Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

767 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Глава 1. Решения типа Вейля

FFk

t r

^Ea0

t r

F a (k)

^ a0

exp rt !k a

( ; )

( R R ) :

2 Ak

Из асимптотик

ˆ +

( R

))

следует

E (t;

) с учетом Re(

ограниченность функции kHk1a(t;r)k при jrtj > 1, что дает возможность

ˆ+	˜+	( ; )
применить лемму 1.7 к функции hk1a	( ; ). Применяя к функции hk1a	( ; )

(с учетом (Q(t)fa (k)) ^ fa (k) 0) лемму 1.3.III и далее используя лемму 1.2 (c учетом вытекающей из оценки (1.17) ограниченности функции

(

)

W k(

1 E

(x;

)), приходим к выводу, что

(Q; ; )

wk1a

+ 2

2 PC0(Sk

) и для любого луча l = fr = zt;t 2 [0;¥)g, z 2 S n f0g+ wk1a 2

2L Xp ;BC([0;¥);L2(l))

. Очевидно, то же справедливо и для wk1( ; ; ).

Наконец, для wk+0(Q;x;r) используем представления:

wk+0(Q;x;r) = å wk+0a(Q;x;r);

a2Ak

(jrxj

wk0a(Q;x;r) := caq

1)hk0a(Q;x;r)Ea(x;r);

hk+0a(Q;x;r) :=

Q t Fk

t r

^Ea0

t r exp r t x !k Ra

˜0

( )

( ; )

(

)( R

) dt:

Представим hk0a

(Q;x;r) в виде суммы

ˆ+

hk0a(Q;x;r) = hk0a(Q;x;r) + hk0a(Q;x;r);

где

hk0a Q x r

Q t

a (k)

^ a0

exp r t x !k a dt

˜+

( ; ; ) =

( )f

(

)( R R )

;

hˆk+0a(Q;x;r) = w¥(rt) 1Hˆk+0a(x;t;r)Q(t)dt;

ˆ +

;r)

) по

Hk0a(x;t

– функционал, действующий на элемент F 2 L(^ C

формуле

(x;t;r)F :=

Hk0a

exp r t x

^ a0

a (k)

^ a0

˜0

:= t

(t; )

(

)( R

R ) :

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Применяя	леммы			1.3.II, 1.6 и 1.2,		приходим к выводу, что	все
wk+0a(Q; ; ) 2 PC0(				) и	для любого луча l = fr = zt;t 2 [0;¥)g,		z 2
			S
	( ; ;	).
и для wk+0
2 S n f0g wk+0a		2 L Xpk;BC([0;¥);L2(l))				. Очевидно, то же справедливо
					2

В случае классического преобразования Лапласа и многих его обобщений дополнительная гладкость функции-оригинала позволяет получить асимптотическое разложение по убывающим степеням спектрального параметра. Аналогичный эффект имеет место и в случае преобразований (1.19), (1.20), если помимо требований гладкости налагать дополнительные требования на скорость убывания функции-оригинала при x ! 0 и x ! ¥. Ниже мы доказали простейший (но важный для дальнейших рассмотрений) результат в данном направлении.

Теорема 1.4. I. Пусть Q( ) абсолютно непрерывна, Q(0) = 0. Пусть

ˆ ( ) – оператор, действующий в ^n k+1Cn, внедиагональный в базисе

Qo x

fe g и такой, что [ (n k+1); ˆ ( )] = ( ) для всех 2 [0;¥). a a2An k+1 B Qo x Q x x

Определим диагональный оператор D(x): D(x)ea = da(x)ea,

da(x) := w¥ t 1aa(t)dt; aa(t) := jea ^ea0 j	hQˆo(t);A(n k+1)

iea ^ea0

x
ˆ	ˆ
и положим Q(x) := Qo(x) + D(x).
Пусть Q˜( ) 2 Xpn k+1, где Q˜		(x) := Qˆ0(x) + x 1			Qˆ	(x);A(n k+1)	. Тогда
справедливо представление			(Qˆ
rTk(Q;x;r) = d0kTk0(x;r)+a2Aån k+1 ca			(Qˆ	(x)Tk0(x;r)) ^Ea0 (x;r) Ea(x;r)+

