Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

что означает E(2) = s lim E(R2) в L H0+(S);L2;loc(0;¥] . Таким образом,

R!¥

полностью доказаны утверждения пунктов 1, 2 для операторов E(R2).

(1)

Рассмотрим операторы ER . Используя оценку (2.24), получаем w

заметим, что матрицы-функции f(r) постоянны на каждом из Sn и, следовательно, справедливы представления

В силу P-верхнетреугольности матрицы f (r) для всех j;k, для которых функция (Rj Rk) f jk(r) не обращается тождественно в нуль, справедли-

во Rer(Rj Rk) 0, r2Sn. Требуемые утверждения для операторов E(n0;R) теперь следуют из классических теорем Планшереля и Седлецкого [54].

2

Лемма 2.5. Определим семейство линейных операторов:

121

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

R > 0. Тогда

1.Для каждого R > 0 FR 2L H0P(S);L2;loc(0;¥] .

2.Существует сильный предел

kF(R0) f ( )kL2(d;¥) Md 1=2kf kH0P(S); kF(0) f ( )kL2(d;¥) Md 1=2kf kH0P(S):

f ( ) 2H0 (S). Таким образом, справедливость утверждений леммы для операторов F(R0) доказана.

122

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Далее, воспользовавшись тем, что Y0(x;r) = E(x;r)g(r), где невырожденная верхнетреугольная матрица g(r) постоянна на каждом из лучей Sn, запишем:

NN

F(R1) f = å F(R1) fn = å ERgn = ERg;

n=1 n=1

где

(

fn(r) :=

f (r);r2Sn; 0;r2SnSn;

gn(r) := gn fn(r)gn 1; gn := g(r)jr2Sn ;

g(r) := gn(r);r2Sn:

Очевидно, что для любой f ( ) 2H0P(S) имеем g( ) 2H0+(S) и соответствие H0P(S) 3 f ( ) ! g( ) 2H0+(S) есть линейный непрерывный опера-

тор. Справедливость утверждений леммы для операторов F(R1) вытекает, следовательно, из леммы 2.4.

2

Теорема 2.6. Пусть v(r) = v(q;r), где q( )2G0p, vˆ(r) = v(r)v0 1(r)

, ˆ( ;r) = +( ; ;r) ( ; ;r). Тогда справедлива формула вос-

I P x P q x P q x

становления

Доказательство. 1. Пусть потенциал q 2G0p удовлетворяет условиям теоремы 1.7. Тогда в силу леммы 2.2 и пункта 1 теоремы 2.5 имеем

!

qR ! q в L2;loc(0;¥], но отсюда с учетом (2.25) вытекает q(x) = q (x) п.в. на (0;¥). Таким образом, в рассматриваемом случае формула восстановления доказана.

2.Для произвольного потенциала q( )2G0p рассмотрим сходящуюся

кq по норме Xp последовательность fqm( )gm 1 таких, что для каждого из qm( ) выполнены условия теоремы 1.7. Из утверждения 1.2 следует,

123

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

в C[0;¥).

Переходя в (2.26) к пределу при m ! ¥, получаем требуемую формулу восстановления (понимаемую в общем случае как равенство двух

элементов L2;loc(0;¥)).

2

2.3. Характеризация данных рассеяния потенциалов класса G0p

Определим следующие классы матриц функций, заданных на S: будем говорить, что матрица-функция v = v(r), r2S принадлежит классу V, если:

1.v( ) v0( ) 2H0P(S).

2.Нетривиальные диагональные блоки матрицы v(r) расположены в строках с номерами k и k + 1, где k 2I , и имеют вид

торого q( ) 2 G0 , то необходимо v( ) 2 V. Мы будем рассматривать V как метрическое пространство с метрикой dist(v1;v2) := kv1 v2kH0P(S), корректно определенной в силу равенства v1 v2 = (v1 v0) (v2 v0).

Для заданной матрицы-функции v = v(r), r 2S определим

124

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

бых v 2 V, x 2 [0;¥) A(v;x) 2 L(L2(S)); более того, при каждом фиксированном v 2 V имеем A(v; ) 2 BC ([0;¥);L(L2(S))), причем A( ; ) 2

2C (V;BC ([0;¥);L(L2(S)))).

Далее определим (при тех значениях параметров, при которых пра-

q(v; ) := F(vˆ( );p(v; ; )) + Fvˆ( ):

Следующая теорема содержит основной результат данного параграфа.

Теорема 2.7. Пусть v( ) 2 V. Чтобы v( ) = v(q; ) для некоторого q( ) 2G0p, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1.для каждого x 2[0;¥) оператор A(v;x) обратим.

2.для каждого k = 1;n найдется функция dk(r), r 2CnS, аналитическая в CnS и такая, что:

–для каждого n = 1;N существует непрерывное продолжение функции r k dk(r) в Sn.

= vkk(r)d+k (r);

–при r ! ¥, r2CnS справедлива асимптотика d(r) = d0(r)(I +

диагональная матрица, такая что F0 (x;r) = Y0(x;r)d0(r). 3. q(v; ) 2Xp.

Доказательству теоремы 2.7 предпошлём ряд лемм, некоторые из которых могут представлять также самостоятельный интерес.

