Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 1. Решения типа Вейля

Следствие 1.1. При каждом фиксированном r 2 S n f0g и x ! 0

При каждом фиксированном r 2 S n f0g и x ! ¥ справедливы асимп-

Следующая теорема содержит более детальную информацию о поведении фундаментальных тензоров, в частности о характере их убывания при больших r. При этом, помимо поведения фундаментальных тензоров как функций переменных (x;r), для наших дальнейших рассмотрений важно также их поведение в зависимости от потенциала q( ). По данной причине всюду далее мы включаем потенциал в список аргументов, т. е. пишем Tk(q;x;r) вместо Tk(x;r) и Fk(q;x;r) вместо Fk(x;r).

Теорема 1.6. Пусть p > 2. Тогда:

I. Для функции Tk(q;x;r), q 2Xp;x 2(0;¥);r 2S nf0g справедливо представление

Доказательство. I. Рассматривая искомое представление как замену переменных в уравнении (1.52), перепишем его в операторном виде

61

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Для простоты обозначений мы будем использовать один и тот же символ K (q) для обозначения операторов, действующих по формуле (1.75) как на функции, определенные на [0;¥) S, так и на функции, определенные на [0;¥) l, где l – некоторый луч fr = zt;t 2[0;¥)g, z 2S nf0g.

I.1. Убедимся, что оператор K (q) непрерывно действует в про-

странстве BC [0;¥);C0 S .

w1

(K (q) f )(x;r) = Gn k+1(x;xt;r) q(n k+1)(xt) f (xt;r) xdt

0

и непрерывностью функции Gn k+1(x;xt;r), несложно доказать непрерывность функции (K (q) f )(x;r) при (x;r) 2[0;¥) S. Далее, из ограниченности функции Gn k+1(x;xt;r) следует оценка

С учетом непрерывности функции (K (q) f )(x;r) по совокупности переменных это означает, что (K (q) f )( ; ) 2C([0;¥);C0(S)). Наконец, из оценки (1.77) очевидным образом следует неравенство

62

Глава 1. Решения типа Вейля

с абсолютной константой M. Из неравенства (1.78) можно за-

ключить, что функция (K (q) f )( ; ) 2 BC([0;¥);C0(S)), а K (q) 2

2 L BC([0;¥);C0(S)) . Более того, поскольку соответствие q ! K (q)

в BC([0;¥);C0(S)) для любого q 2 Xp, более того, обратный оператор

где z 2 S n f0g. Для произвольной f 2 BC([0;¥);H (l)) (и следовательно, в частности, f 2 BC([0;¥);C0(l))) очевидным образом повторяются рассуждения из пункта I. 1. В частности, можно утверждать, что (K (q) f )(x;r) непрерывна по (x;r) 2 [0;¥) l. Кроме того, при r 2 2 l справедливы неравенства (1.76), (1.77), из которых вытекает, что

(K (q) f )( ; ) 2 BC([0;¥);C0(l)).

где R > 0 произвольно в силу леммы 1.1, следует (K (q) f )(x; ) 2 L2(l) при всех x 2[0;¥), (K (q) f )( ; ) 2BC ([0;¥);L2(l)). Более того, из (1.77), (1.81) следует

k(K (q) f )(x;r)k Mkf kBC([0;¥);C0(l)) kqkL1(0;¥);

63

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

k(K (q) f )(x; )kL2(l) Mkf kBC([0;¥);L2(l)) kqkL1(0;¥);

что позволяет утверждать, что K (q)2L (BC([0;¥);H (l))) и непрерывно зависит от q 2 Xp.