+ k

где

d0k := sa (k)

(rx)w˜ k(Q;x;r);

D(0)ha (k)	^h(a (k))0		;

a (k) = (k;:::;n); w˜ k(Q; ; ) 2 BC([0;¥);C0(S)). Более того, для любого фиксированного x > 0 при r ! ¥, r 2S справедлива асимптотика

Tk(Q;x;r) =

T 0

(x;

a;b2An k+1

T 0

) ˆ

( R

(

( )f

) :

0k k

kb exp

rxRb Qab x

exp rx k

Глава 1. Решения типа Вейля

Здесь fTk0ag – коэффициенты в разложении (1.16),

ca := fa

Qˆab(x) := ca (Qˆ(x)fb) ^fa0

;

0 j

II. Пусть Q( )

абсолютно непрерывна,

Q(0) = 0

. Пусть

–

Qo(x)

оператор,

действующий в

, внедиагональный в базисе

feaga2Ak

(k)

и такой, что [B

;Qo(x)] = Q(x) для всех x 2

[0;¥). Определим ди-

агональный оператор D(x): D(x)ea = da(x)ea,

da(x) := w¥ t 1aa(t)dt; aa(t) := jea ^ea0 j	hQˆo(t);A(k)

iea ^ea0

ˆ	ˆ
и положим Q(x) :=	Qo(x) + D(x).
Пусть Q˜( ) 2Xpk, где Q˜(x) := Qˆ		0(x) + x 1	Qˆ(x);A(k)
ливо представление

rFk(Q;x;r) =

. Тогда справед-

a2Ak

( ˆ( ) 0( ; ))

( ; )

( ; ) + W k

( x) ˜ +(Q;x; );

Q x Fk x r

Ea0

x r

Ea x r

r wk

å ca

(S))

(Q; ; )2BC([0;¥);C0

где

. Более того, для любого фиксированно-

го x > 0 при r ! ¥, r 2

справедлива асимптотика

(Q;x;

a2Ak

( x R

å Qaa

(k) x

exp rx!k

exp r !k

= (1;:::;k).и выше, Qab(x) := ca

(Q(x)fb) ^fa0

, ca := jfa ^ fa0 j, a (k) =

Здесь, как

T 0

(t;r),

Доказательство. I. Из уравнения (1.15) для

функций

Ea0 (t;r) следует тождество

r(Q(t)Tk0(t;r)) ^Ea0 (t;r) =

(Qˆ(t)Tk0(t;r)) ^Ea0 (t;r) (Q˜(t)Tk0(t;r)) ^Ea0 (t;r);

где

a 2 An k+1.

Интегрируя данное тождество, домножая на Ea(x;r) и суммируя

по всем a 2 An k+1, приходим к соотношению

t=x

rw Gn k+1(x;t;r) Q(t)Tk0

(t;r) dt = Gn k+1(x;t;r) Qˆ(t)Tk0(t;r)

t=x

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

wx Gn

k+1(x;t;r)

Q˜

(t)Tk0(t;r) dt:

(1.48)

В условиях теоремы выражения

Gn k+1(x;t;r) Q(t)Tk0(t;r) ;

Gn k+1(x;t;r)

;r)

Q(t)Tk

суммируемы по t на (0;x) (при

фиксированных произвольных

x;r

Найдем

limG

(x;t;

)

(t;

)

= 0:

Q(t)T

Заметим, что

t!0

n k+1

(0) = 0, следовательно,

limG

(x;t;

)

(t;

)

= limG

(x;t;

)

D(t)T

;

)

n k+1

Q(t)T

n k+1

t!0

Далее, при a 2 An k+1

справедлива оценка

;

k D(t)Tk0(t;r) ^Ca0 (t;r) k M t!k

a = a

(k). Заметив, что

правая часть которой стремится к нулю при

Ca (k)(x;r) = Tk0(x;r), получаем

limG

(x;t;

)

(t;

)

= lim

D(t)T

(t;

)

(t;

)

(x;

) =

t!0

n k+1

t!0

(a (k))0

D(0)ha (k) ^h(a (k))0 Tk0

(x;r) = d0kTk0(x;r):

Переходя в (1.48) к пределу при x0 ! 0, получим

rTk(Q;x;r) = d0kTk0(x;r) + Gn k+1(x;x;r) Qˆ(x)Tk0(x;r) Tk(Q˜;x;r):

Для завершения доказательства достаточно воспользоваться представ-

лениями (1.25), а также (1.16) и асимптотиками функций Ek(x;r).

