Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 1. Решения типа Вейля

–F 2L (Xp;BC([0;¥);L2(l))):

Ипусть g = g(x;r) – скалярная функция из класса PC(l).

Положим F ( f ;x;r) := g(x;r)F( f ;x;r). Тогда для любого фиксированного f 2Xp F ( f ; ; ) 2BC([0;¥);L2(l)); более того,

F 2L(Xp;BC([0;¥);L2(l))):

Утверждение остается справедливым в том случае, если одна из рассматриваемых функций F = F( f ;x;r), g = g(x;r) принимает значения в некотором конечномерном пространстве.

Лемма 1.3. I. Рассмотрим следующее интегральное преобразова-

ние:

wx

F( f ;x;r) = f (t)exp((l1(x t) + l2t)r)dt;

0

где f 2 Xp, p > 2, l2;l1 таковы, что Re(l1r) 0, Re(l2r) 0 для всех r 2S, причём в случае l1 = l2 для всех r 2S nf0g выполнено строгое неравенство Re(l1r) < 0. Тогда:

1. Для любой фиксированной f 2Xp имеем

F( f ; ; ) 2BC [0;¥) S :

2. sup jF( f ;x;r)j ! 0 при r ! ¥, r2S.

x2[0;¥)

3. Для любого луча вида l = [0;z ¥), z 2S nf0g имеем

F( f ; ; ) 2BC([0;¥);L2(l)):

4. Для любого луча l = [0;z ¥), z 2 S n f0g отображение Xp 3 f ! ! F( f ; ; ) 2 BC([0;¥);L2(l) \C0(l)) есть линейный непрерывный оператор.

II. Для интегрального преобразования

w¥

F+( f ;x;r) = f (t)exp(l(t x)r)dt;

x

где f 2Xp, p 2, Re(lr) 0 для всех r 2S, справедливы те же утверждения, что для F( ; ; ) в пункте I.

III. Пусть

w¥

F0( f ;r) = f (t)exp(lrt)dt;

jr 1j

31

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где f 2 Xp, p > 2, Re(lr) 0 для всех r 2 S. Тогда F0( f ; ) 2C0(S), для любого луча вида l = [0;z ¥), z 2 S n f0g F0( f ; ) 2 L2(l), более того,

F0 2 L(Xp;L2(l)).

Доказательство. I. 1. Утверждение очевидным образом следует из того, что f 2 L(0;¥), jexp((l1(x t) + l2t)r)j 1.

2.Утверждение очевидно в том случае, когда f – гладкая функция

скомпактным носителем. Пусть теперь f 2Xp. Для произвольного e > 0

найдется гладкая функция f˜ с компактным носителем, такая, что kff˜kL(0;¥) < e=2. Тогда sup jF( f˜;x;r) F( f ;x;r)j < e=2 для всех r 2S.

x2[0;¥)

Далее для выбранной таким образом f˜ по данному e выберем такое R(e), что sup jF( f˜;x;r)j < e=2 при всех r 2 S : jrj > R(e). Тогда при

x2[0;¥)

всех r 2S : jrj > R(e) получим sup jF( f ;x;r)j < e.

x2[0;¥)

3. и 4. Для любого луча l имеем lkr = jrj(isk ck), где ck;sk – некоторые вещественные числа, зависящие только от луча l, причём ck 0. Дальнейшее рассмотрение различно в следующих случаях: c1 6= 6= c2 (причём, не нарушая общности, можно положить c2 > c1), c1 = c2,

s1 6= s2 и l1 = l2.

1. Случай c2 > c1. Имеем

Mjrj 1+1=p;

32

Глава 1. Решения типа Вейля

где p0 = p=(p 1). Символ M означает (возможно, различные) константы, не зависящие от x. Из полученной оценки, в свою очередь, следует

x2[0;¥)

Оценки (1.27), (1.28) позволяют применить лемму 1.1, что доказывает пункт 3. Пользуясь снова оценкой (1.27), получаем утверждение пункта 4.

