Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

Введение

1.Предыстория и краткое содержание книги

Внастоящей монографии исследуются обратные задачи Штур- ма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями.

Первой работой, посвященной изучению обратных задач Штур-

ма–Лиувилля, была статья В. А. Амбарцумяна [178], вышедшая в 1929 г. Амбарцумян рассмотрел краевую задачу

y q x y y, y 0 y 0

и показал, что если q x dx 0, а собственные значения суть

0

числа 12, 22, . .., то q x должна тождественно равняться нулю. Эта работа показала, что краевая задача может быть восстановлена по одному набору собственных значений. Однако в 1946 г. Г. Борг установил [185], что задачу

y q x y y, y 0 hy 0 y Hy 0

(где коэффициенты h и H не обязательно равны нулю) восстановить по одному набору ее собственных значений, вообще говоря, уже невозможно. Боргом было показано, что для восстановления этой задачи нужен еще и набор собственных значений вспомогательной задачи

y q x y y, y 0 h1y 0 y Hy 0, h1 h.

Теорема Борга вызвала всплеск интереса к обратным задачам Штурма–Лиувилля. Теорема показывала, что непрерывная функция (континуум) может быть восстанавлена по счетному множеству собственных значений.

Исследованиям в области обратных задач Штурма–Лиувилля, а также в целом обратных спектральных задач, придавало импульс и то, что они позволили создать оригинальные методы для

расчета радиоволн, теплового излучения, вибрации металлических конструкций.

Обратной задачей Штурма–Лиувилля занимались А. Н. Тихонов, Н. Левинсон, М. Г. Крейн, Б. М. Левитан, В. А. Марченко, М. Г. Гасымов, З. Л. Лейбензон, В. А. Юрко, В. Н. Пивоварчик, авторы настоящей монографии и другие (подробнее см. [97, 173]).

Одним из наиболее популярных методов решения обратных спектральных задач вплоть до середины 70-х годов XX в. был метод операторов преобразования. Однако при решении обратной задачи для нераспадающихся краевых условий (т. е. для таких условий, которые содержат комбинации значений функций в точке 0 и в точке ) возникли трудности, связанные с применением операторов преобразования.

Первой работой, посвященной изучению обратной задачи с нераспадающимися краевыми условиями была статья И. В. Станкевича [145]. В ней рассматривался вопрос о восстановлении функции q x для самосопряженной задачи Штурма–Лиувилля с периодическими или антипериодическими краевыми условиями. В этой работе был применен метод, использующий функцию Ляпунова.

Впоследствии обратная задача Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями изучалась в работах В. А. Садовничего [132], В. А. Юрко [169], В. А. Марченко [108]. В каждой из работ авторов применялись свои подходы к решению обратной задачи.

В [132] был применен метод, в котором вместо операторов преобразования использовались определенные отображения T пространств решений, задаваемых матрицами. Для распадающихся краевых условий использование отображения пространств решений впервые было применено в работе З. Л. Лейбензона [100]. Однако непосредственное применение метода З. Л. Лейбензона не давало нужного результата в случае нераспадающихся граничных условий, поскольку при применении этого способа возникает ряд сложностей (например, нет единообразных асимптотик главных решений, равномерных по всем 0 x 1). Тем не менее в [132] эти трудности были преодолены и была доказана теорема единственности, которая явилась естественным обобщением аналогичных теорем для задачи Штурма–Лиувилля. Было показано, что в случае уравнения вида y q x y y для однозначного восстановления функции q x и коэффициентов нераспадающихся краевых

условий

y 0 a11y 0 a12y 0, y a21y 0 a22y 0

(которые мы будем называть нераспадающимися краевыми условиями 1-го типа) требуется использовать набор собственных значений самой задачи, собственные значения двух вспомогательных задач и другие дополнительные спектральные данные, а именно два набора весовых чисел и вычетов определенных функций.

Условия этой теоремы существенны (соответствующий контрпример опубликован в работе авторов [142]).

В1999 г. вышла работа авторов [137]. В ней было показано, что если выбрать вспомогательные задачи несколько иначе, чем

встатье [132], то для получения единственности решения обратной задачи достаточно использовать только спектры двух вспомогательных задач и спектр исходной задачи Штурма–Лиувилля без использования дополнительных спектральных данных. Таким образом, было показано, что при выборе вспомогательных задач как

в[137] нет необходимости в использовании дополнительно наборов весовых чисел и вычетов.

