нелинейных уравнений типа Вольтерра. Последняя проблема исследуется численно на основе пошагового нахождения
неизвестных. Подробно схема численного анализа этой системы изложена
в [24, 27, 32]. Численная процедура решения таких уравнений основана
на квадратурных формулах прямоугольников и последовательном нахождении узловых неизвестных,
начиная с известных, определяемых из на-
чальных условий.
2. Метод линеаризации [4, 9]
Метод линеаризации чрезвычайно часто используется при практическом решении ОЗ всех типов. Основная идея при отыскании неизвестной
функции, например ОЗ (1.10.1)–(1.10.4), основана на предположении
)(
xЕ
где
max),()()(
xЕxЕxЕ
10
)(0xЕ
— известная функция. Далее формальным образом вводится ма-
1
)(
xЕ
0
,1
<<+=
лый параметр ,ε используется представление
(1.10.12)
)()()(
xЕxЕxЕ ε+
и ре-
10
шение отыскивается в виде регулярного разложения по этому параметру
2
).(
ε+ε+= Оuuu
10
енты при одинаковых степенях
После этого приравниваются операторные коэффици-
0
(обычно при
1
и
). В результате полу-
чается последовательность начально-краевых задач, содержащая неизвестную функцию в правой части линейного дифференциального оператора,
)(xu
и, соответственно, решение
линейным образом зависит от
).(1xE
Об-
86
1.10. Некоторые особенности обратных задач и общие методы их исследования
x
E
F
ращая соответствующие операторы [5, 12, 24] (подход особенно эффекти-
вен, когда
тегральных уравнений, строим
)(0xЕ
постоянна) или приводя задачу к решению линейных ин-
,0u
u
. Удовлетворяя условию (1.10.4), сво-
1
дим ОЗ к решению линейного интегрального уравнения 1-го рода с вполне
непрерывным оператором. Реализация этого подхода при решении кон-
кретных задач приведена в следующих разделах при исследовании коэф-
фициентных и геометрических ОЗ. Более строгое обоснование этого под-
хода может быть осуществлено при использовании производной по Фреше
(см
. п. 1.2) от соответствующего нелинейного оператора [1, 30].
3. Метод оптимизации
Идея метода применительно к обратным задачам восходит к ранним работам А. Н. Тихонова, где анализировались в основном коэффициентные
ОЗ. Реализация этого метода основана на параметризации искомой функ-
)(
ции
линейной комбинацией линейно независимых функций и сведе-
нии задачи к конечномерной проблеме на основе минимизации функционала невязки
2
.)(][
fЕAuЕJ −=
Такое представление искомой функции
значительно сужает множество поиска решения и представляет собой существенную априорную информацию о решении, поэтому часто весьма
эффективно позволяет отыскивать его. В качестве таких представлений
в одномерных ОЗ для задачи (1.10.1)–(1.10.4) могут быть использованы,
например, как представления достаточно общего вида
n
xaxaaxЕ +++= ...)(
10
x
−
eaaxЕ
)(
+=
,
10
++=
,
n
(1.10.13)
xaxaaxЕ 2coscos)(
,
210
так и более частные, учитывающие иную априорную информацию о решении ОЗ. При этом постоянные
a
определяются из условия минимизации
n
функционала невязки и приводят к некоторой нелинейной системе уравнений (для линейных ОЗ система получается линейной).
Функционал невязки в рассматриваемом примере имеет вид
T
−=
n
∫
0
2
,)(),(][
dttftauEJ
и его минимум может быть найден на основе ГА (см. п. 1.9).
87
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
t
T
x
x
T
t
∈
tTt
T
−+−
∈
N
4. Метод обращения разностной схемы [11, 27]
Основная идея этого метода состоит в аппроксимации дифференциаль-
ного оператора разностным и последовательном поэтапном нахождении
).(nxЕ
узловых значений
Более подробную информацию об использовании
разностных схем при решении коэффициентных ОЗ можно почерпнуть
из монографий [4, 27]. Метод обращения разностной схемы для различных
типов операторов достаточно подробно разработан в настоящее время, однако обладает следующей особенностью: при увеличении размерности разностного оператора процесс нахождения решения становится неустойчивым, что проистекает из некорректности
исходной ОЗ. Предшествующий
анализ некорректных задач (и процедуры численного дифференцирования
в частности) свидетельствует о том, что шаг разностной схемы должен
быть согласован с погрешностью входных данных. Рассмотрим основные
этапы этого подхода на примере следующей задачи [3, 11]:
2
∂
v
2
∂
t
=
=
2
∂
v
=
=
=
+
2
∂
x
),(0xqv
),(0tgv
,)(
vxq
v
∂
t
∂
=t
v
∂
x
∂
,0
=
0
,0
=
0
=x
∈
∈
),(),(
Ttx Δ∈
1
),,0(
).,0(
(1.10.14)
Задача (1.10.14) является корректной «в малом», а также корректной
в окрестности точного решения при любом
4
зом в
1
ное натуральное число и
=
ii
],0[
TCq ∈
(здесь и далее считаем, что q и g продолжимы четным обра-
R
с сохранением гладкости). Нетрудно показать, что
−
2
k
),(hiqq
=
).(hkgg
),,0(:),{()(
TtRtzT ∈∈=Δ
z
.NTh =
Введем обозначения:
)}.,(
Пусть
.
