Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

и по доказанному выше правая часть полученной оценки стремится

кнулю при x ! ¥.

4.Рассмотрим функцию V1(x;r). Прежде всего, записав ее в виде

убеждаемся, что в условиях леммы функция V1(x; ) финитна, причём suppV1(x; ) fr0 jrj r1g, где r0, r1 не зависят от x.

Преобразуем функцию следующим образом:

где g (r) – P-диагональная, gˆ (r) – строго P-верхнетреугольная матрица; нетривиальные диагональные блоки матрицы g (r) имеют вид

!

1 g ; +

k k 1 ; (2.39)

01

где k 2I ; матрицы g (r), gˆ (r) постоянны на каждом луче Sn и, следовательно, ограничены, в частности, на S0. Заметим, что

(g (r) + gˆ (r)) 1 = (g (r)) 1 + g˜ (r);

131

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где g˜ (r) – строго P- верхнетреугольная матрица, ограниченная по r 2 2 S0, и из (2.38) следует

брать таким, чтобы он включал оба сектора Sn, Sn+1, можно считать, что E+(x;r) = E (x;r)P(r) для любого r 2 Sn при произвольном n. Тогда из (2.38), (2.40) вытекает

v0 = (Y0 ) 1Y+0 = ((g ) 1 + g˜ )P(g+ + gˆ+) = (g ) 1Pg+ + v˜0;

где v˜0 – строго P-верхнетреугольная матрица. С другой стороны, известно, что матрица v0 P-диагональна и представима в виде (2.27). С учетом блочной структуры (2.39) матриц g (r) это означает, что g = = I + w0 . Из (2.38), (2.40) получим представление для V (x;r) в виде

V (x;r) = E (x;r)(I +w0 (r)+gˆ(r))v(r)((I +w0+(r)) 1 +g˜+(r))(E+(x;r)) 1;

которое с учетом (2.27) и вытекающих из блочной структуры соответствующих матриц равенств (I + w+)(I + w0+) 1 = I + wˆ+, (I + w0 )(Iw ) = (I w0 ) 1(I w ) = I wˆ может быть преобразовано следующим образом:

Из строгой P-верхнетреугольности и ограниченности Г(r) вытекает равномерная по (x;r) 2 [0;¥) S : jrxj > 1 оценка

ставление

E (x;r)(I wˆ (r))P(r)(I + wˆ+(r))(E+(x;r)) 1 =

= f (r)exp(rxR )(I wˆ (r))P(r)(I + wˆ+(r))exp( rxR+)(f+(r)) 1+

132

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Наконец, из определения матриц P (x;r) и равенства (2.30) непосредственным вычислением получаем

P 1(x;r)P+(x;r) =

= f (r)exp(rxR )(I wˆ (r))P(r)(I + wˆ+(r))exp( rxR+)(f+(r)) 1:

(2.44)

Объединяя (2.41), (2.42), (2.43) и (2.44), приходим к оценке

с константой M, не зависящей от x;r. В силу (2.37) аналогичная оценка справедлива и для функции V1(x;r). Поскольку, как отмечалось выше, V1(x;r) = 0 при всех r2S0 : jrj < r0, где r0 не зависит от x, из полученной оценки следует, что kV1(x; )kL¥(S) ! 0 при x ! ¥. Поскольку

MkV1(x; )kL¥(S)kP (x; )kL¥(S)kjkL2(S)

сучетом представления (2.35) и доказанного в пунктах 2, 3, полученный результат завершает доказательство леммы.

2

Обозначим через V0 множество таких v 2 V, что оператор A(v;x) обратим в L2(S) для всех x 2 [0;¥) (иначе говоря, таких v 2 V, для которых выполнено условие 1 теоремы 2.6).

для некоторого T > 0.

Пусть fvmg – последовательность из V00 (не обязательно лежащая в V0) такая, что vm ! v в метрике V, не нарушая общности, можно

133

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

BC([0;¥);L(L2(S))). Далее из конструкции оператора B( ; ) вытекает

оценка kBm(x)k M для всех m и всех x 2 [0;¥).

Рассмотрим функцию j(x; ) = (A(x)) 1 f ( ), где f ( ) 2L2(S) – произвольная. Иначе говоря, мы предполагаем, что j(x; ) является решением уравнения

A(x)j(x) = f :

Действуя на данное уравнение оператором Bm(x), преобразуем его к ви-

2 [0;¥), что возможно, поскольку Am( ) ! A( ) в BC([0;¥);L(L2(S)))

и kBm(x)k M для всех m и всех x 2 [0;¥).

Далее, при выбранном m в силу (2.47) найдется T > 0 такое, что

sup kHm(x)k < 1=4:

x2[T;¥)

Тогда из (2.46) при всех x T будет следовать оценка

kj(x)k 2kBm(x)kkf k 2Mkf k;

из которой в силу произвольности f 2L2(S) вытекает (2.45).