I. 4. Далее, из оценки (1.81) индукцией по r = 0;1;::: могут быть получены оценки

из которых вместе с оценками (1.79) (остающимися в силе для любых r 2l) следуют оценки вида (1.80), где, в отличие от пункта I. 2, норма в левой части понимается как норма в L (BC([0;¥);H (l))). Повторяя

Поскольку функция Gk(x;t;r) непрерывна по совокупности переменных

T

64

Глава 1. Решения типа Вейля

где kf k = kf kBC([0;¥);C0(S)). Далее для выбранного (конечного) T найдется R такое, что

Mkf (x;r)kwT kq(t)kdt < e

2

0

< e=2. Таким образом, (1.84) доказано. С учетом непрерывности функции (K +(q) f )(x;r) по совокупности переменных x 2 [0;¥), r 2 S это

доказывает, что (K +(q) f )( ; )2BC [0;¥);C0 S . Наконец, из неравенства (1.83) следует оценка

инепрерывно зависит от q 2 Xp.

II. 2. Из (1.83) индукцией по r = 0;1;::: выводим следующую оценку

где z 2 S n f0g. Для произвольной f 2 BC([0;¥);H (l)) очевидным образом повторяются рассуждения из пункта II. 1. В частности, можно утверждать, что (K (q) f )( ; )2BC ([0;¥);C0(l)). Следовательно, при r2 2l справедливо неравенство (1.83), из которого вытекает оценка

65

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

при всех x 2[0;¥), (K (q) f )( ; )2BC ([0;¥);L2(l)). Более того, из оценки (1.87) и неравенства

2Xp.

II.4. Далее, из (1.88) индукцией по r = 0;1;::: могут быть по-

лучены оценки

из которых вместе с (1.85) (для r 2 l) следуют оценки вида (1.86), где норма в левой части понимается как норма в L (BC([0;¥);H (l))). Повторяя рассуждения из пункта II. 2, заключаем, что

ˆ 2 (X ; ([0;¥);H ( ))):

Fk C p BC l

2

Теорема 1.7. Пусть q( ) – абсолютно непрерывная внедиагональная матрица-функция, причём q(0) = 0. Обозначим через qˆo( ) внедиагональную матрицу-функцию такую, что [B;qˆo(x)] = q(x) при всех x > 0 (здесь [ ; ] обозначает коммутатор матриц). Определим диагональную матрицу-функцию d(x) = diag(d1(x);:::;dn(x)), где

w¥

dk(x) := t 1 ([qˆo(t);A])kk dt;

x

и положим qˆ(x) := qˆo(x) + d(x).

Предположим, что все функции qi j( );q0i j( ) и q˜i j( ), где q˜(x) := := qˆ0(x) + x 1[qˆ(x);A], принадлежат Xp := L1(0;¥) \Lp(0;¥), p > 2.

66

Глава 1. Решения типа Вейля

Тогда для каждого фиксированного x > 0 при r ! ¥, r 2 S0 справедливы асимптотики:

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1.6,

ˆ ( ;r) = ( + K (r)) 1 ˆ 1( ;r), где K (r) – оператор, действующий по

Tk Id Tk

формуле

67

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

(1.89)

Поскольку по построению матрицы q˜ имеем q˜j j = 0, j = 1;n, из (1.89) и теоремы 1.2 следует (в частности) оценка

где kK r(r)k обозначает норму оператора, действующего в L¥(0;¥). Отсюда, как и ранее, выводится оценка k(Id K (r)) 1k = O(1), равномерная по r 2 S n f0g. Таким образом, с учетом (1.90) приходим к следу-

Лемма 1.8. В условиях теоремы 1.7 справедлива оценка kK1(r)k =

= O r 1 .

Доказательство леммы 1.8. Представим оператор в виде суммы

68

В силу ограниченности Gn k+1(x;t;r) имеем

jrwj 1

kK1(1) f k Mkf k kq(t)kdt Mjrj 1kf k kq( )kL¥(0;¥):

0

Рассуждая аналогично с учетом того, что (K0(1) f )(x) 6= 0 только если jrxj 1, получаем оценку для kK0(1) f k.

Рассмотрим оператор K2(1). Используя представление для Gn k+1(x;t;r) в терминах функций fEj( ; )g, асимптотики

Ea(x;r) = exp(rxRa)(fa + O (rx) 1) ;

равномерные в области jrxj 1, и учитывая, что Re(r(x t)(Ra R k))

0 при всех 0 t x, r 2 S nf0g, a 2 An k+1, приходим к следующей оценке: