Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
Тест рубежного контроля к разделу 1
t
f
=
′
′
N
k
=
=
N
k
δ
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к разделу 1
Определить постоянные параметры в задаче (3.4.5) по данным эксперимента.
1.
Сколько точек наблюдений (значений функции
выбрать для однозначного нахождения параметров функции (3.4.5)?
2.
Решить задачу определения постоянных коэффициентов
дифференциального уравнения второго порядка с постоянной правой
)(
) необходимо
a
,
a
0
,
1
a
2
частью
=
,...,,1
заданным с точностью δ, c использованием конечно-
′
+
+
byayaya
по известным значениям функции
0210
разностной аппроксимации соответствующих производных.
Решить задачу определения коэффициента дифференциального
3.
уравнения первого порядка
′
+
=
,)(
byxay
0
,...,,1
заданным с точностью
по известным значениям функции
,)(
yxy
00
)(xa
с постоянной правой частью
:
а) c использованием конечно-разностной аппроксимации производной;
б) на основе сведения к решению интегрального уравнения Вольтерра.
Сформулируйте условия, обеспечивающие единственность задачи
4.
(3.5.12) в общем случае.
Постройте операторные соотношения об определении модуля Юнга
5.
в задаче об изгибных колебаниях упругого стержня.
Постройте операторные соотношения об определении плотности
6.
в задаче об изгибных колебаниях упругого стержня.
),(kxy
),(kxy
Тест рубежного контроля к разделу 1
1. Для модели, описывающейся системой обыкновенных дифференци-
альных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
&
&
+=
+=
задано решение
фициентная задача об определении коэффициентов
имеет единственное решение;
а)
имеет множество решений, зависящих от одного параметра;
б)
,
xaxax
22111
xaxax
24132
31t
,2)(
etx =
32t
.2)(
etx =
В этом случае обратная коэф-
,1a
,2a
,3a
a
4
...
171
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
=
=
в)
имеет множество решений, зависящих от двух параметров;
не имеет решений.
г)
Если априори известно, что коэффициенты системы дифференциальных
2.
уравнений (3.15.15) связаны соотношением
циентная ОЗ об определении коэффициентов
имеет единственное решение;
а)
имеет множество решений, зависящих от одного параметра;
б)
имеет множество решений, зависящих от двух параметров;
в)
не имеет решений.
г)
Какова размерность конечномерного подпространства, в котором осуще-
3.
,42aa
...
,1a
a
2
,13aa
то коэффи-
ствляется поиск параметров для модели стандартного вязкоупругого тела?
4;
а)
3;
б)
2;
в)
5.
г)
Какой участок съема данных является благоприятным с точки зрения
4.
процедуры идентификации при решении обратной коэффициентной задачи (3.4.5) по значениям функции, график которой изображен на рисун-
],0(1t
ке (здесь участок
функции имеет значение, отличное от нуля, на участке
соответствует участку, на котором производная
],[21tt
ная функции близка к нулю)?
а)
б)
в)
г)
не имеет значения, главное — равномерное распределение точек.
];,0(1t
];,0(2t
];,[21tt
производ-
172
5.
=
=
λ
=
=
N
k
N
k
=
N
k
=
Какие из коэффициентов функции
Тест рубежного контроля к разделу 1
tt
λ−λ−
21
)(
eCeCCty
−−=
210
(при точ-
ных значениях параметров
8.0
=λ
2
с точностью
а)
б)
в)
все коэффициенты определяются с одинаковой точностью.
г)
При каком условии обратная коэффициентная задача об определении
6.
), восстановленные по значениям функции
%,1
δ
;0C
,1C
;
λ
1
,2C
;
λ
2
будут определены с большей погрешностью?
C
0
,5.0
C
1
,05.0
1
,7.0
=
),(kty
=C
2
заданных
ростовых коэффициентов из (3.5.12) в случае равенств коэффициентов
),()()(
tAtAtA ==
21
а)
если заданы значения внутреннего и внешнего радиусов в наборе точек
невозможно определить, поскольку постановка задачи некорректная;
б)
в)
достаточно знания только
),(ktb
),(kta
=
21
=
;...,,1
)()()(
tBtBtB
решается однозначно?