Статья [137] породила поиск новых теорем о решении обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. Этот поиск увенчался успехом. Было получено несколько новых результатов по единственности и устойчивости решений задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями, показана существенность условий теорем; найдены методы их решения и приведены примеры приближенного решения соответствующей задачи. Результаты этих исследований опубликованы в работах [137–143].

В2008 г. была опубликована статья авторов [144], в которой исследовалась обратная задача Штурма–Лиувилля для случая нераспадающихся краевых условий 2-го типа, т. е. для краевых условий вида

a1y 0 a2y a3y 0 a4y 0, b1y 0 b2y 0.

Ранее этой задаче были посвящены лишь две статьи, которые были опубликованы в 70-х гг. Это статьи [145] и [170]. В работе [145] рассматривался вопрос о восстановлении функции q x для частного случая задачи Штурма–Лиувилля, когда краевые условия являются периодическими (a2 a1, a3 a4 0,

6 Введение

b2 b1) или антипериодическими (a2 a1, a3 a4 0, b2 b1). В работе [170] доказывались теоремы об однозначности восста-

новления функции q x и чисел 1 a2b1 и 2 a2 b1 в случае, когда a1 b2 1, 1 a2b1 0, mes q x q x 0. В статье авторов [144] впервые доказаны общие теоремы о однозначности

восстановления q x и обоих краевых условий с единственным ограничением на коэффициенты b1 b2. Найдены также методы решения этой обратной задачи, приведены соответствующие примеры и контрпримеры.

Внастоящей книге эти результаты (результаты об обратных задачах Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями) сведены воедино, обобщены и дополнены. Им посвящены первые две главы книги. В третьей главе книги приводятся результаты восстановления краевых условий задачи Штурма–Лиувилля, опубликованные в работах [10–12; 14–16; 19–23; 30].

Во введении приводятся предыстория проблемы, небольшой обзор основных результатов, необходимые для доказательств предварительные сведения и определения.

Вглаве 1 настоящей книги (пп. 1.1–1.2)1 доказываются самые ранние теоремы о единственности решений обратных задач Штур- ма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями, при доказательстве которых был использован метод отображений пространств решений.

Впараграфе 1.1 приводится точная формулировка теоремы из работы [132], о которой писалось выше, и ее доказательство. Метод отображений пространств решений применен в случае нераспадающихся краевых условий 1-го типа.

Впараграфе 1.2 аналогичная теорема единственности рассмотрена для случая нераспадающихся краевых условий 2-го типа. Более точно теорема единственности доказана для периодических краевых условий

U1 y y 0 y 0, U2 y y 0 y 0

(частного случая нераспадающихся краевых условий 2-го типа). При доказательстве теоремы, помимо спектра самой задачи,

1В верхних колонтитулах на четных страницах указывается номер и название главы, а на нечетных страницах – номер и название параграфа. Нумерация теорем, лемм, утверждений, примеров и замечаний для каждого параграфа своя. При переходе от одного параграфа к другому меняется и нумерация.

требуется использовать два набора весовых чисел и вычетов определенных функций.

Вглаве 2 книги (пп. 2.1–2.3) приводятся теоремы авторов

оединственности, разрешимости и устойчивости решений для задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями 1-го и 2-го типов, а также для пучка дифференциальных операторов. Приводятся также соответствующие примеры и контрпримеры. Здесь основным методом решения обратных задач выступает метод вспомогательных эталонных задач, а не метод отображений пространств решений.

Впараграфе 2.1 приводятся теоремы с нераспадающимися краевыми условиями 1-го типа. Приводится также пример, который показывает, что в случае выбора вспомогательных задач, как в гл. 1, спектра исходной задачи, спектров двух вспомогательных задач и двух наборов весовых чисел для восстановления краевой задачи еще недостаточно. Таким образом, требование совпадения вычетов является существенным и теорема, доказанная в первой части представляет собой в некотором смысле неулучшаемый результат. Однако оптимален ли выбор самих вспомогательных задач, произведенный в гл. 1?

Далее доказывается несколько новых теорем единственности. Доказана, в частности, теорема 2, суть которой состоит в том, что если в качестве двух вспомогательных спектральных задач выбрать не те задачи, которые были выбраны в гл. 1, а задачи из теоремы Борга, то для получения единственности решения обратной задачи достаточно использовать только спектры двух вспомогательных задач и спектр исходной задачи Штурма– Лиувилля без использования дополнительных спектральных данных. Таким образом, при новом выборе вспомогательных задач нет необходимости в использовании дополнительно двух наборов весовых чисел и вычетов. Эта теорема, которая впервые была опубликована авторами в несколько иной формулировке в статье [137], породила поиск новых теорем решения обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. В результате авторами было получено несколько новых теорем.

одно собственное значение. Все коэффициенты краевых условий (кроме одного) и коэффициент уравнения задачи Штурма–

Лиувилля восстанавливается с помощью спектров двух задач Борга. Оставшийся после этого не восстановленным один коэффициент краевых условий восстанавливается лишь по одному достаточно большому собственному значению исходной задачи Штурма–Лиувилля.

Таким образом, теорема 3, доказательство которой основано на выборе вспомогательных задач, как в теореме Борга, представляет собой в некотором смысле неулучшаемый результат. Неулучшаемость результата вытекает из того, что для восстановления двух вспомогательных задач использование спектров двух задач Борга в качестве данных восстановления является не только достаточным, но и необходимым условием. А для нахождения оставшегося невосстановленным коэффициента используются минимальное число данных – лишь одно достаточно большое собственное значение исходной задачи. Теорема 3 имеет и практическую ценность. Она обосновывает однозначность нахождения переменного коэффициента упругости среды, а также упругих нераспадающихся закреплений струны по собственным частотам ее колебаний. Доказательство ее основано на асимптотических методах. Поэтому в формулировке теоремы используется достаточно большое собственное значение.

Однако возникает вопрос: Так ли необходимо требование того, чтобы собственное значение было достаточно большим. Оказывается, что это требование существенно. После доказательства теоремы приведен контрпример, который показывает, что если в качестве собственного значения N в теореме выбрать небольшое собственное значение, утверждение теоремы 3 окажется неверным.

Далее в параграфе 2.1 показано, как восстановить задачу Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями по двум спектрам и одному собственному значению. Доказана теорема 4 о разрешимости обратной задачи Штурма–Лиувилля

иприведен пример восстановления задачи.

Впараграфе 2.1 доказан также аналог теоремы единственности Губреева и Пивоварчика в случае нераспадающихся краевых усло-

вий первого типа – теорема 5. Она утверждает следующее: если в качестве вспомогательной спектральной задачи выбрать задачу, рассмотренную Г. М. Губреевым и В. Н. Пивоварчиком, то для получения единственности решения обратной задачи достаточно использовать не три, а лишь два спектра.

Доказана также и более сильная теорема 6. В отличие от теоремы 5, вместо всего спектра искомой задачи для однозначности восстановления используются лишь два его собственных значения. Эти два собственных значения не могут быть произвольными. В условии теоремы требуется, чтобы эти значения были достаточно большими и соседними, причем показана существенность этого условия. Приведен контрпример, который показывает, что при выборе недостаточно больших собственных значений утверждение теоремы не выполняется. Другой контрпример показывает, что при выборе в качестве данных восстановления собственных значений задачи L, не являющихся соседними, утверждение теоремы 6 не выполняется.

Теорема 7 доказывает разрешимость обратной задачи Штур- ма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями первого типа по одному спектру и двум собственным значениям. Вслед за теоремой 7 приводятся алгоритм решения обратной задачи

ипример решения конкретной обратной задачи Штурма–Лиу- вилля.

Далее доказаны теоремы 8 и 9 о единственности, разрешимости

иустойчивости задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями по двум спектрам и двум собственным значениям. Приведены также контрпримеры к теореме единственности

ипример приближенного решения соответствующей задачи.

Впараграфе 2.2 доказываются теоремы единственности и разрешимости обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями 2-го типа. Приводятся два метода восстановления краевых задач, а также соответствующие примеры

иконтрпримеры. Сначала доказывается теорема 1 о единственности восстановления краевой задачи по трем спектрам. Затем изложен сам метод восстановления и примеры решения конкретных обратных задач. В последующем доказывается теорема 2 о единственности и разрешимости обратной задачи Штурма–Лиувилля. В отличие от теоремы 1, в теореме 2 вместо спектра краевой задачи с нераспадающимися краевыми условиями используются не все собственные значения, а только два из них, удовлетворяющие определенным условиям. Далее изложены метод решения обратной задачи, примеры решения обратных задач и два контрпримера.

