Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 1. Решения типа Вейля

Доказательство. В силу установленной в лемме 1.10 разложимости фундаментальных тензоров соотношения Fk 1 ^ Yk = Fk, Yk ^Tk = = 0 эквивалентны соотношениям (при произвольных фиксированных значениях x;r)

где fvk( ;r)g, fwk( ;r)g – функции из леммы 1.10. Соотношения (1.106) эквивалентны системе линейных уравнений

относительно коэффициентов fbjgj<k, fgjgj k. Определитель системы (1.107) совпадает с Dk(r), и при выполнении условия Dk(r) 6= 0 система (1.107) однозначно разрешима. Тем самым мы доказали существование функции Yk( ;r), обладающей свойством 1. Далее, дифференцируя соотношения Fk 1 ^Yk = Fk, Yk ^Tk = 0 и действуя, как при доказательстве леммы 1.10, приходим к соотношениям Fk 1 ^(Y0k U(x;r)Yk) = 0, (Y0k U(x;r)Yk) ^ Tk = 0, что эквивалентно

Y0k U(x;r)Yk = åbjvj; Y0k U(x;r)Yk = ågjwj:

j<k j k

Данные соотношения эквивалентны, в свою очередь, однородной системе линейных уравнений

åbjvj + ågjwj = 0; j<k j k

которая при выполнении условия Dk(r) 6= 0 имеет лишь тривиальное решение. Это означает, что Y0k U(x;r)Yk = 0, и тем самым доказано свойство 2.

Рассмотрим асимптотику Yk(x;r) при x ! 0. Из системы получаем представление

gjDk = ( 1)cj jFk ^wk ^:::wj 1 ^wj+1 ^ ^wnj; cj 2f0;1g:

Из асимптотик Fk (следствие 1.1) и wj (лемма 21.10) вытекает gj = = O((rx) k j ) при x ! 0, что даёт Yk(x;r) = O((rx) k ) при x ! 0.

Рассмотрим поведение Yk(x;r) при x ! ¥. Из (1.107) имеем представление

bjDk = cj jv1 ^:::vj 1 ^vj+1 ^ ^vk 1 ^vk ^Tkj; cj 2f 1;1g: (1.108) Прежде всего заметим, что с учетом асимптотик Tk (следствие 1.1) и vj (лемма 21.10) из (1.108) вытекает

bj(x;r) = O(exp(rx(Rk Rj))); f1 ^ ^fk 1 ^(bjvj) = o(exp(rxRk)):

81

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Подставляя полученные оценки в представление (1.106), получим асимптотику из пункта 3 теоремы.

Рассмотрим поведение Yk(x;r) при x ! ¥ более подробно. Используя асимптотики v1;v2;::: и Tk, можем получить представление

шений fCj(x;r)g; fEj(x;r)g невозмущенной системы и поэтому не зависит от x;r (см. параграф 1.1). Далее, имеем

82

jrj 1

При выполнении условия Re(rRk 1) < Re(rRk) имеем также Re(rRj) < < Re(rRk) для любого j < k. В этом случае правая часть (1.112) стре-

! ˆ

мится к 0 при x ¥. Таким образом, имеем dj1(x;r) = o(exp(rx(RkRj))) при x ! ¥. В силу (1.111), (1.110), (1.109) это означает, что

bj(x;r) = b0j (r) + o(exp(rx(Rk Rj))) при x ! ¥. Отсюда с учетом (1.106) и Re(rRj) < Re(rRk) при j < k следует асимптотика, указанная

в свойстве 4.

2

Всюду далее обозначение Yk( ; ), k = 2;n будет использоваться для обозначения функций из теоремы 1.8. Положим Y1(x;r) := F1(x;r). Отметим, что для Y1( ; ) справедливы асимптотики

Y1(x;r) = O((rx) 1 );x ! 0; Y1(x;r) = exp(rxR1)(f1 + o(1));x ! ¥:

Таким образом, свойствами 3, 4 обладают все функции Yk( ; ), k = 1;n. Следующий результат показывает, что эти свойства являются в определенном смысле характеристическими.