Для заданной матрицы-функции v( ) 2 V определим строго верхнетреугольные P-диагональные матрицы-функции w ( ) следующим образом: ненулевые диагональные блоки матриц w (r) соответствуют

125

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

нетривиальным диагональным блокам матрицы v(r), при этом диагональному блоку

!

vkk 0

1vk+1;k+1

матрицы v(r) соответствует диагональный блок вида

!

0vkk

00

матрицы w (r) и блок вида

!

0vk+1;k+1

00

матрицы w+(r). Отметим, что по построению справедливо равенство

всех n = 1;N, r2Sn. Тогда для любой f ( ) 2C00(S) справедлива оценка

при l ! ¥, где целое неотрицательное число m произвольно.

Доказательство. Утверждение леммы близко к утверждению леммы 8.1 из [19]. Тем не менее, поскольку формулировка заключения содержит ряд существенных отличий, мы приведем независимое доказательство.

1. Рассмотрим предварительно аналогичное утверждение для случая, когда в качестве контура интегрирования выступает вещественная ось:

Для произвольной бесконечно дифференцируемой финитной функции f ( ) определим функцию fl( ) по формуле

fl(r) := exp( ilr) f (r); r2R;

126

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

зависящую от параметра l 2 R. Покажем, что

при l ! ¥, где m – произвольное неотрицательное целое число. Действительно, для любой функции f ( ) 2L2(R) имеем

ˆ ˆ

(C0 f )(x) = q (x) f (x);

где fˆ( ) обозначает (только в рамках настоящего рассуждения) преобразование Фурье

fˆ(x) = 1 w¥ exp( ixr)dx f (x):

2pi ¥

Поскольку

fˆl(x) = fˆ(x+ l);

имеем

(C0 fl)(x) = q (x) fˆ(x+ l):

Для бесконечно дифференцируемых финитных f ( ) преобразование Фурье fˆ( ) принадлежит пространству Шварца быстро убывающих функций, откуда следуют оценки

при l ! ¥, где целое неотрицательное m произвольно.

2. Перейдем к доказательству утверждения леммы. Записав интересующее нас выражение в виде

рассмотрим по отдельности каждую из функций Fn(l;r). Пусть луч Sn представлен в виде Sn = fr = wnt;t 2 (0;¥)g с произвольной фиксированной wn 6= 0. Пользуясь гладкостью и финитностью функции f ( ) (с учетом 0 2= supp f ), выполнив необходимое количество раз интегрирование по частям, получим оценку

w dz

z r exp( ilanz) f (z) ! 0

Sn

127

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

kFn(l; )kL¥(SnSn) = O(jlj m):

Наконец, при r 2Sn применяем результат пункта 1, заметив, что

и в условиях леммы f˜n(l; ) – бесконечно дифференцируемая финитная функция.

2

Лемма 2.7. Определим матрицы-функции P = P (v;x;r), r 2 S0 по формулам:

P := f exp(rxR )(I + wˆ )exp( rxR )(f ) 1;

где wˆ := w w0 , w , w0 – матрицы из представлений (2.27) и аналогичного представления для v0( ): v0(r) = (I w0 (r))P(r)(I + w0+(r)).

Введем оператор B f := C+( f P+ 1)P+ C ( f P+ 1)P . Предположим, что v( ) 2 V00. Тогда

lim kB(v;x)A(v;x) Idk = 0;

x!¥

где k k – операторная норма в L(L2(S)).

Доказательство. Зафиксируем произвольную v( )2V00. Далее обо-

значим V (x;r) := V (v;x;r), B(x) := B(v;x), A(x) := A(v;x).

1. Пусть f (x;r) = (A(x)j)(r) = (C+j)(r) (C j)(r)V (x;r), где j( ) 2 L2(S) – произвольна.

Для подсчёта B(x) f (x; ) прежде всего заметим, что справедливо

128

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

что

P 1(x;r) = f (r)exp(rxR )(I wˆ (r))exp( rxR )(f (r)) 1; (2.30) откуда с учетом финитности функций wˆ ( ) следует, в частности, что

веденным ранее (например, при доказательстве пункта 1 теоремы 2.5), выводим для 2 C n S, 6= r равенство

(здесь и далее произвольный фиксированный x 0 также для краткости опущен). Переходя к пределу при ! Sn, 2Sn+1, получаем

129

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

2. В силу P-диагональности матрицы v(r) справедлива оценка

kP+(x;r) P (x;r)k (kw+kL¥(S) + kw kL¥(S));

равномерная по (x;r) 2 [0;¥) S0. Таким образом,

и гладкости функций P 1(x; ) I вытекает равенство

˜+( ;r) = + +( 1( ; ) ) (r) +( 1( ; ) ) (r); r2S0:

P x I C P+ x I C P x I

Вычитая из данного соотношения очевидное тождество (эквивалентное формуле Сохоцкого)

P+ 1(x;r) I = C+(P+ 1(x; ) I) (r) C (P+ 1(x; ) I) (r);

приходим к соотношению

где k 2I (т. е. Re(rRk 1) < Re(rRk ) = Re(rRk+1) и Rk = Rk+1). Таким

образом, число r(Rk Rk+1) чисто мнимое и, как нетрудно заметить,

Im(r(R R + )) > 0. Переписав rx(R R + ) в виде rx(R R + ) =

k k 1 k k 1 k k 1

= ianlr, где an = i(Rk Rk+1), l = x, применяем лемму 2.6, что возможно, поскольку anr = Im(r(Rk Rk+1)) > 0 для всех r 2Sn.

130