II. Рассуждая, как при доказательстве пункта I, приходим к тож-

деству

Gk(x;t;r) Q(t)Fk0(t;r) dt =

t=x

= Gk(x;t;r)

Qˆ(t)Fk0(t;r)

w Gk(x;t;r)

Q˜(t)Fk0(t;r)

dt:

(1.49)

t=x0

Глава 1. Решения типа Вейля

В отличие от случая, рассмотренного в пункте I, здесь имеем lim ˆ( ) =

Q t

t!¥

= 0. Таким образом, переходя в (1.49) к пределу при x0 ! ¥, получим

rF ( ; ;r) = ( ; ;r) ˆ( ) 0( ;r) F ( ˜; ;r): k Q x Gk x x Q x Fk x k Q x

Для завершения доказательства достаточно воспользоваться представлениями (1.25) и асимптотиками функций Ek(x;r).

1.2. Фундаментальные тензоры
Для общей системы вида
y0 = (rB + x 1A + q(x))y	(1.50)

с некоторой (произвольной) n n матрицей-функцией q( ) будут построены и исследованы фундаментальные тензоры Tk(x;r), Fk(x;r). Эти объекты являются аналогами введённых в предыдущем параграфе для случая q = 0 фундаментальных тензоров Tk0(x;r), Fk0(x;r). В частности, аналогично невозмущенному случаю фундаментальные тензоры Tk(x;r), Fk(x;r) являются решениями вспомогательной системы вида

y0 = (rB + x 1A + q(x))(m)y

(1.51)

при m = n k + 1 и m = k соответственно. Более того, их можно определить как решения (1.51), удовлетворяющие условиям:

Tk(x;r) Tk0(x;r) = o x

;x ! 0;

Fk x

exp rx!k

! ¥

( ;

)

( ;

) =

(

) ;x

Однако по ряду причин построение фундаментальных тензоров в общем случае существенно отличается от случая q = 0. В частности, в общем случае у системы (1.50) не существует решений, являющихся непосредственными аналогами решений fCk(x;r)g. Решения с заданной асимптотикой при x ! 0 или x ! ¥ могут быть построены с помощью интегральных уравнений Фредгольма, но вопросы их существования, аналитических и асимптотических свойств нетривиальны. Более удобным оказывается построение фундаментальных тензоров непосредственно из интегральных уравнений без использования каких-либо решений системы (1.50). Напротив, все необходимые для наших дальнейших рассуждений решения системы (1.50) будут построены позднее при помощи фундаментальных тензоров.

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Рассмотрим интегральные уравнения:

x	Gn k+1(x;t;r) q(n k+1)(t)Y (t) dt + Tk0(x;r);
Y (x) = w0	Gn k+1(x;t;r) q(n k+1)(t)Y (t) dt + Tk0(x;r);		(1.52)
	¥	Gk(x;t;r) q(k)(t)Y (t) dt + Fk0(x;r):
Y (x) = wx		Gk(x;t;r) q(k)(t)Y (t) dt + Fk0(x;r):	(1.53)

Теорема 1.5. Пусть q( ) 2 L1(0;¥). Тогда:

I. При каждом r 2 S n f0g уравнение (1.52) имеет единственное решение Tk(x;r) в классе функций Y : (0;¥) ! ^n k+1Cn таких, что

W k( x)		1 Y (x)	2	L	( ;	¥	);
r			2		¥ 0	¥

уравнение (1.53) имеет единственное решение Fk(x;r) в классе функций Y : (0;¥) ! ^kCn, таких, что

W k( x)

( )

( ;

Y x

2L¥ 0

Нормы функций

W k( x)

(

; ),

W k(

1 F (x;

) в

( ; )

ограничены в

Tk x r

! r

L¥ 0 ¥

от r.

совокупности некоторой константой

, не зависящей

Функции Tk(x;r), Fk(x;r) – аналитические по r 2S.

II. Функции

r k Tk(x;r),

r !k Fk(x;r) допускают непрерывные

продолжения на множество (0;¥)

. Предельные значения

tk(x) := lim r

k Tk(x;r); fk(x)

:= lim r !k Fk(x;r)

r!0

являются единственными

классах функций y : x k y(x) 2 L¥(0;¥),

y : x k y(x) 2L¥(0;¥) соответственно с решениями уравнений:

где T

Gn k+1(x;t;0)

(t)y(t) dt+ T k0 (x;0);

(1.54)

y(x) = w0

k+1)

Gk(x;t;0)

(t)y(t) dt+ Fk0 (x;0);

(1.55)

y(x) = wx

(k)

(x;r) := r

(x;r).

(x;r), Fk0 (x;r) := r

Глава 1. Решения типа Вейля

Доказательство. I. Применяя к уравнению (1.52) метод последовательных приближений, рассмотрим ряд

åTkr(x;r);

r=0

Gn k+1(x;t;r) q(n k+1)(t)Tkr(t;r) dt:

Tkr+1(x;r) := w0

(1.56)

Из результатов парагр. 1.1 известно, что

kGn k+1(x;t;r)k M

W k(rt)

W k(

при t

откуда вытекает

x, где M – некоторая абсолютная

константа,

оценка

kq(t)kkf k

Gn k+1(x;t;r)

q(n k+1)(t) f

(1.57)

W k(rt)

W k(

k+1

константой

где

абсолютной

–

произвольный

элемент из

C . С

учетом

полученной

парагр. 1.1

оценки

kTk (x;r)k

(с абсолютной

) из

неравенства

(1.57)

W k(

константой M

M1r

по индукции

можно получить оценку

kTk x r k M0

w k

( ;

)

(

q(t)

(1.58)

Из (1.58) следуют сходимость

ряда (1.56)

и, следовательно, однознач-

ная разрешимость уравнения (1.52) в указанном пространстве, а также

оценка

exp

1 w k k

kTk x r k M0

( ; )

W k( x)

q(t) dt ;

в которой константы

M0;M1

ни от

, ни от

q( )

не зависят

Аналогично справедливы оценки

kFk

r k M0

;

)

W k(

!k(r )

W x kGk(x;t;r)k M !

W k(rt)

;

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Gk(x;t;r) q(k)(t) f

kq(t)kkf k

W k(rt)

W k(

при t x. По индукции

получаем оценку

kFk

x r k

w k k

( ; )

M1r

q(t) dt

;

из которой следуют сходимость

ряда

Fkr+1(x;r) :=

r=0

åFkr(x;r);

w Gk(x;t;r) q(k)(t)Fkr(t;r) dt;

(1.59)

(1.60)

(1.61)

разрешимость уравнения (1.53) и оценка

kFk	x r k M0						¥		!
kFk	x r k M0	! r		exp			1 w k	k	!
	( ; )	W k( x)				M	x	q(t) dt ;

в которой константы M0;M1		не зависят
в которой константы M0;M1		не зависят			ни от r, ни от q( ).
Наконец, заметим, что		ряды	(1.56),			(1.61)		сходятся равномерно

на любом множестве вида [x1;x2] K, где 0 < x1 < x2 < ¥, K S – произвольный компакт, откуда следует аналитичность функций Tk(x; ),

Fk(x; ).

II. 1. Прежде всего заметим, что функции T k0 (x;r), Fk0 (x;r) допускают непрерывное (но не ограниченное) продолжение на множество (0;¥) S n f0g. Действительно, имеем

	k
T k0 (x;r) = x		cˆk(rx) ^ ^cˆn(rx);
T k0 (x;r) = x		cˆk(rx) ^ ^cˆn(rx);

где все cˆj( ) – целые функции, что доказывает требуемое для T k0 (x;r), причём

			k
		T k0 (x;0) = x		hk	^ ^hn:					(1.62)
Далее		T k0 (x;0) = x		hk	^ ^hn:					(1.62)
Далее

