Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 1. Решения типа Вейля

wx

Qab dt MkqkL¥(0;¥)(x t):

t

Учитывая, что t exp( t) < 1 при t > 0, приходим к (1.92). Таким образом, (1.92) справедлива для всех пар мультииндексов a;b, что завершает доказательство леммы.

a;b2An k+1

71

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

0

поэтому kK0(r)uˆk( ;r)kL¥(0;¥) = O(1). Таким образом, мы получили

индексов a;b) абсолютно непрерывны. Рассуждая как при доказательстве леммы 1.9, получаем при g 6= b

jrj 1

откуда

(K0(r)uk(q; ;r))(x) =

72

Глава 1. Решения типа Вейля

Подставляя полученную асимптотику в представление (1.93), получаем

Здесь, как и ранее, оценка o( ) понимается по норме L¥(0;¥). Но все величины, входящие в (1.95), представляют собой абсолютно непрерывные функции по x 2 (jr 1j;¥). Следовательно, (1.95) справедливо при r ! ¥ для каждого фиксированного x > 0.

Заметим теперь, что

при r ! ¥. Используя данное наблюдение, а также представление (1.89)

для ˆ 1( ;r), получаем из (1.95) требуемую асимптотику.

Tk x

2

1.3. Решения типа Вейля

Данный параграф посвящен построению и исследованию некоторых специальных систем решений системы

Эти решения, которые можно считать прямым аналогом систем решений, рассматриваемых в работах Р. Билса и В. А. Юрко, играют ключевую роль в различных вопросах спектральной теории, в частности теории обратных задач.

В отличие от традиционных методов, мы не используем никаких вспомогательных ФСР системы (1.96), основным инструментом в наших рассмотрениях выступают построенные в парагр. 1.2 фундаментальные тензоры. Одним из ключевых результатов, излагаемых далее, является возможность представления фундаментальных тензоров как внешних произведений некоторых специальных решений системы

73

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

(1.96). Построение самих решений при этом сводится к решению некоторых (вообще говоря, переопределенных) СЛАУ. Для работы с такими системами мы будем использовать следующее утверждение (этот результат хорошо известен, см., напр. лемму 7.1 [21], тем не менее для удобства читателя мы приводим здесь его доказательство).

Утверждение 1.1. Рассмотрим уравнение

u1 ^ ^um ^ f = g

относительно неизвестного вектора f 2 Cn, где g 2 ^m+1Cn и система линейно независимых векторов fu1;:::;umg заданы.

Данная задача имеет решение тогда и только тогда, когда g ^uj =

= 0, j = 1;m.

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Дополнив систему fu1;:::;umg произвольным образом до базиса fu1;:::;ung в Cn, перепишем рассматриваемое уравнение в виде

n

åbj(u1 ^ ^um ^uj) = g;

j=1

что эквивалентно СЛАУ

n

åaa jbj = ga; a2Am+1 j=1

относительно коэффициентов fbjgnj=1, где

aa j = ju1 ^ ^um ^uj ^ua0 j; ga = jg ^ua0 j:

Для любого мультииндекса a2Am+1, такого что a0 \(1;:::;m) 6= ?, имеем aa j = 0 для всех j = 1;n, при этом и ga = 0, и соответствующая строка в СЛАУ представляет собой тождество. После исключения всех таких строк СЛАУ приводится к виду

aa jbj = ga; j = m + 1;n;

где a = (1;:::;m; j), aa j = ju1 ^ ^um ^uj ^ua0 j 6= 0.

2

Замечание 1.1. В условиях утверждения 1.1 искомый вектор f определен с точностью до произвольной линейной комбинации векторов u1;:::;um, т. е. рассматриваемая задача не является однозначно разрешимой. Для получения однозначно разрешимой задачи можно дополнить уравнение некоторой системой соотношений, однозначно фиксирующей компоненту из spanfu1;:::;umg. Например, при выполнении

74

Глава 1. Решения типа Вейля

условий g ^ uj = 0, j = 1;m однозначно разрешимой является задача (СЛАУ) вида

u1 ^ ^um ^ f = g; ( f ;uj) = 0; j = 1;m;

где ( ; ) обозначает стандартное скалярное произведение в Cn.

Следующий результат вспомогательного характера показывает, что фундаментальные тензоры являются поточечно (т. е. для каждой фиксированной пары аргументов (x;r)) разложимыми.

