Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Для заданной матрицы-функции v( ) 2 V, удовлетворяющей условию 2 теоремы 2.7, определим:

v](r) := (d (r)) 1v(r)d+(r);r2S0;

где V ](x;r) := V ](v;x;r).

Лемма 2.13. Предположим, что v( ) 2 V удовлетворяет условию 2 теоремы 2.7. Тогда:

141

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где uˆk+1;k( ) 2C0(Sn) \ L2(Sn). Тогда

v]k+1;k(r) (v]0)k+1;k(r) = r k+1 k uˆk+1;k(r);

или в матричной форме

vˆ](r) = r uˆ(r)r ;

где матрица-функция uˆ( ) 2C0(Sn) \ L2(Sn) – P-диагональная, строго нижнетреугольная. Теперь из представления

Поскольку uˆ(r) строго нижнетреугольная, из Re k < Re k+1, k = 1;n 1 вытекает, что

(2.57)

где

uˆ](x;r) = W (rx)duˆ(r)d 1(W (rx)) 1:

Заметим, что в силу диагональности матриц W (rx) и d все ненулевые элементы uˆ](x;r) находятся в позициях (k + 1;k), k 2I и равны

Напомним, что для k 2I имеем, в частности, Re(rRk+1) = Re(rRk) (r2 2Sn), что с учетом Re k+1 Re k означает, что дробь

Wk+1(rx)

Wk(rx)

142

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Зафиксируем теперь произвольную v( ) 2 V0, удовлетворяющую условию 2 теоремы 2.7. Определим

Лемма 2.14. Для всех x 2(0;x0] и r 2CnS справедливо равенство j(x;r) = y(x;r)d(r) (здесь, как и ранее в леммах 2.11, 2.12, y(x;r) =

= y(v;x;r)).

Доказательство. 1. Определим матрицу-функцию:

Заметим, что в силу свойств функции d( ) при r 2S0 существуют предельные значения D (x;r) и справедливо равенство

Переписав D(x;r) в виде

D(x;r) = Y0(x;r)d(r)(d0(r)) 1 (Y0(x;r)) 1 ;

воспользовавшись диагональностью и асимптотикой матрицы-функции d( ), получим

Рассуждая как при доказательстве пункта 2 теоремы 2.5, из асимптотики (2.61) выводим

11

=r D( ) r D(r); r; 2CnS;

что эквивалентно представлению

143

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где

Fr(x) := r 1 x(D+(x) D (x)); x2S:

Здесь и далее в данном доказательстве для краткости в списке аргументов опущен произвольный x 2 (0;x0].

Повторяя дальнейшие рассуждения из доказательства пункта 2 теоремы 2.5, из полученных равенств получаем следующее (где f ( )2L2(S) произвольна):

+ +

C C f D D (r) = (C f )(r)D(r) C f D (r): (2.63)

2. Введем функцию

h(r) := D+(r) D (r) + (C p)(r)(D+(r) D (r)) + p(r)D+(r):

1.3 (см. следствия 1.2, 1.3). Будем доказывать достаточность. Пусть фиксирована произвольная матрица-функция v( )2V, удовлетворяющая условиям 1–3.

1. Рассмотрим функцию y(x;r) = y(v;x;r). По построению данная функция – аналитическая по r в каждом из секторов Sn.

144

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Согласно лемме 2.12, как функция переменной x y(x;r) почти всюду на (0;¥) удовлетворяет дифференциальному уравнению

где q(x) := q(v;x) и в силу условия 3 q( ) 2Xp, p > 2.

Далее, в силу леммы 2.11 при каждом r2CnS имеет место асимп-

Кроме того, поскольку из леммы 2.9 следует включение p(v; ; ) 2 2 BC([0;¥);L2(S)), мы имеем, в частности,

kp(v;x; )kL2(S) = O(1)

при x ! 0. Отсюда с учетом леммы 2.10 вытекает следующая оценка для k-го столбца yk(x;r):

Сопоставляя (2.65), (2.66), (2.67) c определением решений типа

Вейля, убеждаемся, что yk(x;r) = Yk(q;x;r) для всех x 2 (0;¥) и r 2

n

2 C n S таких, что Õ Dk(q;r) 6= 0.

k=1

2.Рассмотрим функцию j(x;r). В силу леммы 2.13 имеем p](0;r)

I, откуда следует асимптотика для k-го столбца

Далее, из леммы 2.14 имеем jk(x;r) = dk(r)yk(x;r), что дает продолжение j(x;r) на все x > 0, после которого будет выполняться оценка

jk(x;r) (для каждого k) удовлетворяют той же системе дифференци-

альных уравнений (2.65) (и с той же матрицей q( )), что и yk(x;r).

