Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Саратовский национальный исследовательский государственный

университет имени Н. Г. Чернышевского

М. Ю. Игнатьев

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЬЮ

Саратов Издательство Саратовского университета

2020

ВВЕДЕНИЕ

Обратные задачи спектрального анализа заключаются в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Такие задачи часто встречаются в разных областях естествознания и техники. Их исследование имеет богатую историю, насчитывающую более 70 лет. Первой значительной работой в данном направлении традиционно считается статья Г. Борга (Borg) [1], в которой изучалась задача восстановления потенциала q( ) оператора Штурма – Лиувилля

по заданным спектрам краевых задач, порожденных уравнением `y = ly

икраевыми условиями y(0) = y(n 1)(p) = 0, n = 1;2. Следует упомянуть также ряд работ прикладного характера, в которых исследовались задачи, фактически относящиеся к обратным спектральным [2–5].

Теории обратных задач для операторов Штурма – Лиувилля посвящено большое число работ. В ходе ее дальнейшего развития были получены глубокие нетривиальные результаты. Не претендуя на полноту обзора данного направления, упомянем труды В. А. Марченко, И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана, М. Г. Крейна, Л. Д. Фаддеева, В. А. Садовничего, среди которых прежде всего следует выделить работу Гельфанда

иЛевитана [6]. В ней было показано, что решение обратной задачи восстановления оператора Штурма – Лиувилля на полуоси по заданной спектральной функции может быть сведено к решению некоторого линейного интегрального уравнения, получившего название «уравнение Гельфанда – Левитана». В дальнейшем оказалось, что обратные задачи Штурма – Лиувилля в других постановках также сводятся к решению некоторых линейных уравнений (например, уравнения Марченко в теории рассеяния) [7–10]. Указанное наблюдение весьма нетривиально в силу нелинейности самих обратных задач. Возможность сведения обратных спектральных задач к решению линейных уравнений играет решающую роль в контексте появившегося в 1967 году [11] метода обратной задачи рассеяния интегрирования некоторых нелинейных уравнений математической физики.

3

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

К обратным задачам Штурма – Лиувилля близки обратные задачи для систем дифференциальных уравнений вида

известных как система Захарова – Шабата, и аналогичной (отличающейся фактически только нормировкой) системы Дирака. Следует отметить важную роль системы (2) в интегрировании нелинейных уравнений методом обратной задачи: если уравнение Кортевега – де Фриза ut 6uux + uxxx = 0 интегрируется при помощи обратной задачи рассеяния для оператора Штурма – Лиувилля, то для решения таких важных уравнений, как нелинейное уравнение Шредингера iut 2u2u¯ + uxx = 0, модифицированное уравнение КдФ ut + 6u2ux + uxxx = 0 и уравнение синус–Гордон uxt + sinu = 0, используется обратная задача рассеяния для системы (2).

Методы, использованные при исследовании систем вида (2), во многом аналогичны тем, что возникли при решении обратных задач Штурма – Лиувилля. Так, конструктивные процедуры решения обратных задач для таких систем основаны на аналогичных линейных интегральных уравнениях (уравнениях Гельфанда – Левитана – Марченко).

Существенно более сложными для изучения оказались обратные спектральные задачи для операторов высших (n > 2) порядков

вслучае, когда fbkg – комплексные числа, не лежащие на одной прямой. Решение таких задач потребовало привлечения принципиально новых идей и методов. Например, здесь оказывается неэффективным (за исключением некоторых частных случаев [12–15]) использование так называемых операторов преобразования, играющих центральную роль

вметоде Гельфанда – Левитана – Марченко. Более эффективным оказался разработанный в 1980-е годы вариант метода контурного интеграла

вкомплексной плоскости спектрального параметра. Указанный подход активно применялся в теории прямых задач спектрального анализа еще

вклассических работах начала XX века. Однако применение соответствующих идей в теории обратных задач весьма нетривиально в силу их нелинейности. Важную роль здесь сыграли работы Н. Левинсона [16]

4

Введение

(Levinson) и З. Л. Лейбензона [17, 18], но решающий шаг был сделан значительно позже в работах [19–23], посвященных теории рассеяния, и в работах [24, 25], в которых изучались обратные задачи на полуоси и конечном отрезке.