Впараграфе 2.3 приводятся теоремы о единственности и двойственности решения обратной задачи для пучка дифференциальных

операторов следующего вида:

ly y s2 isq1 x q x y 0,

U1 y y 0 a11 isa12 y 0 a13 isa14 y 0,

U2 y y a21 isa22 y 0 a23 isa24 y 0.

Втеореме 1 доказывается двойственность решения задачи восстановления пучка дифференциальных операторов по трем спектрам. Затем приводятся следствия этой теоремы – теоремы 2, 3 и 4

оединственности решения, которые получаются путем наложения дополнительных условий в теореме 1. Далее доказывается теорема 5 о двойственности решения, которая отличается от теоремы 1 тем, что вместо всех собственных значений одной из краевых задач используется только пять из них, удовлетворяющих определенным условиям. Рассмотрены также примеры и контрпример.

Вглаве 3 книги (параграфах 3.1–3.5) приводятся теоремы единственности, разрешимости и устойчивости решения обратной задачи восстановления краевых условий с известным дифференциальным уравнением. Показаны применения этих теорем в механике.

Впараграфе 3.1 рассматривается задача восстановления нераспадающихся краевых условий не по трем, а по одному спектру. Ранее было показано, что в случае уравнения вида

y q x y y

для однозначности восстановления функции q x и коэффициентов нераспадающихся краевых условий требуется три спектра связанных между собой задач, а иногда и другие дополнительные спектральные данные. Был также приведен пример, показывающий что даже в случае если функция q x равна нулю тождественно, трех спектров для восстановления только краевых условий еще недостаточно.

Этот пример наводит на мысль, что для однозначности восстановления краевых условий любой спектральной задачи одного спектра еще недостаточно. Однако оказывается, что это не так. В параграфе 3.1 показано, что существует целый класс дифференциальных уравнений с параметром, для которых можно показать однозначность восстановления самых общих краевых условий, причем для этого достаточно использовать только один спектр.

Теорема 1 посвящена однозначности восстановления краевых условий спектральной задачи с простейшим дифференциальным

уравнением y b y c 2y 0. Показано, что если выполнены следующие три условия для постоянных коэффициентов a, b, c: 1) b2 4c 0, 2) b 0, 3) c 0, то произвольные нераспадающиеся краевые условия можно однозначно восстановить, используя для этого только спектр самой краевой задачи. Далее приведены контрпримеры, показывающие, что если не выполняется хотя бы одно из трех условий теоремы 1, то и утверждение теоремы не будет верным. Показано также, что если использовать не весь спектр, а только его часть, то соответствующее теореме 1 утверждение, вообще говоря, не верно. Приведен алгоритм и пример восстановления краевых условий в случае, когда условия теоремы 1 выполнены. Далее доказаны теоремы 2 и 3, которые являются обобщением теоремы 1 на случай дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Приводится также теорема 4, в которая отличается от теоремы 1 тем, что в качестве восстанавливаемых данных выступают не произвольные краевые условия, а краевые условия определенного заданного порядка, а в качестве данных, используемых для восстановления краевых условий, используются не все, а только ненулевые собственные значения. Далее приведен пример использования теоремы 4.

В параграфе 3.2 рассмотрен случай краевой задачи с дифференциальным уравнением, у которого коэффициент при слагаемом y равен нулю (b 0), а краевые условия имеют вид y 0 hy 0 0, y 1 Hy 1 0. Для этой краевой задачи доказана теорема 1 о двойственности решения соответствующей обратной задачи (задачи о восстановлении краевых условий). Далее рассмотрена задача об акустической диагностике двух дисков вала по собственным частотам крутильных колебаний. Проведен анализ решений соответствующих задач и разобраны примеры их решения.

В параграфе 3.3 рассматривается отыскание k коэффициентов краевого условия по k собственным значениям. В отличие от предыдущих глав, здесь предполагается, что краевые условия соответствующих спектральных задач могут зависеть от спектрального параметра.

Доказаны две теоремы о единственности, разрешимости и устойчивости восстановления k коэффициентов спектрального полинома из краевого условия по k собственным значениям. Показана существенность всех условий теоремы, приведены конкретные