С учетом (2.68), (2.69) это означает, что jk(x;r) =Fk (q;x;r) для всех

n

x 2 (0;¥) и r 2 C n S таких, что Õ Dk(q;r) 6= 0.

k=1

3. Пусть n 2f1;:::;Ng произвольно. Для любого r 2Sn, такого что

n

Õ Dk(q;r) 6= 0, имеем

k=1

Dk(q;r) =

145

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

j=k

Заметим, что по принципу аналитического продолжения представление (2.70) справедливо для всех r 2 Sn. В силу свойств функций dj( ) из

(2.70) следует, что Dk(q;r) 6= 0 для всех r 2Sn, n = 1;N, k = 1;n. Таким образом, q( ) 2 G0p.

4. При п.в. r 2 S0 существуют предельные значения y (x;r), равные по построению (I +(C p(x; ))(r))Y0 (x;r). Уравнение A(x)p(x; ) =

= ˆ ( ; ), эквивалентное соотношению

V x

I + (C+p(x; ))(r) = (I + (C p(x; ))(r))V (x;r)

(для п.в. r 2 S0), влечет равенство y+(x;r) = y (x;r)v(r) для п.в. r 2 2S0. Но по доказанному в пункте 1 y(x;r) = Y(q;x;r). Таким образом, для п.в. r 2 S0 имеем

установлено выше в пункте 3) предельные значения Y (q;x;r) существуют для всех r 2S0 и представляют собой непрерывные функции от r 2S0. Следовательно, соотношение (2.71) справедливо для всех r 2S0, что означает v(r) = v(q;r).

2

Теорема 2.8 показывает, что в случае v( ) 2V00 выполнение наиболее трудно проверяемого условия 3 следует из выполнения условия 1.

Теорема 2.8. Пусть v( )2V00 такова, что выполнено условие 1 теоремы 2.7. Тогда q(v;x) непрерывна по x 2 [0;¥) и справедлива оценка q(v;x) = O(x m) при x ! ¥, где m 0 произвольно.

Доказательство. В условиях теоремы формула восстановления принимает вид (см. также доказательство леммы 2.12, пункт 1)

q(v;x) = 1 w [B;p(v;x;r)]dr:

2pi

S

Введем функции

P (x;r) := E (x;r)(I + wˆ (r))(E (x;r)) 1;

146

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

где матрицы-функции wˆ ( ) – те же, что в лемме 2.7 (функции P ( ; ) теперь строятся иначе!). Построим по этим функциям зависящий от параметра x 2 [0;¥) оператор B(x):

(B(x) f )(r) =

= (C+( f ( )P+ 1(x; )))(r)P+(x;r) (C ( f ( )P+ 1(x; )))(r)P (x;r):

Заметив, что

P 1(x;r) := E (x;r)(I wˆ (r))(E (x;r)) 1;

и повторяя вычисления, используемые при доказательстве леммы 2.7, получим для произвольной j 2 L2(S)

BAj = j+ C j C+(P 1 I) C (P+ 1 I) (P+ P )+

+(C j) C+(I P 1) +C (P+ 1 I) (P+ P )+

147

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

равномерно по (x;r) : jrxj > 1, т. е., в частности, по r 2 supp(v( )v0( )) при всех достаточно больших x. Отметим, что из полученного результата вытекает, в частности, оценка

= O(exp( tjrjx)); t > 0 (2.80)

равномерно по r2supp(v( ) v0( )) при всех достаточно больших x. Рассмотрим теперь подробнее функции E (x;r)wˆ (r)(E (x;r)) 1.

Пусть r 2 Sn, где n 2 f1;:::;ng, произвольно. Тогда справедливо представление

exp(rxR )wˆ (r)exp( rxR ) = å exp(rx(Rk Rk+1))(wˆ (r))k;k+1ek;k+1;

k2I

148

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

где e jk – матрица, единственный ненулевой элемент которой равен 1 и находится в позиции ( j;k). Пользуясь асимптотиками функций E (x;r), после очевидных преобразований приходим к выражению

E (x;r)wˆ (r)(E (x;r)) 1 =

в котором Mks некоторые постоянные матрицы и O( ) равномерно по r2supp(v( ) v0( )) при всех достаточно больших x. Полученное представление можно, в свою очередь, преобразовать к виду

E (x;r)wˆ (r)(E (x;r)) 1 =

где fks ( ) – некоторые бесконечно дифференцируемые матрицы-функ- ции.

при x ! ¥ (интеграл в левой части есть фактически преобразование Фурье – Лапласа от финитной бесконечно дифференцируемой функции), из (2.81) и (2.79) следует оценка

q0(x) = O x m :

Далее, пользуясь леммой 2.6 (см. доказательство леммы 2.7), получаем оценки

В силу представления (2.78) из (2.82) и (2.79) следует оценка

q2(x) = O x m :

149