Дальнейшее развитие теории обратных спектральных задач, активно продолжающееся и в настоящее время, связано как с появлением новых постановок задач, часто связанных с возникающими приложениями, так и с более глубоким изучением и переосмыслением упомянутых выше классических проблем. К первой группе направлений можно отнести образовавшуюся сравнительно недавно теорию обратных задач на так называемых квантовых графах. Указанное направление тесно связано с прикладными задачами и активно развивается в последние десятилетия. Мы не можем претендовать на полный обзор данной теории, упомянем лишь работы [26–31]. Ко второй группе направлений можно отнести теорию операторов (1) и (3) с коэффициентами-распре- делениями. Отметим, что если теория операторов (1) с потенциаламираспределениями из негативных соболевских пространств (таких как W2 1[0;p]) разработана на данный момент достаточно полно (см., например, основополагающую работу [32], а также работы [33,34], посвященные обратным задачам), то для операторов высших порядков (3) эта теория делает лишь первые шаги. Здесь следует упомянуть сравнительно недавние работы [35,36]. Отметим, что возникающие здесь вопросы тесно связаны с исследованием систем вида (4) в общем случае, когда требования на матрицу-функцию Q( ) налагаются в терминах принадлежности некоторым классам суммируемости и не предполагают, вообще говоря, ни гладкости, ни даже непрерывности. По ряду причин изучение систем вида (4) в указанном общем случае оказывается существенно более сложной задачей и требует пересмотра и нетривиальных модификаций используемых методов исследования.

В настоящей работе изучается задача рассеяния для системы диф-

со спектральным параметром r, где A и B – постоянные n n, n > > 2 матрицы, B = diag(b1;:::;bn). Система (5), очевидно, может быть записана в виде (4), где

Q(x) = x 1A + q(x):

5

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Однако наличие слагаемого x 1A (не интегрируемого ни в окрестности нуля, ни в окрестности бесконечности) существенно отличает систему

(5) от системы (4) с суммируемым потенциалом Q( ).

Системы вида (2) с Q(x) = x 1A+q(x) (где q( ) суммируема) и тесно связанные с ними скалярные операторы Штурма – Лиувилля с бесселевой особенностью

`y = y00 + q(x) + n0 y x2

были и остаются предметом активного изучения начиная с классических работ [9, 37–43]. Однако эти работы существенно опираются на упомянутую выше специфику случая n = 2 и перенесение используемых в них методов на случай системы (5) с n > 2 сталкивается с рядом трудностей принципиального характера.

Родственные системе (5) скалярные дифференциальные уравнения высшего порядка с регулярной особенностью

изучались ранее в работах В. А. Юрко и его учеников. Был получен ряд результатов, относящихся к прямым и обратным задачам для операторов вида (6) в разных постановках включая задачи на полуоси [44], конечном отрезке [45, 46], а также (в случае n = 2) на геометрических графах [47]. Более того, удалось исследовать также случай (произвольного числа) особенностей внутри интервала [48, 49].

В то же время, несмотря на указанные достижения, использованный подход имеет существенные ограничения, выражающиеся в дополнительных требованиях специального поведения коэффициентов fqk(x)g в окрестности особой точки x = 0. Операторы, удовлетворяющие соответствующим требованиям, образуют важный частный подкласс операторов вида (6), обладающий целым рядом интересных свойств. Однако многие закономерности, присущие операторам данного подкласса, не имеют места в общем случае, поэтому его изучение не дает общей картины.

Аналогичные закономерности прослеживаются и в случае системы (5): описанный выше подход позволяет исследовать систему (5), но лишь при дополнительном условии достаточно быстрого убывания матрицы-функции q(x) при x ! 0.