Лемма 1.11. Пусть q( ) 2 L1(0;¥). Зафиксируем произвольное k 2 2 f1;:::;ng. Пусть r 2 S таково, что Dk(r) 6= 0.

83

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Тогда любое решение y( ) системы (1.96), удовлетворяющее условиям

y(x) = O((rx) k ); x ! 0; y(x) = exp(rRkx)(fk + o(1)); x ! ¥;

совпадает с Yk( ;r).

Доказательство. Рассуждения аналогичны использованным в доказательстве леммы 1.10. Пусть k 2. Рассмотрим функции Y (x) :=

:= (y(x) Yk(x;r)) ^Tk(x;r) и Y+(x) := Fk 1(x;r) ^(y(x) Yk(x;r)). Для Y выполнено уравнение

Y 0 = (rB + x 1A)(n k+2)Y + q(n k+2)(x)Y

Рассуждая, как при доказательстве леммы 1.10, убеждаемся, что Y (x) является решением следующего однородного вольтерровского уравнения:

В силу асимптотик Y+ имеем Aa(x0) = o(1) при x0 ! ¥ для всех a2Ak. Таким образом, переходя к пределу при x0 ! ¥, получаем однородное вольтерровское уравнение

из которого с учетом асимптотики Y+(x) при x ! ¥ следует Y+ = 0. Таким образом, имеем Fk 1 ^ (y Yk) = 0, (y Yk) ^ Tk = 0. По-

скольку Fk 1 ^ Tk 6= 0, это означает y Yk = 0.

84

Глава 1. Решения типа Вейля

Рассмотрим случай k = 1. Определив Y+(x) := y(x) Y1(x;r), заметим, что Y+ удовлетворяет системе (1.96) и допускает оценку Y+(x) = = o(exp(rxR1)) при x ! ¥. Проводя рассуждения, аналогичные использованным ранее, приходим к уравнению

w¥

Y+(x) = G1(x;t;r)(q(t)Y+(t))dt;

x

из которого получаем Y+ = 0, т. e. y Y1 = 0.

2

Определение 1.1. Зафиксируем произвольные k 21;N и r 2S. Решение y(x), x 2(0;¥) системы (1.96) назовем k-м решением типа Вейля, если для него имеют место асимптотики

y(x) = O(x k );x ! 0; y(x) = exp(rRkx)(fk + o(1));x ! ¥:

Из теоремы 1.8 и леммы 1.11 вытекает, что для всех r 2 S, таких что Dk(r) 6= 0, k-е решение типа Вейля существует, единственно и сов-

что k-е решение типа Вейля Yk( ;r) аналитично по r2S nfr : Dk(r) = 0g

тальные тензоры Fk(x;r), k = 1;n допускают разложения вида Fk(x;r) = = Y1(x;r)^ ^Yk(x;r). Симметричный результат может быть получен для фундаментальных тензоров Tk(x;r). Более точно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.8’. Пусть q( ) 2L1(0;¥). Зафиксируем произвольное k 2

2 f1;:::;n 1g. Тогда для любого r 2 S n f0g, такого что Dk+1(r) 6= 0, существует и единственна функция Fk( ;r) : (0;¥) ! Cn со следующими свойствами:

1.Для каждого фиксированного x 2(0;¥) выполняются соотношения

Fk ^Fk = 0, Fk ^Tk = Tk+1.

2.F0k = U(x;r)Fk, т. e., Fk( ;r) является решением системы (1.96).

3.Справедливы асимптотики

Fk(x;r) = (rx) k (hk + o(1));x ! 0;

Fk(x;r) = O(exp(rxRk)); x ! ¥:

85

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Доказательство. Рассуждения в основном повторяют доказательство теоремы 1.8. Некоторые отличия возникают при получении асимптотик из пункта 3. Рассмотрим этот элемент доказательства более подробно. Определим (числовую) матрицу u := hg 1 I, где h = (h1;:::;hn), g = (g1;:::;gn). В силу леммы 1.10 u – строго нижнетреугольная матрица. Положим wˆ j(x;r) := (I +u)wj(x;r), j = 1;n.