Лемма 1.10. Пусть q( ) 2 L1(0;¥). Тогда существуют (однозначно определяемые) наборы функций fv1(x;r);:::;vn(x;r)g

иfw1(x;r);:::;wn(x;r)g, x 2(0;¥), r 2S nf0g такие, что:

–для любых фиксированных x;r векторы fv1;:::;vng попарно ортогональны, так же как и векторы fw1;:::;wng;

–фундаментальные тензоры допускают разложения вида Tk = wk ^

^wn, Fk = v1 ^ ^vk;

–для любых фиксированных x;r и для всех s k справедливы соотношения vs ^Fk = 0, wk ^Ts = 0;

–справедливы соотношения

(w0k U(x;r)wk) ^Tk+1 = 0; Fk 1 ^(v0k U(x;r)vk) = 0;

– имеют место асимптотики

vk = exp(rRkx)(fk + o(1)); x ! ¥;wk = (rx) k (gk + o(1)); x ! 0;

где fgkgnk=1 – не зависящие от x;r ортогональные векторы, такие

что gn = hn; gk hk 2spanfg jgj>k.

Доказательство. 1. Положим wn(x;r) := Tn(x;r). Убедимся, что wn ^ Tj = 0 при всех j < n, x, r. При j = 1 утверждение очевидно. Пусть j > 1. Обозначив wn ^Tj =: y, заметим, что y( ;r) удовлетворяет уравнению

Рассматривая (1.97) как неоднородное уравнение с правой частью q(n j+2)(x)y, получим представление

75

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

заключаем, что y( ;r) удовлетворяет следующему однородному вольтерровскому уравнению:

Из уравнения (1.101) и оценки (1.98) по индукции выводим следующую оценку при m = 1;2;::::

Поскольку y(x;r) является решением однородной системы дифференциальных уравнений (1.97), то y(x;r) 0.

2. Далее используем индукцию по k = n 1;:::;1. Предположим, что уже построены вектор-функции fwk+1;:::;wng, обладающие указанными свойствами, в частности Tk+1 = wk+1 ^ ^ wn и при j > k wj(x;r) ^ Tk(x;r) 0. Для выполнения шага индукции требуется доказать существование и единственность функции wk = wk(x;r), x 2(0;¥), r2S nf0g такой, что:

2.1. wk ^Tk+1 = Tk, (wk;wj) = 0, j = k + 1;n для любых фиксированных x;r.

2.2.Выполнено соотношение (w0k U(x;r)wk) ^Tk+1 = 0.

2.3.Имеет место указанная в лемме асимптотика при x ! 0 для любого фиксированного r2S nf0g.

2.4.wk(x;r) ^ Tj(x;r) 0 при всех j k.

76

Глава 1. Решения типа Вейля

2.1. Разрешимость системы w^Tk+1 = Tk следует из предположения индукции и утверждения 1.1. Обозначим через wk единственное (см. замечание 1.1.) решение данной системы, удовлетворяющее дополни-

тельному условию (w;wj) = 0, j = k + 1;n.

2.2. Дифференцируя соотношение wk ^ Tk+1 = Tk и учитывая, что функция Tm( ;r) удовлетворяет уравнению Tm0 = U(n+1 m)Tm, получим требуемое соотношение (w0k U(x;r)wk) ^Tk+1 = 0.

2.3. Пусть r 2 S n f0g фиксировано, x ! 0. В силу асимптотик функций C1;:::;Ck (из парагр. 1.1) и wk+1;:::;wn (из предположения индукции) векторы C1;:::;Ck;wk+1;:::;wn при всех достаточно малых x линейно независимы и справедливо представление

ågjCj ^Tk+1 = Tk; j k

откуда

gj jC1 ^ ^Ck ^Tk+1j =

=( 1)cj jC1 ^ ^Cj 1 ^Cj+1 ^ ^Ck ^Tkj; cj 2f0;1g;ck = 0:

Соотношения (wk;wj) = 0, j = k + 1;n перепишем следующим образом: bj(wj;wj) + (w1k ;wj) = 0:

Отсюда с учетом (1.103) и предположения индукции получаем

Подставляя представления (1.103), (1.104) в (1.102), приходим к требуемой асимптотике

wk(x;r) = (rx) k (gk + o(1)); gk = hk + åb0j g j;

j>k

77

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

причём при j > k имеем (gk;g j) = (hk;g j) + b0j (g j;g j) = 0 в силу (1.104). 2.4. Рассуждая, как в пункте 1, рассмотрим функцию wk ^ Tj =: y,

где j k. Так же как и в пункте 1, y( ;r) удовлетворяет уравнению

y0 = (rB + x 1A)(n j+2)y + q(n j+2)(x)y

завершён.