6

Введение

В настоящей работе мы используем другой подход, позволяющий избавиться от упомянутых ограничений и исследовать систему (5) в общем случае. Будем предполагать выполнение следующих условий:

– матрица A внедиагональна. Ее собственные значения f jgnj=1 различны и удовлетворяют условию j k 2= Z при j 6= k, кроме того,

Re 1 < Re 2 < ::: < Re n, Re k 6= 0, k = 1;n;

– B = diag(b1;:::;bn), элементы b1;:::;bn – различные ненулевые

комплексные числа, никакие три из которых не лежат на одной

n

прямой, и такие, что å bj = 0;

j=1

– матрица-функция q( ), далее называемая потенциалом, такова, что

qk j( ) 2Xp := L1(0;¥) \Lp(0;¥), p > 2, qkk(x) 0, k = 1;n.

Помимо указанных условий мы предполагаем выполненным и так называемое условие информативности (см. парагр. 1.1), являющееся аналогом условий информативности для систем вида (4) на полуоси (см., например, [48]).

Неинтегрируемость слагаемого x 1A требует его включения в глав-

Здесь наблюдается существенное отличие от системы (4), для которой (даже в наиболее сложном общем случае, когда Q( ) предполагается лишь суммируемой) «невозмущенная система» имеет вид

y0 = rBy;

ифундаментальную систему решения вида fexp(rxbk)ekg, k = 1;n (здесь

идалее ek обозначают базисные векторы координатного пространства Cn: (ek)j = dj;k, dj;k – символ Кронекера). В случае же системы (7) решения имеют более сложную структуру (зависящую, кроме того, от матрицы A) и демонстрируют поведение, аналогичное поведению функций fexp(rxbk)ekg лишь при больших значениях rx.

Рассмотрим решения системы (7) подробнее. Обозначим через S объединение прямых вида

[

S = fz : Re(zbj) = Re(zbk)g:

(k; j): j6=k

Для любого z 2 C n S существует такая перестановка R1;:::;Rn чисел b1;:::;bn, что Re(R1z) < Re(R2z) < ::: < Re(Rnz). Пусть S – некоторый открытый сектор fz = r exp(ig);r 2 (0;¥);g 2 (g1;g2)g, лежащий

7

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

–Ck(x;r) = (rx) k cˆk(rx), где cˆk( ) – целые функции, cˆk(0) = hk, hk – собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению k;

–Ek(x;r) = exp(rxRk) fk + O((rx) 1) .

Здесь (и далее) ffkg обозначают столбцы матрицы перестановок f такой, что (R1;:::;Rn) = (b1;:::;bn)f.

Переходя к общей системе (5), отметим, что ключевую роль в спектральной теории таких систем (как в вопросах, относящихся к прямым задачам, так и в теории обратных задач) играют решения, которые мы будем называть решениями типа Вейля. При r2S (где, как ранее, так и в дальнейшем, пока не оговорено иное, S есть некоторый открытый сектор с вершиной в нуле, лежащий в C n S), k 2 f1;:::;ng,

Решения типа Вейля являются решениями неоднородных краевых задач специального вида, неоднородность в краевых условиях можно трактовать как своего рода «зондирующее воздействие» на систему. Само решение типа Вейля в данной интерпретации описывает реакцию системы на такое воздействие. Указанные свойства делают решения типа Вейля естественным объектом в теории обратных спектральных задач. Заметим, что в нашем случае зондирующее воздействие осуществляется из «точки» x = ¥, что соответствует термину «задача рассеяния».