2. Случай c1 = c2, s2 > s1. Имеем

F( f ;x;r) = exp( c1jrjx)F0( f ;x;r);

wx

F0( f ;x;r) = f (t)exp(ijrj(s1(x t) + s2t))dt = F ( fx;sjrj);

0

где F обозначает классическое преобразование Фурье и fx(x) := q+((x t1x)(t2x x)) f (x t1x);

tk := sk=s, s = s2 s1. Заметим, что отображение x ! fx действует

непрерывно из [0;¥) в L2( ¥;¥), более того, kfxkL2( ¥;¥) kf kL2(0;¥). Справедливость доказываемых утверждений теперь следует из теоре-

мы Планшереля и леммы 1.2 с учетом c1 0.

33

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

что даёт

kF( f ;x; )kL2(l) M(kf kLp(0;1) + kf kL1(1;¥)); kF( f ;x; )kL2(l+(R)) Mkf kLp(0;¥)R1=p 1=2:

Применяя лемму 1.1, получим требуемое утверждение. II. Доказательство аналогично доказательству части I.

III. Включение F0( f ; ) 2C0(S) очевидно. Справедливость остальных утверждений удобнее установить для функции

jrw 1j

F0 ( f ;r) = f (t)exp(lrt)dt:

0

w¥

˜ ( ; ) := q ( 1)j ( )j :

F0 f r rt f t dt

0

Поскольку

w¥

q (rt 1)dr = t 1;

0

Лемма 1.4. Пусть для каждого фиксированного набора аргументов x;t;r G(x;t;r) – линейный оператор, действующий из L (^mCn) в ^mCn. Предположим, что операторнозначная функция G( ; ; ) обладает следующими свойствами:

1)G(x;xt;r) непрерывна по [0;¥) [0;1] S;

2)kG(x;xt;r)k M, где константа M не зависит от (x;t;r) 2 [0;¥)

[0;1] S.

Тогда для каждой из функций

wx

F (Q;x;r) = q (jrxj 1) G(x;t;r)Q(t)dt;

0

34

Глава 1. Решения типа Вейля

jrwj 1

F+(Q;x;r) = q+(jrxj 1) G(x;t;r)Q(t)dt

0

при любом p > 2 справедливы следующие утверждения:

1.Для любого фиксированного Q 2Xpm F (Q; ; ) 2PC0(S).

2.Для любого фиксированного Q 2 Xpm F (Q; ; ) 2 BC([0;¥);L2(l)), где l – луч вида l = fr = zt;t 2[0;¥)g с произвольным фиксированным z 2S nf0g.

3.F 2L(Xpm;BC([0;¥);L2(l))), т. e. отображение

Xpm 3Q ! F (Q; ; ) 2BC([0;¥);L2(l))

есть линейный непрерывный оператор. Доказательство. 1. Для любого x > 0 справедлива оценка

(1.29) где M – некоторая абсолютная константа. Далее в доказательстве мы будем использовать тот же символ M для обозначения всех (возможно, различных) абсолютных констант.

Заметим далее, что F (Q;0;r) 0. При x > 0 представление для F (Q;x;r) перепишем в виде

w1

F (Q;x;r) = q (jrxj 1) G(x;xt;r)Q(xt)xdt;

0

откуда с учётом оценки (1.29) следует непрерывность F (Q; ; ) на множестве ([0;¥) S)\fjrjx 1g в случае непрерывной функции Q( ). Для произвольной Q2Xpm рассмотрим последовательность непрерывных Qn, сходящуюся к Q в Xpm. Из линейности F (Q;x;r) по Q( ) и оценки (1.29) следует, что последовательность F (Qn;x;r) сходится к F (Q;x;r) рав-

номерно на множестве ([0;¥) S) \fjrjx 1g. Таким образом, мы показали, что F (Q; ; ) 2 PC(S).

Далее, из оценки (1.29) вытекает

lim sup kF (Q;x;r)k = 0:

r!¥ x2(0;¥)

Итак, мы получили F (Q; ; ) 2 PC0(S). Далее, поскольку при x > 0

w¥

q (jrxj 1)djrj = x 1;

0

35

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

в силу (1.29) и неравенства Коши – Буняковского справедлива оценка

wx

kF (Q;x; )kL2(l) Mx 1=2 kQ(t)kdt;

0

что даёт для произвольного Q 2 Xpm

Используя неравенства Коши – Буняковского и Гёльдера, можно из (1.29) получить оценку

wx

kF (Q;x; )kL2(l+(R)) Mq (Rx 1)(1 Rx)1=2x 1=2 kQ(t)kdt

0

Mq (Rx 1)(1 Rx)1=2x1=2 1=pkQkLp(0;¥);