2. Убедимся теперь, что (A( ; )) 1 2 C (V0;BC ([0;¥);L(L2(S)))). Пусть fvmg – произвольная последовательность из V0, сходящаяся к v 2 2V0. Тогда в обозначениях, аналогичных предыдущему пункту, имеем Am(x) ! A(x) в L(L2(S)) равномерно по x 2 [0;¥), при этом по доказанному выше имеем

sup k(A(x)) 1k =: M < ¥:

x2[0;¥)

134

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Тогда при всех достаточно больших k ˆ ( )k e := 1= для любых m Am x M 2

Из полученного результата непосредственно вытекает следующее утверждение.

Лемма 2.9. p( ; ; ) 2C(V0;BC([0;¥);L2(S))).

Определим

y(v;x;r) := (I + (Cp(v;x; ))(r))Y0(x;r); x > 0;r2CnS:

В дальнейшем мы будем часто использовать следующий очевидный факт, который для удобства сформулируем явно.

Лемма 2.10. Для произвольного фиксированного r2CnS и любой функции f ( ) 2 L2(S) справедлива оценка

k(C f )(r)k M(r)kf kL2(S);

где константа M(r) зависит от r, но не от функции f ( ) 2L2(S).

Доказательство. Применяя неравенство Коши – Буняковского к интегралу

получаем

k(C f )(r)k kf kL2(S)kkrkL2(S);

где функция kr( ):

принадлежит L2(S) для любого фиксированного r 2CnS.

2

Лемма 2.11. При каждом фиксированном r 2 C n S справедлива асимптотика

y(v;x;r) = (f + o(1))exp(rxR); x ! ¥:

135

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Доказательство. 1. Зафиксируем произвольную v 2V0 \V00. Обозначим y(x;r) := y(v;x;r), A(x) := A(v;x), B(x) := B(v;x) (оператор из леммы 2.7), p(x;r) := p(v;x;r). Имеем

где в силу леммы 2.7 kH(x)k = o(1) при x ! ¥, откуда

и равномерной ограниченности по ( ; ) функций ˆ ( ; ), 1( ; )) x V x P+ x

это влечет

136

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

Рассмотрим функцию j0(x;r). Повторяя рассуждения из доказательства леммы 2.7, запишем (в тех же обозначениях):

j0(x;r) = j00(x;r) +V1(x;r);

где

j00(x;r) = (P+ 1(x;r) P 1(x;r)) = P+(x;r) P (x;r) =

= f+ exp(rxR+)wˆ+(r)exp( rxR+)(f+) 1

f exp(rxR )wˆ (r)exp( rxR )(f ) 1:

При доказательстве леммы 2.7 было показано, что V1(x;r) допускает оценку

V1(x;r) = O((rx) 1); jrxj > 1;

причем в случае v 2 V00 suppV1(x; ) fr : r0 jrj r1g с r0, r1, не зависящими от x.

Для функции V1(x;r), таким образом, имеем kV1(x; )kL2(S) = O(x 1); x ! ¥;

откуда в силу леммы 2.10 следует

(Cj0(x; ))(r) = (Cj00(x; ))(r) + o(1); x ! ¥:

В силу строгой верхнетреугольности и P-диагональности матриц wˆ (r), ненулевые элементы (Cj00(x;r))jk матрицы Cj00(x;r) могут быть представлены в виде

где все ljkn вещественны и все функции f jkn( ) – финитные бесконечно гладкие. Таким образом, ненулевые элементы матрицы j00(x;r) (где, напомним, r 2C n S фиксировано) могут быть записаны как линейные комбинации, где каждое слагаемое представляет собой преобразования Фурье гладкой финитной функции. Следовательно, (Cj00(x))(r) ! 0 при x ! ¥. Теперь, объединяя данный результат с (2.48), (2.49), (2.50), получаем (Cp(x; ))(r) ! 0 при x ! ¥, что эквивалентно требуемой асимптотике для y(x;r), x ! ¥.

2. Зафиксируем теперь произвольную v 2V0. Пусть fvmg – последовательность из V00, сходящаяся к v. Поскольку при этом A(vm; ) ! ! A(v; ) в пространстве BC([0;¥);L(L2(S))) и, согласно лемме 2.8,

137

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

A 1(v; ) 2BC([0;¥);L(L2(S))), начиная с некоторого номера m все операторы A(vm;x) обратимы для всех x2[0;¥). Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что все vm 2 V0.

Обозначим pm(x; ) := p(vm;x; ), p(x; ) := p(v;x; ). В силу леммы 2.9

Согласно лемме 2.10, отсюда следует (Cpm(x))(r) ! (Cp(x))(r) при m ! ¥ для любого фиксированного r 2 C n S равномерно по x 2 [0;¥). В соответствии с пунктом 1 (Cpm(x))(r) ! 0 при x ! ¥. Но тогда и (Cp(x))(r) ! 0 при x ! ¥.

2

Лемма 2.12. Зафиксируем произвольные v( )2V0, r2CnS, обозначим y(x) := y(v;x;r). Тогда y( ) удовлетворяет уравнению y0 = (x 1A+

+ rB + q(x))y, где q(x) = q(v;x):

Доказательство. 1. Предположим сначала, что v 2V0 \V00. Дифференцируя по x уравнение

A(x)p(x; )( ) := (C+p(x; ))( ) (C p(x; ))( )V (x; ) = V (x; ) I

(2.51)

и учитывая, что

V 0(x; ) = [U0(x; );V (x; )]; U0(x; ) := [B;V (x; )] + x 1[A;V (x; )];

приходим к соотношению

C+p0 (C p)V (C p)[U0;V ] = [U0;V ]:

В то же время из исходного уравнения (2.51) следует

[U0;C+p] [U0;(C p)V ] = [U0;V ]:

Таким образом, справедливо равенство

C+p0 [U0;C+p] + [U0;(C p)V ] (C p0)V (C p)[U0;V ] = 0;

Рассмотрим выражение [U0(x; );(Cp(x; ))( )]. Пусть сначала 2

138

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

(первое из приведенных равенств справедливо, поскольку B не зависит от ). Учитывая, что в случае финитных vˆ( ) имеем

(поскольку все интегралы фактически берутся по компактному контуру), приходим к соотношению

Принимая во внимание, что матрица A не зависит от , из полученного равенства выводим

[U0(x; );(Cp(x; ))( )] = (C[U0(x; );p(x; )])( ) q(x); 2CnS: (2.53)

Переходя здесь к соответствующим предельным значениям, получаем

[U0(x; );(C p(x; ))( )] = C [U0(x; );p(x; )] ( ) q(x); 2S0: (2.54)

Пользуясь (2.54) и соотношением (также вытекающим из (2.51))

q(x)(V (x; ) I) = C+(q(x)p(x; ))( ) C (q(x)p(x; ))( )V (x; );

преобразуем (2.52) к виду A(x)pˆ(x; ) = 0, где

pˆ(x; ) = p0(x; ) [U0(x; );p(x; )] q(x)p(x; ):

В силу обратимости оператора A(x) отсюда вытекает pˆ(x; ) = 0, т. е.

Воспользуемся (2.55) для подсчета y0(x):

y0 = (Cp0)Y0 + (I +Cp)Y00 = q(Cp)Y0 + (C[U0;p])Y0 + (I +Cp)U0Y0:

Используя снова соотношение (2.53), получаем

y0 = q(Cp)Y0 + [U0;Cp]Y0 + qY0 + (I +Cp)U0Y0 = (q +U0)y;

что доказывает утверждение леммы в рассматриваемом случае.

2. Пусть теперь v( ) 2 V0 и fvm( )g – последовательность матрицфункций из V00, сходящаяся к v( ) в метрике V. Как отмечалось выше

139

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

при доказательстве леммы 2.12, не нарушая общности, можно считать,

что vm( ) 2 V0. Обозначим pm(x; ) := p(vm;x; ), qm(x) := q(vm;x). Согласно лемме 2.9, при m ! ¥ pm ! p в BC([0;¥);L2(S)). Отсюда в силу

леммы 2.3 следует F(vˆm;pm) ! F(vˆ;p) в C[0;¥). Аналогично в силу леммы 2.5 из сходимости vm ! v в V вытекает сходимость Fvˆm ! Fvˆ

в L2;loc(0;¥]. Таким образом, имеем qm ! q в L2;loc(0;¥).

Из сходимости pm ! p в пространстве BC([0;¥);L2(S)) в силу леммы 2.10 следует сходимость

ym(x) = (I +Cpm(x; ))(r)Y0(x;r) ! (I +Cp(x; ))(r)Y0(x;r) = y(x)

равномерно по x 2[x1;x2] для любых 0 < x1 < x2 < ¥. Зафиксируем произвольный отрезок [x1;x2].

По доказанному в предыдущем пункте ym( ) удовлетворяют урав-

Из уравнений (2.56) с учетом сказанного выше следует фундаменталь-

ность в L2(x1;x2) последовательности y0m( ). Пусть функция y (x), x 2 2(x1;x2) такова, что y0m ! y в L2(x1;x2). Но тогда для любого x2(x1;x2) имеем

wx wx

dty0m(t) ! dty (t);

x1 x1

в то же время

wx

dty0m(t) = ym(x) ym(x1) ! y(x) y(x1)

x1

в силу установленной выше равномерной сходимости ym(x) y(x), x2 2 [x1;x2]. Таким образом, для любого x 2 (x1;x2)

wx

dty (t) = y(x) y(x1);

x1

откуда следует, что y( ) равномерно непрерывна и y0 = y . Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можем считать, что y0m(x) ! ! y0(x), qm(x) ! q(x) п.в. на [x1;x2]. Переходя теперь к пределу при m ! ¥ в уравнении (2.56), получаем требуемое.

2

140