Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 1. Решения типа Вейля

Доказательство. Пусть k 2 f2;:::;n 1g (случаи k = 1, k = n требуют незначительных изменений). Имеем

Dk = jFk 1 ^Tkj = r k jFk 1^ Fk ^Tk+1j =

(при k = 1 и k = n следует положить D1 = 1, Dn+1 = 1 соответственно). Используя утверждение 1.2, выводим из (1.122)

при r ! ¥. Аналогично получается и второе утверждение следствия.

2

˜ : 1

Всюду далее будем обозначать Y(q;x;r) = Y(q;x;r)(W (rx)) .

Теорема 1.10. Пусть p > 2. Тогда для элементов матрицы

: ˜ 1 ˜

b(q;x;r) = (Y0(x;r)) Y(q;x;r)

справедливы представления

где dj;k – символ Кронекера, djk;dk 2C(Xp;BC([0;¥);C0(S)) и для любого луча l = fr = zt;t 2[0;¥)g, z2S nf0g ограничения djkjl ; dkjl принадлежат

C(Xp;BC([0;¥);H (l))).

Доказательство. Определение матрицы b(q;x;r) эквивалентно представлениям

91

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

mˆ i j;uˆi 2C(Xp;BC([0;¥);C0(S)) и для любого луча l = fr = zt;t 2[0;¥)g,

z 2S nf0g ограничения mˆ i jjl ; uˆijl 2C(Xp;BC([0;¥);H (l))).

Поскольку скалярные функции с такими свойствами, как у mˆ i j, uˆi образуют алгебру относительно поточечного умножения, применяя к системе (1.123) правило Крамера и учитывая, что

m0i j = di; j( 1)i k+1D0k; i = 1;k 1;

m0i j = di; j( 1)i kjfj; i = k;n;

u0i = di;kjfj

(di; j – символ Кронекера), получаем требуемые представления.

2

92

Глава 1. Решения типа Вейля

Полученный результат допускает естественное уточнение в том случае, если характеристические функции не обращаются в нуль на некотором (заданном) множестве.

Определение 1.2. Пусть L – некоторое (вообще говоря, неограниченное) подмножество сектора S. Будем говорить, что q 2Xp принадле-

n

жит классу G0p(L), если Õ Dk(r) 6= 0 для всех r 2L.

k=1

Лемма 1.12. В представлении

ˆ

Yk(q;x;r) = Y0k(x;r) +Wk(rx)Yk(q;x;r)

для любого отрезка [0;T ];0 < T < ¥ и любого замкнутого множества

Для доказательства леммы нам понадобится следующее обобщение результата о непрерывной зависимости решений невырожденных СЛАУ от параметров.

Лемма 1.13. Рассмотрим СЛАУ Ax = b, где A – N n, n N – матрица, b 2 CN . Пусть A = A(p;t), b = b(p;t), p 2 P, t 2 T , где P;T – метрические пространства, причём T – компакт. Пусть СЛАУ зависит от параметров непрерывно в том смысле, что A(p; ) 2C(T ), b(p; ) 2C(T ) для любого фиксированного p2P и A2C(P;C(T )), b2C(P;C(T )). Кроме того предположим, что СЛАУ однозначно разрешима при любых p 2P, t 2T . Обозначим её решение x(p;t). Тогда x 2C(P;C(T )).

Доказательство. 1. Случай n = N очевиден. Далее полагаем N > n. 2. Зафиксируем произвольное p 2 P. Пусть an(p;t)(2CN ) обозначает n-й столбец матрицы A(p;t). Из однозначной разрешимости СЛАУ следует, что a1(p ;t)^ ^an(p ;t) 6= 0 для всех t. Отсюда для каждого t0 найдутся векторы a(n0+)1;:::;a(N0) d0 > 0, такие что a1(p ;t)^ ^an(p ;t)^

тор x˜j(t) := (x1(p ;t);:::;xn(p ;t);0;:::;0)T 2CN . Тогда при каждом t 2Tj

˜( j)( ) есть единственное решение СЛАУ ˜( j)( ) ( j)( ) = ( ; ). В силу x t A t x t b p t

пункта 1 имеем x˜( j) 2C(Tj), j = 1;m, следовательно, x(p ; ) 2C(T ).

93

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

3.Пусть pk ! p в P. Покажем, что для каждого j = 1;m x(pk;t) !

!x(p ;t) равномерно по t 2 Tj.

имеем x˜( j) 2C(Pj;C(Tj)), что даёт требуемую равномерную сходимость x(pk;t) ! x(p ;t).