),(ktb
;...,,1
,001.0
г)
достаточно знания только
),(kta
....,,1
Критерий оценки:
раздел считается зачтенным, если обучающийся дал
правильные ответы не менее чем на 66 % тестовых заданий.
173
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Раздел 2. Нелинейные коэффициентные обратные
задачи для уравнений в частных производных
Настоящий раздел посвящен нелинейным коэффициентным ОЗ, которые
возникают в постановках для различных классов операторов в частных производных. Рассмотрение проблемы начнем с простейшего примера — конечномерной нелинейной обратной задачи об определении коэффициента
температуропроводности из некоторого теплофизического эксперимента.
3.9. Коэффициентные обратные задачи несвязанной
термоупругости (к определению коэффициента
температуропроводности)
Температурные факторы играют важную роль при расчете напряженнодеформированного состояния твердых тел, учет которых базируется на модели связанной термоупругости [1, 9]. В эту модель помимо упругих характеристик входят и теплофизические величины, которые необходимо определять из некоторых теплофизических экспериментов. При этом к уравнениям
движения сплошной среды добавляется уравнение притока тепла, которое
и служит для определения поля температур. Наиболее популярной является
модель несвязанной задачи, когда механические поля и поля температур определяются последовательно, начиная с решения уравнения теплопроводности. Подробно с постановками ОЗ для уравнений параболического типа
и методах их решения можно познакомиться в монографиях [1, 6, 22, 33].
В настоящем параграфе в качестве примера рассматривается
ОЗ об определении единственного параметра — постоянного коэффициента
a
температуропроводности
ных ОЗ обычно опирается на аналитическое решение прямой задачи, которое строится методом преобразования Лапласа. Для того чтобы найти пара-
— в соответствии с [9]. Решение конечномер-
простейшая
метр ,a необходимо осуществить некоторый теплофизический эксперимент
и создать меняющееся поле температур. На практике это осуществляется путем внесения в ОИ нагревательного элемента, который имеет
известное контактное сопротивление и, соответственно, вносит значительную погрешность в поведение ОИ; подобные методы имеют достаточно
большую погрешность при игнорировании этого фактора. Как значительно
174
некоторое не-
3.9. Коэффициентные обратные задачи несвязанной термоупругости
l
M
δ
μ
σ
γ
x
более точный зарекомендовал себя метод адиабатного деформирования, при
котором не требуется дополнительных нагревательных элементов, а измене-
ние поля температуры происходит за счет механического воздействия на ОИ
и связанности полей деформаций и температур [1, 9].
В качестве модели рассмотрим стержень длины
и толщины ,b кото-
рый подвергается чистому изгибу за счет приложения к его концам изги-
.
бающих моментов величины
В силу связанности полей напряжений,
деформаций и температур и выполнения соотношений Дюамеля — Нейма-
α
на в термоупругости (
— коэффициент температурного расширения)
T
,)23(2
+λα−με+δλε=σ
u
ijTijijkkij
(3.9.1)
в образце создается градиент температур. Поскольку отличная от нуля
компонента тензора напряжений
линейно зависит от координаты ,x
11
то в образце в начальный момент времени создается начальное распределе-
ние температур
,)0,(xxu
=
где γ — некоторый коэффициент пропорцио-
нальности, зависящий от величины изгибающего момента и изгибной же-
сткости стержня. Дальнейшее изменение поля температур происходит
в соответствии с уравнением теплопроводности
2
1
u
∂
2
∂
∂
u
,
=
a
∂
t
(3.9.2)
где
a
— коэффициент температуропроводности. В случае тепловой изоля-
ции образца граничные условия имеют вид:
u
∂
x
∂
x
±=
Зная граничную температуру
наборе точек), можно сформулировать ОЗ об определении
.0
=
b
2
b
⎛
u =
⎜
⎝
⎞
⎟
2
⎠
)(,
tgt
(или ее значения в некотором
,a
который вой-
(3.9.3)
дет в выражение для граничной температуры нелинейным образом, что ти-
пично для коэффициентных ОЗ. Для формулировки разрешающего соот-
ношения построим решение прямой задачи методом интегрального преоб-
разования Лапласа. Введем
∞
== dtetxuLUpxu
∫
0
−
pt
.),(),(
175
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
x
x
γ
γ
=
=
Тогда получим
2
∂
∂
1
u
2
a
−=
)),0,((
xuup
или, c учетом начального условия,
2
u
∂
∂
1
γ−=
).(
xup
2
a
Решение (3.9.4) легко строится стандартным образом и имеет вид
γ
xx
λ−λ
BeAepxu
++=
,),( x
;
=λ pa постоянные A и B определяются
1
−
p
из граничных условий (3.9.3)
(3.9.4)
A
−=
p
⎜
⎛
ch2
⎝
,
=
b
λλ
2
B
⎞
⎟
p
⎠
⎛
ch2
⎜
⎝
.
