Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Г л а в а 2

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ

2.1. Свойства данных рассеяния

На протяжении данной главы мы будем считать выполненными все условия на матрицы A, B, которые налагались в предыдущей главе.

Представим C n S как объединение непересекающихся открытых

N

секторов S Sn. Будем считать, что секторы занумерованы в положи-

n=1

тельном направлении, для удобства обозначений положим SN+1 := S1. Через Sn будем обозначать открытый луч, разделяющий секторы Sn

Для (произвольной) функции f = f (r), определенной на C n S, условимся при r 2S0 обозначать пределы через f (r):

f (r) = lim f (r ire):

e!+0

Договоримся для краткости обозначений в некоторых случаях при опи-

санных условиях опускать знак « », т. е. писать f (r) вместо f (r) (где r 2 S0).

Пусть q( )2L1(0;¥) – произвольная фиксированная матрица-функ- ция, Y = Y(x;r), x 2(0;¥), r2CnS – матрица, построенная из решений типа Вейля в каждом из секторов Sn, n = 1;N. Если r 2Sn таково, что Dk(r) 6= 0, D+k (r) 6= 0, k = 1;n, то, согласно результатам предыдущей главы, существуют пределы Y (x;r) и определена не зависящая от x матрица v = v(r), такая что

Y+(x;r) = Y (x;r)v(r):

Использованные в предыдущей главе обозначения Rk будут применятся и в дальнейшем, а величины Rk – рассматриваться как кусочно-

101

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

постоянные функции от r. Соответствующим образом будут использоваться обозначения Rk (r), Rk(r) при r 2 S0, а аргумент для краткости станем опускать, т. е. будем применять обозначения Rk , Rk.

Лемма 2.1.

1.При j < k vjk(r) 0.

2.При j > k vjk(r) 0, если Re(rRj) > Re(rRk).

Доказательство. Из соотношения

n

Y+k (x;r) = åvjk(r)Yj(x;r)

j=1

очевидным образом вытекает представление

Переходя к пределу при x ! 0, в силу пункта 3 теоремы 1.8 из предыдущей главы получаем

jvjk(r)j = O x k j :

Поскольку при j < k правая часть полученной оценки стремится к нулю, это доказывает первое из утверждений леммы.

Аналогично при j > k из пункта 3 теоремы 1.8 предыдущей главы вытекает оценка

jvjk(r)j = O exp(rx(R+k Rj)) ; x ! ¥:

Поскольку Re(rR+k ) = Re(rRk), из Re(rRj) > Re(rRk) следует, что правая часть полученной оценки стремится к нулю при x ! ¥, откуда с учетом независимости vjk от x получаем vjk(r) = 0.

2

Введем при r 2S0 матрицу перестановок P(r) такую, что

(R+1 (r);:::;R+n (r)) = (R1 (r);:::;Rn (r))P(r);

или, эквивалентно, R+(r) = P 1(r)R (r)P(r) (где, как и ранее, R := := diag(R1;:::;Rn)). Очевидно, что P(r) представляет собой блочнодиагональную матрицу, постоянную на каждом из лучей Sn. Из леммы 2.1 вытекает, что матрица v(r) имеет ту же блочную структуру, что и матрица P(r). В дальнейшем блочно-диагональные матрицы с такой блочной структурой будем называть P-диагональными. С учетом условия 2 блочная структура матрицы P(r) и, соответственно, v(r) могут быть описаны более явным образом. Прежде всего заметим, что в двойном неравенстве Re(rRk 1) Re(rRk) Re(rRk+1) знак равенства

102

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

возможен только в одной позиции. Обозначим через I0 множество таких индексов k, для которых Re(rRk 1) < Re(rRk) < Re(rRk+1) (Re(rRk) < < Re(rRk+1) в случае k = 1). Таким индексам в матрице P(r) соответствуют «тривиальные» 1 1 диагональные блоки, причем Pkk(r) = 1. Далее определим I как множество k таких, что Re(rRk) = Re(rRk+1)

расположенный в строках и столбцах с номерами k и k + 1. Наконец, определим I+ := f1;:::;ngn(I0 [I ) и заметим, что k 2I+ тогда и только тогда, когда k 1 2 I .