RT
Предположим, что
+
4
— произволь-
k
=
i
,))((
TCq Δ∈
1
),,( khihvv
Тогда задачу (1.10.14) можно записать в дискретной постановке, аппроксимируя операторы дифференцирования конечно-разностными аналогами:
−−+−
2112
k
k
i
0
,
qv =
ii
k
i
i
k
i
k
k
−
1
i
i
k
+++−=+−
ii
2
),()2()2(
hOvqvvvhvvvh
(1.10.15)
(1.10.16)
88
1.10. Некоторые особенности обратных задач и общие методы их исследования
ξ−+
=
k
∈
Δ
−−∈
kk
,
gv =
0
1
1
kkk
−+
++=
211
).()(
hOggv
2
(1.10.17)
(1.10.18)
Из (1.10.15) получаем
11
k
+
i
k
1
i
k
−+
i
k
1
−
i
k
+−−+=
ii
222
).(
hOhvqhvvvv
(1.10.19)
Подставим в (1.10.19) цепочку равенств
1
k
+
i
2
k
+
1
i
−
2
k
+
1
−
i
k
+
i
−
k
i
3
k
2
i
k
+
−−
i
1
+
−
k
2
i
21
21
+
3
−
k
+
+−−+=
11
−−
ii
22
k
+
+−−+=
22
ii
−−
221
),(
hOhvqhvvvv
222
)(
hOhvqhvvvv
и т. д., в результате после некоторых преобразований получим формулу
k
+
i
i
1
1
2
В свою очередь, значение
ikikk
)(
i
∑
=
j
1−k
v
i
jj
1
можно выразить через значения на пре-
1
22111
2
+−+−−++−
ikjik
0
+−−−+=
3
).(
hOgqhvqhggvv
(1.10.20)
дыдущих слоях по формуле (1.10.20) и т. д. Применяя последовательную
подстановку в (1.10.20), получим окончательно следующее представление:
i
1
1
+
i
2
1
ikikk
−−++
)(
211
∑∑∑
2
0
===
j
011
jik
2
iss
2
j
jj
sjik
2
+−−−+
2
).(
hOvqhgqhggv
+−−+=
(1.10.21)
Равенство (1.10.21) представляет собой дискретный аналог формулы
Даламбера [32]
1
),(
2
1
)]()([
∫∫
2
0
xt
ξ+−
.),()(
ξττξξ−−++=
ddvqxtgxtgtxv
(1.10.22)
xt
x
Формулы (1.10.21) позволяют анализировать и ОЗ. Положим
в (1.10.21). Воспользовавшись четным продолжением
1
+
i
1
+
i
2
i
21
∑∑∑
011
===
j
2
0
ji
2
iss
2
−−−
jis
jj
j
+−−=
2
hOvqhgqhgq
в
).(
,−R
получим
(1.10.23)
q
Таким образом, имеем разностный аналог операторного уравнения для
функции
q
x
∫∫
00
ξ−
x
.),()()()(
ξττξξ−=
ddvqtgtq
(1.10.24)
0
Пусть для
2
множество
RT
+
∈=Δ
определяется следующим образом:
)(2T
)}.,(),,0(:),{()(
xTTxtTxtxT
89
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
N
Определим
2
h
)(2T
Δ
).(),(
Tkhih Δ∈
На основе аппроксимации (1.10.15)–(1.10.18) построим
как множество пар целых чисел
),,(ki
таких что
разностную ОЗ:
k
i
+
0
0
k
1
i
ii
kk
k
i
==
−==
1
1
2
где выражение
от
N
1
до
N
.
2
11
−+
k
i
−
h
TkiNi
Δ∈=
2
;,0,
Nipu
;,,
NNkgu
11
−+
kkk
2
k
,
−−+=
1
uphuuuu
ii
(1.10.25)
);(),(;,2
,1,1),(
−+−=+=
NNkggu
, NNi =
означает, что i пробегает все целые значения
21
(1.10.26)
(1.10.27)
Решением разностной ОЗ (1.10.25)–(1.10.27) является пара сеточных
функций
k
),,(
up
ii
h
),(),(
Tki
Δ∈
2
которые удовлетворяют соотношениям
(1.10.25)–(1.10.27).
Имеет место следующая теорема.
Теорема11 [11]
Разностная обратная задача (1.10.25)–(1.10.27) при любом
любом
2>
однозначно разрешима.
∈ RT
+
На базе подхода, основанного на разностной аппроксимации, могут
быть определены все узловые значения искомой функции.
и при
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]