b
⎞
λλ
⎟
2
⎠
Таким образом, находя трансформанту температуры и обращая преобразование Лапласа, имеем следующее представление граничной температуры:
b
⎛
u
⎜
⎝
⎞
,
⎟
2
⎠
1
−
γ
uLt
==
π
∞+
∫
i
id
∞−
1
⎡
−
⎢
22
⎣
⎛
th
λ
⎜
λ
2
⎝
Рассмотрим безразмерный параметр
а в интеграле произведем замену переменной
id
∞+
b
⎛
,
u
t
⎜
2
⎝
b
γ
⎞
=
⎟
4
π
⎠
⎡
⎢
∫
id
∞−
⎣
Интеграл в (3.9.5) при
⎛
β
−
⎜
⎜
zi
β
⎝
z
⎤
⎞
ez
⎟
⎥
⎟
z
⎠
⎦
0
>β>β
0
ptid
ebb
⎤
dz
⎞
⎟
⎥
⎠
⎦
=β
.th1
.
dp
p
4
at
,
определяющий число Фурье,
2
b
Тогда имеем
.tzp
(3.9.5)
эффективно вычисляется с помощью
теории вычетов. Для этого находим особые точки подынтегральной функ-
0=z
ции. Среди них имеется
множество полюсов
n
— устранимая особая точка — и счетное
1
⎛
2
⎜
2
⎝
2
⎞
n
+βπ−= nz
,
⎟
...,1,0
, расположенных в левой
⎠
полуплоскости. Замкнем контур интегрирования, параллельный мнимой
оси, в левую полуплоскость. Используя лемму Жордана, на основании теории вычетов находим представление граничной температуры в виде ряда
2
1
⎞
⎛
2
n
∞
γ
b
⎛
,
u
t
⎜
2
⎝
b
⎞
=
⎟
⎠
∑
n
=
14
22
)12(
+π
n
0
+βπ−
⎟
⎜
2
⎠
⎝
=
.)(
tge
(3.9.6)
176
3.9. Коэффициентные обратные задачи несвязанной термоупругости
t
g
t
β>>β
Из представления (3.9.6) видно, что граничное поле температуры опи-
сывается быстро сходящимся рядом, причем
чина
a
, связанная с параметром β, входит в это представление нелиней-
0)( →
при
,∞→
и вели-
ным образом. Фактически в этой задаче для нахождения единственного па-
раметра имеется функциональное уравнение. Отметим, что поставленная
задача имеет решение лишь для очень ограниченного множества функ-
ций — именно, задающихся рядом типа (3.9.6), элементы которого убыва-
a
ют очень быстро. Для определения параметра
из данных эксперимента
необходимо решать некоторое трансцендентное уравнение или использо-
вать метод наименьших квадратов при обработке экспериментальных дан-
ных. Возникает естественный вопрос — нельзя ли использовать для описа-
ния поля температур и для последующей процедуры идентификации более
простые аналитические выражения, упростив соотношение типа (3.9.6)?