Тогда wˆk ^ ^wˆn = wk ^ ^wn, k = 1;n и при каждом k имеет место асимптотика wˆk(x;r) = (rx) k (hk + o(1));x ! 0.

Для функции Fk(x;r) (при произвольных фиксированных значениях аргументов) справедливы представления

При j k из системы (1.114) получаем представления

bjDk+1 = jv1 ^ ^vj 1 ^wˆk ^vj+1 ^ ^vk ^Tk+1j;

откуда вытекает оценка

jbjDk+1j = jjv1 ^ ^vj 1 ^vj+1 ^ ^vk ^Tkjj = = O(exp(rx(Rk Rj))); x ! ¥:

Подставляя полученный результат во второе из представлений (1.113), получим требуемую оценки при x ! ¥.

Аналогично при j > k из (1.114) имеем

bjDk+1 = jFk ^wˆk+1 ^ ^wˆ j 1 ^wˆ j+1 ^ ^wˆnj:

Всилу асимптотик fwˆ j(x;r)g, Fk(x;r) при x ! 0 получаем

86

Глава 1. Решения типа Вейля

Используя представление для оператора Грина Gk(x;t;r) и рассуждая, как при доказательстве теоремы 1.8, получим (при x < jrj 1)

текает bj(x;r) = o(x k j ) при x ! 0. Подставляя полученный результат в первое представление (1.113), получаем требуемую асимптотику Fk(x;r) при x ! 0.

Определение 1.1’. Зафиксируем произвольные k 21;N и r 2S. Решение y(x), x 2(0;¥) системы (1.96) назовем k-м решением Вейля, если для него имеют место асимптотики

y(x) = x k (hk + o(1));x ! 0; y(x) = O(exp(rRkx));x ! ¥:

Следствие 1.2. Пусть q( ) 2 L1(0;¥). Тогда:

1. При r 2 S n f0g, таких что Dk+1(r) 6= 0, k-е решение Вейля суще-

ствует, единственно и совпадает с функцией Fk ( ;r).

2. При r2S nf0g, таких что Dk(r)Dk+1(r) 6= 0, справедливо равенство

Fk (x;r) = dk(r)Yk(x;r).

87

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Доказательство. Доказательство пункта 1 полностью аналогично доказательству леммы 1.11.

Далее, из асимптотик Yk(x;r) при x ! ¥ и оценки при x ! ¥ ре-

шения Вейля Fk (x;r) следует разложение

Fk (x;r) = åujk(r)Yj(x;r)

j k

(напомним, что fYj( ;r)g и fFj ( ;r)g являются решениями (1.96)). Аналогично, рассматривая асимптотики при x ! 0, получаем разложение

Таким образом, имеем F (x;r) = Y(x;r)u(r), Y(x;r) =F (x;r)l(r), где

l(r) – нижнетреугольная, а u(r) – верхнетреугольная матрица. Объ-

единяя данные утверждения, заключаем, что (Y(x;r)) 1 F (x;r) – не зависящая от x диагональная матрица.

2

Замечание 1.2. Решения типа Вейля и решения Вейля не зависят от выбора ветви аргумента, непрерывной в S n f0g, и соответственно, от выбора ветви степенной функции.

В случае r = 0 использованные выше рассуждения, строго говоря, неприменимы. Однако можно показать, что свойства решений типа Вейля в окрестности точки r = 0 также определяются поведением характеристических функций. Прежде всего заметим, что характеристические функции

непрерывно продолжимы в S.

Теорема 1.9. Пусть Dk(0) 6= 0, k = 1;n. Тогда для всех k = 1;n функ-

ции Yk (x;r) := r k Yk(x;r), как функции r, допускают непрерывное продолжение на множество вида S \ fr : jrj dg с некоторой положительной d.