= MR1=p 1=2 sup (1 t)1=2t1=2 1=p: t2[0;1]

Поскольку p > 2, из полученной оценки вытекает

lim sup kF (Q;x; )kL2(l+(R)) = 0:

R!¥ x2[0;¥)

В силу (1.30) и леммы 1.1 получаем F (Q; ; ) 2BC([0;¥);L2(l)). Наконец, из оценки (1.30) следует F 2L(Xpm;BC([0;¥);L2(l))).

2. Рассуждая аналогично предыдущему, получаем оценку

36

Глава 1. Решения типа Вейля

:;

что даёт оценку

где p0 = p=(p 1), R+ = R+(R;x) := maxfR;x 1g. Поскольку p > 2 > p0, интегралы в полученных оценках сходятся и мы приходим к оценке

kF+(Q;x; )kL2(l+(R)) MR1+=p 1=2kQkLp(0;¥):

Заметим, что sup (R+(R;x))1=p 1=2 = R1=p 1=2 ! 0 при R ! ¥. Таким

x2[0;¥)

образом, из полученной оценки вытекает

lim sup kF+(Q;x; )kL2(l+(R)) = 0:

R!¥ x2[0;¥)

Применяя лемму 1.1, заключаем, что F+(Q; ; )2BC([0;¥);L2(l)). Наконец, из оценки (1.32) следует F+ 2L(Xpm;BC([0;¥);L2(l))).

2

37

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Лемма 1.5. Пусть для каждого фиксированного набора аргументов x;t;r G(x;t;r) – линейный оператор, действующий из L (^mCn) в ^mCn. Предположим, что операторнозначная функция G( ; ; ) обладает следующими свойствами:

1)G(x;t;r) непрерывна по f(x;t;r) : r2S;jrj 1 t x < ¥g;

2)kG(x;t;r)k M, где константа M не зависит от (x;t;r).

Тогда для функции

при любом p > 2 справедливы те же утверждения, что для функций F ( ; ; ) в лемме 1.4.

Доказательство. Поскольку при jrxj 1, t 2[jrj 1;x] имеем jrtj 1,

Таким образом, F(Q;x;r) ограничена при (x;r) 2 [0;¥) S. Покажем,

рассмотреть случай, соответствующий верхнему знаку. Продолжение функции F(Q;x;r) на

ность точек того же множества, сходящаяся к (x0;r0). Полагая Q( ) фиксированной, запишем:

w¥

F(Q;xn;rn) = fn(t)dt;

0

где

fn(t) = q+(jrntj 1)q (t xn)G(xn;t;rn)Q(t); n = 0;¥:

38

Глава 1. Решения типа Вейля

Из свойств непрерывности и ограниченности функции G( ; ; ) следует, что fn(t) ! f0(t) при n ! ¥ для п.в. t 2 (0;¥) и справедлива оценка kfn(t)k MkQ(t)k. Согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости, имеем

w¥ w¥

lim fn(t)dt = f0(t)dt;

n!¥

00

что означает F(Q;xn;rn) ! F(Q;x0;r0). Таким образом, мы показали, что F(Q; ; ) 2 PC(S).

Рассуждая как при доказательстве предыдущей леммы, получим

Как и ранее, одним и тем же символом M мы будем обозначать все (возможно, различные) абсолютные константы. Из (1.33) следует, в частности,

lim sup kF(Q;x;r)k = 0:

39

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Более того, рассуждая аналогично, получим для произвольного R >

> 0

kF(Q;x; )kL2(l+(R))

0R

wx

= M t 1(R+(R;t)) 1=2kQ(t)kdt;

0

где R+(R;t) = maxfR;t 1g. Таким образом, имеем

t 1=2kQ(t)k2L1(0;¥), из полученной оценки можно сделать вывод, что

BC([0;¥), L2(l))).

2

Лемма 1.6. Пусть для каждого фиксированного набора аргументов x;t;r G(x;t;r) – линейный оператор, действующий из L (^mCn) в ^mCn. Предположим, что операторнозначная функция G( ; ; ) обладает следующими свойствами:

40