Оказывается, что в некоторых областях изменения параметров задачи
это
сделать можно, что существенно упрощает процедуру решения ОЗ. Так,
tt >>
например, это возможно при
, (
0
), где
0
t
— некоторое значе-
0
ние времени, характеризующее максимум граничной температуры. В силу
того, что элементы ряда в (3.9.6) быстро убывают, в этой области можно
2
π
β
−
γ
4
использовать одночленную асимптотику решения
b
⎛
u
t
⎜
2
⎝
b
⎞
~,
⎟
π
⎠
4
e
2
и об-
работать результаты эксперимента на ее основе, измеряя температуру
для двух различных моментов
2
π
a
t
−
4
b
⎛
,
uu
=
t
⎜
11
2
⎝
b
⎞
⎟
⎠
γ
=
e
2
π
1
2
b
,
,1t
.2t
Тогда имеем
2
π
a
t
−
4
b
⎛
,
uu
=
t
⎜
22
2
⎝
b
⎞
⎟
⎠
γ
=
e
2
π
2
2
b
.
(3.9.7)
Из последних двух соотношений (3.9.7) легко можно исключить параметр
γ и найти
2
b
a
=
π
1
2
−
u
1
.ln
При этом оказывается, что величина ,γ про-
u
tt
2
12
порциональная силовому фактору — моменту, не входит в окончательную
формулу. Также на основе этой асимптотики можно далее осуществить
статистическую обработку эксперимента для нескольких пар времен изме-
рения температуры
.kt
177
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
t
∞→β
β
t
t
g
γ
Отметим, что если
функции в (3.9.5)
z
стягиваются к началу координат; решение в виде ряда
n
,∞→
то и
,
и все полюса подынтегральной
(3.9.6) становится малопригодным для практических расчетов. Для малых
времен
tt <<
представление (3.9.6) (а тем более, одночленная асимптотика
0
(3.9.7)) не годится для расчета поля температур. Для асимптотического
анализа при малых временах необходимо построить асимптотику подын-
,
тегральной функции в (3.9.5) при малых
β
−
z
⎛
1
−
L
⎜
⎝
b
⎛
u
⎜
⎝
⎞
,
t
⎟
2
⎠
z
⎟
⎜
⎜
β
⎝
⎞
=
⎟
zz
⎠
⎡
b
γ
⎢
=
2
⎢
⎣
−=
⎟
⎠
21
.
В этом случае получаем формулу
π
2
1
−
⎞
⎛
⎛
β
⎜
⎜
z
⎝
1
⎛
⎜
2
o
π
⎜
⎝
⎛
z
⎜
−+
⎜
β
⎝
1
⎤
⎞
⎟
2
⎥
,
β+β
⎟
⎥
⎠
⎦
⎞
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,...exp211th1
+
а также условия
⎟
⎠
учитывая разложение
1
⎞
⎛
1
−
L
⎜
z
⎝
,1
=
⎟
⎠
(3.9.8)
которую можно использовать при обработке результатов при малых
(или
малых β). На основе асимптотики (3.9.8) так же, как и выше, можно построить конечную формулу для определения коэффициента температуро-
проводности и произвести статистический анализ.
Представленный простейший пример является весьма показательным
с точки зрения общей теории идентификации [23, 31]. В этом случае зада-
)(
ваемая функция
ляется двумя параметрами β и .
риментальной информации (например, ограничиваясь временами
имеет строго определенный вид и полностью опреде-
b В данном случае, сокращая объем экспе-
tt >>
0
)
и используя простую асимптотику для описания поля температур (3.9.7),
можно получить более устойчивые результаты при определении коэффициента температуропроводности, нежели при использовании общей формулы
в виде ряда для расчета температуры, справедливой для любых времен.
