Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

= Y (q1;x;r)v(q1;r)(v(q2;r)) 1(Y (q2;x;r)) 1:

Из совпадения v(q1; ) = v(q2; ) следует

P+(q1;q2;x;r) = Y (q1;x;r)(Y (q2;x;r)) 1 = P (q1;q2;x;r):

В силу теоремы 1.10

Y(qj;x;r) =Y (qj;x;r)r ;

где Y (qj;x;r) допускают непрерывное продолжение в Sn для любого n = 1;N. Следовательно, для каждого n = 1;N существует конечный предел

! 0 и стремится к нулю при r ! ¥. Согласно теореме Лиувилля заключаем, что P(q1;q2;x;r) I = 0, т. е. Y(q1;x;r) Y(q2;x;r), откуда следует q1 = q2.

2

Покажем, что задача 2.1 может быть сведена к решению некоторого линейного интегрального уравнения, зависящего от x > 0 как от

параметра.

Зафиксируем произвольную q( )2G0p и положим P(x;r) = P(q;x;r), где P(q;x;r) := Y(q;x;r)Y0 1(x;r).

Условимся, что для каждого n = 1;N открытые лучи Sn ориентированы в направлении от нуля к ¥. Под S+n и Sn понимаются берега проведенного по Sn разреза, принадлежащие границе секторов Sn+1 и Sn соответственно. Условимся считать, что S+n ориентированы от нуля к ¥, а Sn – от ¥ к нулю. Обозначим через g контур, составленный из всех

111

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Как при доказательстве теоремы 2.4, имеем P(q;x; ) I ! 0 при ! ¥, следовательно, переходя в (2.12) к пределу при R ! ¥, получим

Заметив, что для каждого n = 1;N в силу выбранной ориентации контуров Sn, S+n и Sn имеем

Обозначим через C f (r) интеграл Коши:

через C f (r), r 2S0 – предельные значения C f (r) := (C f ) (r).

Во введенных обозначениях полученное выше представление для

Беря в (2.14) соответствующие предельные значения и учитывая полученное соотношение, получаем

+ ˆ( ; ) (r) ˆ( ; ) (r) ( ;r) = ( ;r) ; r2S0: (2.16)

C P x C P x V x V x I

112

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

В контексте решения обратной задачи рассеяния мы будем рассматривать полученное соотношение как линейное уравнение относительно

функции ˆ( ; ) (для каждого фиксированного > 0, выступающего как

P x x

параметр); величина V (x;r), также входящая в соотношение (2.16), может быть найдена по явной формуле (2.15) исходя из известных данных рассеяния v(r). Для обоснования конструктивной процедуры решения обратной задачи рассмотрим (2.16) как уравнение в L2(S) и установим его корректную разрешимость для каждого фиксированного x > 0.

линейный оператор, действующий в L2(S) по формуле:

A(x)j(r) := (C+j)(r) (C j)(r)V (x;r):

2. Оператор A(x) обратим.

Доказательство. 1. В этом пункте достаточно убедиться, что для

L2(S), а оператор A(x) действует в этом же пространстве. Рассуждая как при доказательстве теоремы 2.4, из представления

ˆ ˜ ˜

V (x;r) = Y0(x;r)w(x;r)Y0 (x;r), где

wjk(x;r) = Wj(rx)vˆ jk(r):

Wk(rx)

При j < k vˆ jk = 0, в противном случае имеем

Wj(rx) M (rx) j k M; jrj x 1;Wk(rx)

поскольку при j k Re j Re k. Таким образом, w(x;r) ограничена при r ! 0. Далее, поскольку матрица vˆ(r) P-диагональна, vˆ jk(r) отлична от тождественного нуля лишь для таких позиций j;k, для которых Re(rRj) = Re(rRk). Но в этом случае

113

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

2 (S), более того, ˆ ( ;r) ограничена по r2S0 и стремится к нулю при

L2 V x

r ! ¥. Отсюда, в частности, следует, что функция V (x;r) ограничена по r2S и, соответственно, оператор умножения на эту функцию непрерывен в L2(S). Поскольку операторы C непрерывны в L2(S), заключаем, что A(x) непрерывен в L2(S).

Приведенное в теореме уравнение есть записанное в операторной форме соотношение (2.16), единственность его решения следует из утверждения пункта 2.

2. Для удобства обозначений в последующем рассуждении мы не указываем (произвольный фиксированный) x > 0 в списках аргументов.