2

Доказательство леммы 1.12. 1. Прежде всего заметим, что для

стве имеют место разложения Fk = Y1 ^ ^Yk, Tk = Fk ^ ^Fn, k =

=1;n (обоснование этого утверждения дословно повторяет доказательство теоремы 1.9). В силу указанной разложимости тензоров Fk, Tk, k =

=1;n условие Dk(r) 6= 0, r2L гарантирует однозначную разрешимость

В силу теоремы 1.10 имеем (в тех же обозначениях)

dk(q0; ; ) 2BC([0;¥);C0(S)):

Следовательно, найдется R > 0, такое что jdk(q0;x;r)j 1=2 при всех x 2 [0;T ], r 2 L : jrj > R. Тогда в силу

sup sup jdk(qm;x;r) dk(q0;x;r)j ! 0;

x2[0;T ] r2S;jrj>R

94

Глава 1. Решения типа Вейля

sup sup jdjk(qm;x;r) djk(q0;x;r)j ! 0

x2[0;T ] r2S;jrj>R

(что следует из теоремы 1.10), получаем

sup sup jbjk(qm;x;r) bjk(q0;x;r)j ! 0

x2[0;T ] r2S;jrj>R

при m ! ¥. С учетом непрерывности и равномерной ограниченности

˜

Y0(x;r) отсюда заключаем:

z 2 S n f0g и любого отрезка [0;T ];0 < T < ¥.

Доказательство. Подставляя в СЛАУ

Fk 1 ^Yk = Fk; Yk ^Tk = 0

фундаментальные тензоры в виде (здесь и далее в рамках данного доказательства W обозначает W (rx))

надлежат C(Xp;BC([0;¥);H (l))).

95

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

j=1

Подстановка (1.129) в систему (1.128) приводит к следующим представлениям для коэффициентов разложения:

буемое утверждение.

2

Дальнейшее уточнение полученных результатов также возможно при условии дополнительной гладкости и убывания потенциала при x ! 0.

Обозначим через P(S) множество функций, представимых в виде

F(r) = å f (l)exp(lr);

l2L

где множество L (своё для каждой функции F 2 P(S)) таково, что Re(lr) < 0 для всех l 2 L, r 2 S. Заметим, что множество скалярных функций из P(S) образует алгебру относительно поточечных арифметических операций.

Теорема 1.12. Пусть q( ) удовлетворяет условиям теоремы 1.7. Тогда при каждом фиксированном x > 0 и r ! ¥, r2S справедлива

асимптотика

r(Y(q;x;r) Y0(x;r))exp( rxR) = fГ(x) + qˆ(x)f + E(x;r) + o(1);

96

Глава 1. Решения типа Вейля

где Г(x) – некоторая диагональная матрица-функция, E(x; ) 2P(S).

Доказательство. В силу теоремы 1.7 справедливы асимптотики

символом E( ; ) обозначаются различные функции, такие что E(x; ) 2

2 P(S).

Дальнейшие рассмотрения проводятся при (произвольном) фиксированном x, который для краткости обозначений не будет указываться

j=1

Коэффициенты в системе (1.133) определяются следующими соотношениями:

97

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

получим асимптотики для коэффициентов СЛАУ (1.133) при r ! ¥

u1i = ( 1)k ijfjfka dikjfjf(k 1);a (k 1); a = a (k 1) [fig; i = k;n;

(1.139)

где dik – символ Кронекера,

u1i = ( 1)k i jfjTk0;a (k)gk;b;a (k); b = a0 nk;a = a (k 1) ni; i = 1;k 1:

(1.140) Из СЛАУ (1.133) следует предварительная оценка gik(r) = O r 1 при r ! ¥. Подставляя в (1.133) gik(r) виде gik(r) = r 1gˆik(r), где gˆik(r) =

= O(1), получим при i = k;n

mii(r)gˆik(r) = u1i + E(r) åmi j(r)gˆ jk(r) + o(1);

j6=i

что с учетом (1.135), (1.138) приводит к асимптотическим формулам

u1

gˆik(r) = g1ik + E(r) + o(1); g1ik = i0 ; (1.141)

mii

98

Глава 1. Решения типа Вейля

i = k;n.

Аналогично для i < k имеем

В силу (1.136) данное соотношение преобразуется к виду

m0iigˆik(r) = u1i + E(r) åmi j(r)gˆ jk(r) + o(1):

j k

Пользуясь снова (1.136) и полученными выше асимптотиками (1.141) для i = k;n, убеждаемся, что формулы (1.141) верны и для i < k.

Далее, для i = k;n из (1.141), (1.139), (1.135) получаем

Напомним, что (произвольный) линейный оператор V , действующий в Cn, может быть продолжен на внешнюю алгебру ^Cn таким образом, что равенство

V (h1 ^ ^hm) = (V h1) ^ ^(V hm)

справедливо для любого набора векторов h1;:::;hm, m n; при этом для любого h2^nCn имеем V h = jV jh (где jV j обозначает определитель матрицы оператора V в стандартном базисе fe1;:::;eng). В последующих выкладках f обозначает соответствующее расширение оператора, порожденного матрицей перестановок f. Кроме того, будем учитывать, что

n n матрицы V справедливо равенство (проверяемое непосредственным вычислением)

99