Следующая теорема содержит дальнейшее уточнение результата леммы 2.1 с учетом сделанных выше наблюдений.

Теорема 2.1. При каждом r 2 S0 v(r) – нижнетреугольная P-ди- агональная матрица. Кроме того, для каждого индекса k 2I имеем:

1.vk+1;k(r) 1;

2.vkk(r)vk+1;k+1(r) 1.

Доказательство. 1. Представление (2.1) при j = k даёт

vk+1;k jfj = Y1 ^ ^Yk ^Y+k ^Yk+2 ^ ^Yn :

Если k 2I , то Re(rR+k ) = Re(rRk+1) > Re(rRk 1) = Re(rR+k 1), поэтому

Y+k (x;r) = exp(rxR+k )(f+k + o(1)) = exp(rxRk+1)(fk+1 + o(1))

при x ! ¥, откуда получаем

vk+1;k jfj = jFk ^(exp(rxRk+1)(fk+1 + o(1))) ^Yk+2 ^ ^Ynj =

!

=exp(rx R k)(f1 ^ ^fk + o(1)) ^(exp(rxRk+1)(fk+1 + o(1))) ^

103

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

2. С учетом установленной выше нижнетреугольности и P-диа- гональности матрицы v(r) имеем для k 2I (воспользуемся также уже доказанным для таких k равенством vk+1;k(r) 1)

Y+k (x;r) = vkk(r)Yk(x;r)+Yk+1(x;r); Y+k+1(x;r) = vk+1;k+1(r)Yk+1(x;r);

откуда следует

Переходя в полученном равенстве к пределу при x ! ¥, в силу пункта 3 теоремы 1.8 получим

при x ! ¥. Подставляя полученную асимптотику в (2.3), приходим к равенству

ckf+1 ^ ^f+k+1 = vkkvk+1;k+1f1 ^ ^fk+1:

Заметив, что fk = f+k+1, f+k = fk+1, откуда fk ^ fk+1 = f+k ^ f+k+1, получим окончательно

ckf+ ^ ^f+ ^f+ ^f+ = vkkvk+1;k+1ckf+ ^ ^f+ ^( f+ ^f+ ):

1 k 1 k k+1 1 k 1 k k+1

2

Таким образом, каждому нетривиальному диагональному блоку ви-

да

!

0 1

1 0

104

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

матрицы P(r), расположенному в строках и столбцах с номерами k и k + 1 (где k 2I ), соответствует диагональный блок вида

!

vkk 0

1vk+1;k+1

матрицы v(r), причем vkkvk+1;k+1 = 1.

Для матрицы v](r) справедлив следующий результат, являющийся аналогом теоремы 2.1.

Теорема 2.1’. Матрица v](r) – нижнетреугольная, P-диагональная, причём v]kk(r) 1 для всех k.

Доказательство. Рассуждая как при доказательстве теоремы 2.1, воспользуемся следующим представлением, аналогичным (2.1):

dj;k – символ Кронекера).

Аналогично при x ! ¥ из (2.4) получаем оценку

Поскольку Re(rR+k ) = Re(rRk), из Re(rRj) > Re(rRk) вытекает, что правая часть полученной оценки стремится к нулю при x ! ¥, откуда с учетом независимости v]jk от x получаем v]jk(r) = 0.

2

105

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Таким образом, каждому нетривиальному диагональному блоку

вида

!

0 1

1 0

матрицы P(r), расположенному в строках и столбцах с номерами k и k + 1 (где k 2I ), соответствует диагональный блок вида

!

1 0

v]k+1;k 1

матрицы v](r).

Между матрицами v(r) и v](r) обнаруживется связь, вытекающая

из пропорциональности функций Yk(x;r) и Fk (x;r). Действительно,

6= 0, имеем

F (x;r) = Y (x;r)d (r);

откуда следует

v(r)d+(r) = d (r)v](r):

Рассматривая элементы на главной диагонали матриц в правой и левой частях полученного равенства, приходим к следующему утверждению.

n

Õ D+k (r) 6= 0, справедливо равенство

k=1

d (r) = vkk(r)d+k (r); k = 1;n:

Теорема 2.2. Пусть для всех n = 1;N выполнено условие

n

lim ÕDk(r) 6= 0:

r!0;r2Sn k=1

Тогда для всех n = 1;N существуют пределы lim v(r) =: vn,

r!0;r2Sn

зависящие только от матриц A, B.

Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть только диагональные элементы матрицы v. Подставляя в (2.1) Yk (x;r) в виде

106

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

где r 2 Sn, n произвольно (здесь учтено, что поскольку решения типа Вейля не зависят от выбора ветви степенной функции, можно считать, что r k непрерывна в Sn [Sn [Sn+1). В силу теоремы 1.9 правая часть полученного представления имеет предел при r ! 0 и справедливо равенство

перейдем в ней к пределу при r ! 0, r 2Sn, что даёт

107

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

и абсолютные константы bkn 6= 0 зависят только от матриц A, B. Заметим, что вольтерровские уравнения (2.7) при разных n раз-

личаются только свободным членом. В силу их однозначной разрешимости из равенства

Из (2.8) и однозначной разрешимости СЛАУ (2.6) вытекает, в свою очередь, равенство

bknbk 1;n+1

Здесь константы gkn, как и bkn ранее, зависят только от матриц A, B. Подставляя (2.9) в представление (2.5), получим

и s2n = 1.

2

В дальнейшем будем использовать обозначение v0(r) := v(0;r) (т. е. матрица v0 соответствует «простейшему» случаю q = 0).

k=1

108

Глава 2. Решение обратной задачи рассеяния

для всех r2S (при r = 0 подразумеваются все предельные значения при r ! 0, r 2Sn, существующие согласно результатам парагр. 3.1).

Определим пространство H (S) как пространство, состоящее

из функций j 2 L2(S) таких, что для каждого n = 1;N ограничение

причем

lim j(r) = 0:

r!¥;r2Sn

Иначе говоря, ограничение j(r)jr2Sn допускает продолжение на Sn до

элемента пространства C0(Sn). Для j2H (S) положим kjk := kjkL2(S) + + kjkC0(S). Через H0(S) обозначим замкнутое подпространство, состо-

ящее из таких j( )2H (S), что для каждого n = 1;N lim j(r) = 0. За-

r!0;r2Sn

метим, что H0(S) совпадает с замыканием по норме H (S) класса C00¥ (S) бесконечно гладких функций на S, обращающихся в нуль вне некоторого кольца fr : 0 < r1 jrj r2 < ¥g (своего для каждой функции).

Теорема 2.3. Пусть p > 2. Тогда v( ; ) v0( ) 2C(G0p(S);H0(S)).

Доказательство. Поскольку матрица v(q;r) v0(r) диагональна для любых q;r, достаточно рассмотреть диагональные элементы. Имеем

109

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Здесь Ak0 – множество всех мультииндексов (включая пустой мультииндекс), не содержащих k, Ak00 – множество непустых мультииндексов из Ak0, c0a;c00a 2f 1;1g; в обеих суммах в каждом слагаемом мультииндексы

aи b связаны условием a [b = (1;:::;k 1;k + 1;:::n).

Всилу теоремы 1.11 в представлениях

(2.11), с учетом следствия 2.1 приходим к требуемому утверждению.

2

2.2. Решение обратной задачи рассеяния в классе G0p

В дальнейшем матрицу-функцию v(q;r) будем называть данными рассеяния.

Прежде всего убедимся, что потенциал из класса G0p однозначно определяется заданием данных рассеяния.

Теорема 2.4. Если q1( ) 2 G0p и q2( ) 2 G0p таковы, что v(q1; ) = = v(q2; ), то q1 = q2.

Доказательство. Введем в рассмотрение следующую матрицу спектральных отображений:

P(q1;q2;x;r) := Y(q1;x;r)(Y(q2;x;r)) 1:

В силу теоремы 1.11 имеем, в частности,

ˆ ˜ 1

Y(qj;x;r) = (I + Y(qj;x;r)(Y0(x;r)) )Y0(x;r) = (I + o(1))Y0(x;r)

при r ! ¥, r 2 Sn для любого n. Отсюда следует асимптотика

P(q1;q2;x;r) = I + o(1) при r ! ¥, r 2 C n S. Далее, при r 2 S0 имеем

P+(q1;q2;x;r) = Y+(q1;x;r)(Y+(q2;x;r)) 1 =

110