Доказательство. Доказательство проведём индукцией по k. Преж-

де всего заметим, что функция Y1 (x;r) =F1 (x;r) обладает требуемым свойством в силу результатов парагр. 1.2.

88

Глава 1. Решения типа Вейля

В условиях теоремы имеем Dk(r) 6= 0, k = 1;n при r2S \fr : jrj

dg для некоторой d > 0. Пусть, далее, доказано, что функции Yj (x;r), j = 1;k 1 допускают непрерывное продолжение на множество fr 2

Fk (x;r) =Y1 (x;r) ^ ^ Yk (x;r);r2(S nf0g) \fr : jrj dg: (1.118)

Вто же время, согласно предположению индукции, имеем

Fk 1 (x;r) =Y1 (x;r) ^ ^ Yk 1 (x;r);r2S \fr : jrj dg:

Из (1.118) вытекает

Yj (x;r)^ Fk (x;r) = 0; j = 1;k 1;r2(S nf0g) \fr : jrj dg: (1.119)

Но, согласно предположению индукции, левая часть в (1.119) для каждого j = 1;k 1 непрерывна на множестве r 2 S \ fr : jrj dg. Следовательно,

Yj (x;r)^ Fk (x;r) = 0; j = 1;k 1;r2S \fr : jrj dg:

Используя лемму 1.10 с учетом замечания 1.1, из полученного равенства выводим факт существования единственной вектор-функции f (x;r), являющейся при каждом фиксированном x 2 (0;¥), r 2 S \ fr : jrj dg решением следующей однозначно разрешимой СЛАУ:

функций Fk 1 (x;r), Fk (x;r), Yj (x;r), j = 1;k 1, x 2 (0;¥), r 2

2 S \ fr : jrj dg следует, что f (x;r) также непрерывна при x 2 (0;¥),

r 2 S \ fr : jrj dg.

Далее, при r2(S nf0g) : jrj d имеем Fk 1 ^ Yk=Fk 1 ^f =Fk, т. е.

Fk 1 ^(Yk f ) = 0, откуда вытекает следующее представление:

åbj(x;r) Yj (x;r)^ T k (x;r) = f (x;r)^ T k (x;r);

j<k

89

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

что позволяет вычислить коэффициенты

Поскольку Dk(r) 6= 0 при jrj d и в силу предположения индукции правая часть в (1.121) допускает непрерывное продолжение на множество fr 2 S : jrj dg, из представления (1.121) можно сделать вывод, что и коэффициенты bj(x;r) также допускают непрерывное продолжение

на множество fr 2 S : jrj dg. Согласно представлению (1.120), то же

справедливо и для Yk (x;r).

2

В оставшейся части параграфа мы исследуем дальнейшие свойства построенных выше решений типа Вейля, в частности их поведение как функций спектрального параметра, а также в зависимости от потенциала. В связи с этим мы добавим потенциал в список аргументов, т. е. будем писать Yk(q;x;r) вместо Yk(x;r) и т. п.

Прежде всего отметим следующее свойство характеристических функций, непосредственно вытекающее из их определения и теоремы 1.6.

Утверждение 1.2. Справедливо представление

ˆ

Dk(q;r) = D0k + D(q;r);

ˆ 2

где D0k = Dk(0;r) = det(e1(rx);:::;ek 1(rx);ck(rx);:::;cn(rx)), Dk( ; )

2C(Xp;C0(S)) для любого p > 2. Более того, для любого луча l = fr =

2 g 2S nf g ˆ 2 X H

= zt;t [0;¥) , z 0 имеем Dk( ; ) C( p; (l)).

Одним из непосредственных следствий этого результата является следующее утверждение, касающееся свойств коэффициентов dk(q;r) из следствия 1.2.

Следствие 1.3.

lim dk(q;r) = 1:

r!¥;r2S dk(0;r)

Более того, для любого луча l = fr = zt;t 2[0;¥)g, z 2S nf0g и любого q( ) 2 G0p(l)

dk(q; ) 1 2H (l): dk(0; )

90