3.10. Коэффициентные обратные задачи электроупругости
В настоящем параграфе исследуются простейшие коэффициентные обратные задачи для модели линейной электроупругости. При этом для совершенствования работы устройств, в основе функционирования которых лежит пьезоэффект, используются как новые пьезоматериалы, материалы
178
3.10. Коэффициентные обратные задачи электроупругости
l
t
V
t
t
t
с пьезопокрытиями, так и неоднородная поляризация [9, 10]. Неоднород-
ность поляризации может возникать как на этапе изготовления пьезоэлемен-
та, так и в процессе эксплуатации в неоднородном температурном поле, осо-
бенно при разогреве выше точки Кюри. Для правильного расчета характери-
стик пьезопреобразователя необходимо знание функций, характеризующих
неоднородность поляризации. В настоящем параграфе анализируется ОЗ
при
продольной поляризации стержня. В этом случае задача становится существенно нелинейной и требует построения некоторого регуляризованного итерационного процесса при решении системы нелинейных операторных уравнений с компактными операторами. Задача о продольных колебаниях электроупругого стержня с неоднородной поляризацией приводит к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами, что значительно
осложняет процедуру решения как прямой, так и обратной задач. Здесь приходится сталкиваться с ситуацией, когда построение разрешающих операторных уравнений связано с определенными трудностями. Отметим, что при
слабой неоднородности возможно использование методов возмущений при
решении прямых задач о колебаниях стержня. Изложим некоторые подходы
к решению ОЗ электроупругости в соответствии с
Рассмотрим колебания электроупругого стержня длины
[9].
,2
в котором
вследствие воздействия неоднородных тепловых полей происходит частичная располяризация, моделируемая зависимостью пьезомодуля
от координаты
с осью
,3x
торцы стержня электродированы, а колебания возбуждаются
разностью потенциалов
.3x
Будем считать, что направление поляризации совпадает
).(2
Начально-краевая задача относительно сме-
d
33
щений и потенциала имеет вид
2
∂
ρ=σ xds
33,
±= lx
3
0
<
=σ
∂
=σ
,0
2
,0))((
=ϕ−σ эxd
3,3,33333
,0
±=
=ϕ
0
<
В силу зависимости пьезомодуля от координаты
),)((
ϕ−σ
3,3333
),(3tV
±=ϕ
lx
.0
x
аналитические спо-
3
(3.10.1)
собы построения решения невозможны для произвольных функций, поэтому для решения прямой задачи сведем (3.10.1) к интегральному уравнению
179
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
∞
p
~
~
~
p
x
σ
x
l
x
~
pYp
Y
t
V
Фредгольма 2-го рода. Для этого применим к (3.10.1) преобразование Лапласа по времени и введем
~
∞
σ=σ
∫
0
pt
−
dtetxpx
,),(),(
~
ϕ=ϕ dtetxpx
∫
0
−
pt
.),(),(
Интегрируя второе уравнение из (3.10.1), найдем выражение для потен-
циала
)(
~
~
)(
3,
pG
33
xd
~
,
σ+=ϕ
где
э
33
)(~pG
— произвольная функция
,
определяемая
из электрических граничных условий
l
~
)(
pG
pV
Исключая потенциал
1)(
2
∫
lэl
33
l
−
,
ϕ
для функции
σ−=
33
.),(~)(
dxpxxd
),(
получаем следующую
(3.10.2)
краевую задачу:
~
33,
~
где
±= l
p
2
xc
)(
,0
=σ
1
2
)(
xc
2
ρ−=σ
33
⎛
⎜
1
33
−ρ=
⎜
s
⎝
33
~
pGxdp
),(
)(
2
⎞
)(
xd
⎟
.
⎟
sэ
3333
⎠
2
Приведем задачу (3.10.3) к безразмерному виду, для чего введем вели-
2
33
33
))12((
yld
−
=
)(
ld
−
),(
yq
чины
2
)(
ld
),12( −= y
−σ
=
pyY
),(
~
33
2
k
=
0
)),12((
spyl
33
−
)()(
ldpG
−
33
.
,
sэ
3333
Тогда
2
′′
0
.0),1(),0( ==
222
,)())(1(
yqYyqkY Ω−−Ω=
(3.10.3)
222
spl ρ=Ω
33
(3.10.4)
,4
Отметим, что в краевую задачу (3.10.4) не входит электрический потен-
циал
);(
определение механического напряжения приводит к проблеме
решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода
1
2
∫
0
[]
22
0
,)(),())(1(),(),(
ξξ−ξξ−ξΩ= dqpYqkyKpyY
(3.10.5)
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]