3.Доказательство утверждений о функциях fvk( ; )g использует

восновном те же соображения, что изложены в пунктах 1, 2. Положив v1(x;r) := F1(x;r), для функции y(x;r) := Fj(x;r) ^v1(x;r) при j = = 1;n 1 (случай j = n тривиален) получим однородное волльтерров-

ское уравнение

откуда заключаем, что y(x;r) 0, т. е. Fj(x;r)^v1(x;r) 0 при всех j 1. Далее рассуждаем по индукции. Шаг индукции сводится к тому, чтобы из существования функций v1( ; );:::;vk 1( ; ), обладающих указанными свойствами, вывести существование функции vk = vk(x;r), x 2

2(0;¥), r2S nf0g такой, что:

78

Глава 1. Решения типа Вейля

3.1. Fk 1 ^ vk = Fk, (vk;vj) = 0, j = 1;k 1 для любых фиксированных x;r.

3.2.выполнено соотношение Fk 1 ^(v0k U(x;r)vk) = 0.

3.3.имеет место указанная в лемме асимптотика при x ! ¥ для любого фиксированного r2S nf0g.

3.4.vk(x;r) ^ Fj(x;r) 0 при всех j k.

Пункт 3.1, как и ранее, следует из утверждения 1.1 с учетом

замечания 1.1. Пункт 3.2 получается дифференцированием равенства

При x ! ¥ получаем bk = 1 + o(1), bj = o(exp(rx(Rk Rj))), j > k. Это влечёт, в свою очередь, асимптотику

v1k (x;r) = exp(rxRk)(fk + o(1))

для функции

v1k (x;r) := åbj(x;r)Ej(x;r):

j k

Далее, из соотношений (vj;vk) = 0 находим представления для bj, j < k:

bj(vj;vj) = (v1k ;vj):

Сучетом предположения индукции и полученной асиптотики для функции v1k (x;r) имеем

откуда bj = o(exp(rx(Rk Rj))), j < k. Подставляя найденные асимптотики коэффициентов bj(x;r), j = 1;n в представление (1.105), получим требуемую асимптотику для vk(x;r), x ! ¥.

79

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

3.4 Рассуждения, аналогичные данным выше, приводят к уравне-

нию

Отсюда заключаем, что y(x;r) 0, т. е. Fj(x;r) ^ vk(x;r) 0 при всех j k.

2

Наш следующий шаг – представить фундаментальные тензоры как внешние произведения функций, являющихся решениями системы (1.96) (ни vk( ;r), ни wk( ;r) системе (1.96), вообще говоря, не удовлетворяют). Это оказывается возможным при условии не обращения в нуль некоторых функций, которые естественно назвать характеристическими. Мы определим их соотношениями

Dk(r) := jFk 1(x;r) ^Tk(x;r)j;

k = 2;n, D1(r) := jT1(x;r)j = 1.

Теорема 1.8. Пусть q( ) 2L1(0;¥). Зафиксируем произвольное k 2 2 f2;:::;ng. Тогда для любого r 2 S n f0g, такого что Dk(r) 6= 0, существует и единственна функция Yk( ;r) : (0;¥) ! Cn со следующими свойствами:

1.Для каждого фиксированного x 2(0;¥) выполняются соотношения

Fk 1 ^Yk = Fk, Yk ^Tk = 0.

2.Y0k = U(x;r)Yk, т. e., Yk( ;r) является решением системы (1.96).

3.Справедливы асимптотики:

Yk(x;r) = O((rx) k );x ! 0;

Yk(x;r) = O(exp(rxRk)); x ! ¥;

f1 ^ ^fk 1 ^Yk(x;r) = exp(rxRk)(f1 ^ ^fk + o(1)); x ! ¥:

4.Если r таково, что Re(rRk 1) < Re(rRk) (например, если r 2S), то имеет место асимптотика

Yk(x;r) = exp(rRkx)(fk + o(1));x ! ¥:

80