Для построения и исследования решения типа Вейля (точнее, аналогичных им решений Вейля, для которых нормирующее неоднородное краевое условие ставится в точке x = 0) в упомянутых выше работах В. А. Юрко и его учеников используется процедура переразложения решений бирхгофовского типа через специальным образом построен-

ные решения fSk(x;r)gnk=1, удовлетворяющие, в частности, следующим асимптотическим условиям:

Sk(x;r) = x k (hk + o(1)); x ! 0:

Анализ коэффициентов указанных переразложений (так называемых множителей Стокса) является источником информации о свойствах решений Вейля. Однако интегральные вольтерровские уравнения, ис-

пользуемые при построении функций fSk(x;r)gnk=1, разрешимы лишь

8

Введение

при дополнительном условии

w1

x 1 n q(x) dx < ¥;

0

что и порождает отмеченные выше ограничения метода. Используемый нами метод построения решения типа Вейля отли-

чается от описанного выше и основан на приеме, впервые предложенном в [21] при исследовании задачи рассеяния для оператора (3) на всей оси (отметим, что коэффициенты pk( ) предполагались принадлежащими пространству Шварца). Пусть функции y1( );:::;ym( ) удовлетворяют системе уравнений

y0 = U(x)y

с некоторой n n (n m) матрицей-функцией U( ). Тогда, как несложно убедиться с помощью непосредственной проверки, m-вектор

Y (x) := y1(x) ^ ^ym(x)

удовлетворяет системе аналогичного вида, более точно, системе

Y 0 = (U(x))(m)Y:

Здесь (и далее в аналогичном контексте) используется следующая договоренность об обозначениях: если некоторый символ M обозначает матрицу или оператор в Cn, то через M(m) (m 2f1;:::;ng) обозначается действующий в ^mCn линейный оператор, такой, что равенство

m

M(m)(v1 ^ ^vm) = åv1 ^ ^vj 1 ^(Mvj) ^vj+1 ^vm

j=1

выполняется для любого набора векторов fv1;:::;vng из Cn. Следующее важное наблюдение состоит в том, что если fyk( )gnk=1 суть решения типа Вейля (при некотором фиксированном r), то построенные по ним тензоры y1(x)^ ^yk(x) и yk(x)^ ^yn(x) имеют минимальный рост при x ! ¥ и, соответственно, при x ! 0 среди решений системы

при m = k и m = n k + 1. Указанное обстоятельство позволяет получить для введенных тензоров интегральные вольтерровские уравнения. Таким образом, в отличие от подхода, предложенного в [44] и использованного в дальнейших работах В. А. Юрко и его учеников, в данном

9

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

случае техника интегральных вольтерровских уравнений применяется к вспомогательной системе (8), а не к исходной (5). Поскольку при этом строятся лишь решения с минимальным ростом на соответствующих концах интервала, для разрешимости возникающих интегральных уравнений не требуется дополнительных условий на потенциал q( ), фактически достаточно суммируемости матрицы-функции q( ).

Построению и исследованию решений типа Вейля посвящена первая глава настоящей работы. В более детальном изложении построение решений типа Вейля можно описать следующим образом.

Первым шагом является исследование решений следующих интегральных уравнений:

где Tk0(x;r) := Ck(x;r) ^ ^Cn(x;r), Fk0(x;r) := E1(x;r) ^ ^ Ek(x;r), а Gm(x;t;r) – функция Грина системы (8) при q = 0, представляющая

собой при фиксированных значениях аргументов x;t;r линейный оператор в ^mCn. Решения уравнений (9) и (10) обозначаются соответственно Tk(x;r) и Fk(x;r) и называются в дальнейшем фундаментальными тензорами. Важным этапом исследования данных уравнений является изучение первых слагаемых ряда, получаемого по методу последовательных приближений. Указанные величины играют важную роль, во многом определяя свойства фундаментальных тензоров. Зависимость этих величин от q( ) линейна, что позволяет рассматривать их как результат применения к матрице-функции q( ) некоторых интегральных преобразований, являющихся далекими обобщениями преобразований типа Фурье – Ханкеля. Изучению этих интегральных преобразований посвящен парагр. 1.1, основной результат которого содержится в теореме 1.1. Отметим, что сходные закономерности прослеживаются и при построении ФСР бирхгофовского типа (см., напр., [50]), где поведение построенных решений во многом определяется линейным относительно потенциала слагаемым. Изучение соответствующих интегральных преобразований (являющихся в этом случае обобщением преобразования Фурье) становится, таким образом, важнейшим этапом исследования [51].

10