Fk0 (x;r) =Y01 (x;r) ^^ Y0k (x;r);										(1.63)
	k	Y0k(x;r). Из представления
где Y0k (x;r) := r		Y0k(x;r). Из представления
		Y0k(x;r) = åljkCj(x;r)
следует			j k
следует	Y0k (x;r) = åljkr
	Y0k (x;r) = åljkr						x		cˆj(rx);	(1.64)
				j		k		j

j k

Глава 1. Решения типа Вейля

где ljk – некоторые абсолютные константы. Поскольку Re j > Re k при

j > k, из (1.64) следует, что функции Y0k (x;r), k = 1;n допускают непре-

рывное продолжение на множество fx 2(0;¥);r 2Sg и в силу (1.63) то

же справедливо для Fk0 (x;r). Заметим, что из (1.63) также следует, в частности, что

hk;

Y0k (x;0) = lkkx

откуда

Fk0 (x;0) = bk x

^ ^hk;

(1.65)

где bk0 – некоторые абсолютные константы.

2. Рассмотрим при r 2

интегральные уравнения:

Gn k+1(x;t;r) q

(t)Y (t) dt+ T k0 (x;r);

(1.66)

Y (x) = w0

(n k+1)

Gk(x;t;r)

(t)Y (t) dt+ Fk0 (x;r):

(1.67)

Y (x) = wx

(k)

Уравнения (1.66), (1.67) отличаются от уравнений (1.52), (1.53) только свободным членом, однако именно это позволяет рассматривать уравнения при r = 0, поскольку операторные функции Gm(x;t;r) – целые по r для любых x;t 2 (0;¥). Заметим, что уравнения (1.66), (1.67) при r = 0 совпадают с уравнениями (1.54), (1.55).

Применяя к уравнениям (1.66), (1.67) метод последовательных приближений аналогично тому, как это сделано выше при доказательстве

пункта I, используя оценки (1.57), (1.59), а также представление

a2Am

Gm(x;t;0) f = å sa

ha0

ha;

(1.68)

из которого вытекают оценки

;

t 2(0;x);

(1.69)

kGn k+1(x;t;0)k M t

kGk(x;t;0)k M

; t 2(x;¥);

(1.70)

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

убеждаемся, что уравнения однозначно разрешимы в указанных про-

странствах и их решения T k (x;r), Fk (x;r) представимы в виде рядов

k+1)

r=0

å T kr (x;r); T k;r+1 (x;r) := w

Gn k+1(x;t;r) q

(t) T kr (t;r) dt;

(1.71)

(k)

r=0

å Fkr (x;r); Fk;r+1 (x;r) :=

w Gk

(x;t;r)

q (t) Fkr (t;r)

dt; (1.72)

члены которых допускают оценки

k W k( x) ;

= ;

; r = 0;

T kr (x;r)

q(t)

(1.73)

!k W k( x) ;

= ;

; r = 0;

Fkr (x;r)

q(t)

(1.74)

где константы M

не зависят от x;

. Из оценок (1.73), (1.74) сле-

дует, что ряды (1.71), (1.72) сходятся равномерно на любом множестве вида [x1;x2] K, где 0 < x1 < x2 < ¥, K S – компакт. Действительно, данное утверждение очевидно, если компакт K не содержит точки r =

! r

= , поскольку в этом случае величины

k W k(

!k W k(

K, представим K в виде K = K K ,

:= r

: rx

1 , K

равномерно ограничены на множестве указанного

вида.

случае когда

0 [ 1

f 2

j 2j g 1

:= K nK0. На множестве [x1;x2] K1 в силу сказанного выше равномерная сходимость рассматриваемых рядов имеет место. При r 2 K0, x 2 2[x1;x2] имеем jrxj 1 и справедливы оценки jWj(rx)j M j(rx) j j, j = = 1;n с некоторой абсолютной константой M. В этом случае величины

k W k(

!k W k(

ограничены величинами

M x

k ,

M x

соответственно, что также гарантирует

равномерную сходимость

рядов

(1.71), (1.72).

Таким

образом,

функции T k (x;r), Fk (x;r)

непрерывны

на (0;¥)

. Осталось заметить, что при r = 0

(x;r) = r

k T (x;r),

Fk(x;r).

T k

Fk (x;r) = r

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]