Пусть (r) = ( ;r) = Y( ;r)Y 1( ;r). Обозначим ˜(r) := 1(r). Вве-

P P x x 0 x P P

где f1( ); f2( ) 2L2(S) произвольны, запишем для произвольного фиксированного r 2 C n S:

2pi

S

где

Fr(x) := r 1 x(P+(x) P (x)); x2S:

Рассуждая как при выводе (2.14), с учетом асимптотики P(x) = I + o(1) при x ! ¥ приходим к соотношению

114

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

11

=r P( ) r P(r); r; 2CnS;

что эквивалентно представлению

Переходя к соответствующим предельным значениям, получим

Подставляя полученное представление в (2.18), приходим к равенствам:

2.2. Пусть теперь f = Aj, где j( )2L2(S) произвольна. Тогда, учитывая, что P V = P+, имеем

˜+ = +j ˜+ j ˜ = j ˜+ + j ( ˜+ ˜ ); f P C P C P P C P P

˜+ ˜+

C f P (r) = C jP (r)+

Рассуждая как в пункте 2.1, осуществляем преобразование:

115

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Для завершения конструктивной процедуры решения обратной задачи мы построим явную формулу, позволяющую восстановить потен-

циал ( ) по известному (найденному из основного уравнения) ˆ( ;r) = q P x

= ˆ( ; ;r).

P q x

Сначала рассмотрим случай гладких убывающих в нуле потенциа-

лов.

Лемма 2.2. Пусть потенциал q 2G0p удовлетворяет условиям теоремы 1.7. Тогда справедлива следующая формула восстановления:

ˆ 1 E

Y(x;r) = r (fГn(x) + qˆ(x)f + n(x;r) + o(1));

где Гn(x) – некоторые диагональные матрицы, функции En(x; ) 2P(Sn)

116

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

(мы используем один и тот же символ для обозначения различных функ-

P S j ˜ j j j

ций из класса ( n)). Поскольку detY0 = 1 при rx > 1, справедлива также асимптотика

Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, что использовались при выводе (2.14), в частности применяются те же обозначения для введенных в том рассмотрении контуров. Из асимптотики (2.20) следует, что

где r2CnS произвольна. Таким образом, интегральная формула Коши (где R > jrj)

В то же время, подставляя (2.14) непосредственно в определение функции F(x;r), получаем

Сравнивая полученное выражение с (2.21), приходим к требуемому результату.

2

117

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Переходя к общему случаю, заметим, что в силу теоремы 2.5 справедливо равенство

мощи предельного перехода от потенциалов, удовлетворяющих условиям леммы 2.2, с учетом соотношения (2.22).

Обозначим через L2+(S) пространство P-верхнетреугольных

где

ˆ ( ; ;r) := Y ( ;r) (r)Y 1( ;r):

V u x 0 x u 0 x

Тогда:

1.F : H0P(S) C([0;¥);L2(S)) ! C[0;¥) непрерывен.

2.Для любых u 2 H0P(S), j 2C([0;¥);L2(S)) при R ! ¥ FR(u;j) ! ! F(u;j), где

Доказательство. Рассуждая как при доказательстве теоремы 2.2 (пункт 1.), замечаем, что из нижнетреугольности и P-диагональности u следует оценка

2 L(H0 (S);C([0;¥);L2(S))). С учетом непрерывности линейного опе-

118

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

ратора C : L2(S) ! L2(S) и билинейного функционала j1 2L2(S);j2 2

2 L2(S) ! hj1;j2i 2 C:

w

hj1;j2i = drj1(r)j2(r)

S

дальнейшее очевидно.

2

Обозначим через L2;loc(0;¥] пространство функций, принадлежащих L2(d;¥) для любого d > 0, с топологией, определяемой системой полунорм k kd = k kL2(d;¥).

Лемма 2.4. Определим семейство линейных операторов:

В силу представления

E(x;r) = f + (rx) 1h(rx) exp(rxR);

где h(z) ограничена при jzj > 1, оператор E(R2) можно представить в виде

E(R2) f (x) :=

= 1 w drq+(jrjx 1)q (jrj R)(rx) 1M (x;r)(exp(rxR) f (r)exp( rxR));

2pi

S

(2.23)

119

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где при каждых фиксированных значениях x;r M (x;r) есть некоторый линейный оператор в пространстве n n матриц, причем kM (x;r)k равномерно ограничена при jrxj > 1. Из P-верхнетреугольности f (r) следует, что Re(r(Rj Rk)) 0 для всех ненулевых элементов f jk(r), откуда вытекает

S

где оператор M (x;r) тот же, что в (2.23), получаем оценку

kE(2) f ( )kL2(d;¥) M(d)kf kH0+(S);

из которой вытекает, что E(2) 2L H0+(S);L2;loc(0;¥] . Более того, имеем w

kE(2) f (x) E(R2) f (x)k M jdrjq+(jrjx 1)q+(jrj R)jrxj 1kf (r)k;

S

откуда для любой фиксированной d > 0 при x > d и достаточно больших

R > 0

kE(2) f (x) E(R2) f (x)k Mx 1kf kL2(S+(R))

и, следовательно,

kE(2) f ( ) E(R2) f ( )kL2(d;¥) Mkx 1kL2(d;¥)kf kL2(S+(R));

120