Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

142 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Система (3.83) двух линейных уравнний от неизвестных b и c имеет единственное решение, выражаемое формулами b Db D, c Dc D, где D 0 – определитель системы (3.83), а Db и Dc – определители, получаемые из D заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов системы уравнений (3.83).

По найденным b и cчисла m и n находятся из нелинейной системы уравнений (3.84). Можно показать, что эта система имеет два решения:

Как видим, n1 m2, n2 m1. Это означает, что числа m и n определяются однозначно с точностью до перестановок дисков местами.

(Интересно, что в отличие от технической постановки обратной задачи, в которой ищутся положительные m и n, математическая постановка задачи определения действительных чисел m и n является некорректной. Действительно, при любых m и n m уравнение (3.82) имеет корни k, и поэтому решение обратной задачи определения действительных чисел m и n по корням k уравнения (3.82) является неединственным даже с точностью перестановки местами чисел m и n.)

Следует отметить, что на практике использование формул (3.85), (3.86) оказывается эффективным только тогда, когда числа m+n

иmn являются величинами одного порядка или отличаются на один порядок. В этом случае малые ошибки в измерении собственных частот не приводят к большим ошибкам в вычислениях моментов инерции. В случае же, когда m n значительно меньше mn ошибка в вычислении m и n может оказаться большой. Из рис. 3.2

и3.3 можно понять почему так происходит. На этих рисунках по-

казаны точки пересечения ветвей тангенса (пунктирная линия)

и графика функции m n . В случае, когда m n значитель-

mn 2 1

но меньше mn (рис. 3.3), первые корни 1 и 2 уравнения (3.82) оказываются близки к 0 и к соответственно, и поэтому определитель системы (3.83) становится близок к нулю, а матрица системы (3.83) – плохо обусловленной. Если же числа m+n и mn являются величинами одного порядка или отличаются на один

144 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

являются числами одного порядка и поэтому, согласно сказанному выше, ошибка в измерении собственных частот приводит к малой ошибке в опознании моментов инерции концевых дисков вала. Например, если первые две найденные собственные частоты таковы, что соответствующие 1 и 2 отличаются от первых корней уравнения (3.82) при m 3, n 10 не более чем на 10 5, то относительная ошибка измерений m и nбудет не более 10 3. То же самое будет, если, например, m 100, n 1. Если же m 100 и n 100, то m n 200 меньше mn 10 000 на два порядка, и относительная ошибка в измерениях m и n составит уже 0,4, что довольно много. К счастью, такие ситуации на практике встречаются редко. Поэтому в большинстве практических случаев формулы (3.85) и (3.86) обосновывают возможность диагностирования неблагополучия в системе с концевыми дисками вала по изменению первых двух собственных частот крутильных колебаний. Если первые две собственные частоты колебаний изменились по сравнению с первоначально замеренными, то это свидетельствует о ненадежности и неблагополучии в системе (изношенности дисков или налипании на них инородных предметов). Численные значения изменений частот позволяют с помощью формул (3.85), (3.86) оценить необходимость немедленного ремонта, его объем и сроки. Формулы (3.85), (3.86) дают также возможность определения моментов инерции концевых дисков вала и для систем, о моментах инерции концевых дисков которых нет даже предварительной информации.

Знание всех собственных частот не дает большей информации, чем знание только первых двух. По всему спектру частот моменты инерции концевых дисков вала также определяются с точностью до перестановок дисков местами. Поэтому даже опытный специалист не сможет по шуму работающего вала с концевыми дисками сказать больше, чем частотомер, способный определить две первые собственные частоты.

3.2.3. Определение моментов инерции вращающихся дисков, один из которых не является концевым

В этом пункте изучается возможность акустического диагностирования надежности механической системы, состоящей из вала с двумя дисками, один из которых является концевым, а другой – нет.

Как видим, в отличие от п. 3.2.2 один из дисков не является концевым. Кроме того, в настоящем пункте используются методы лагранжевой механики, а не методы технической теории, как

впредыдущем.

Влагранжевой механике частотное уравнение механической системы, состоящей из вала с двумя дисками, один из которых является концевым, а другой – нет, имеет вид [53, c. 65–66]

J1J2 4 J1 c2 J2c1 J2c2 2 c1 c2 c2 0.

Здесь J2 – момент инерции концевого диска, J1 – момент инерции диска равноотстоящего от концевого диска и крепления вала; c1, c2 – соответствующие псевдоупругие коэффициенты.

Из теоремы Виета следует, что корни этого уравнения 1 и 2, являющиеся собственными частотами, удовлетворяют системе

J2 c1 c2 находятся по обратной теореме Виета однозначно с точностью до перестановки x1 и x2 местами.

Найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта системы, его объема и сроков проведения, не прибегая

кразборке.

3.3.Отыскание k коэффициентов краевого условия по k собственным значениям

3.3.1.Введение

Рассматривается отыскание k коэффициентов краевого условия по k собственным значениям. В настоящем параграфе предполагается, что краевые условия соответствующих спектральных задач могут зависеть от спектрального параметра.

На практике часто встречаются такие ситуации, когда спектральный параметр входит в краевое условие. Так, задача о поперечных колебаниях гладкой струны с вязким трением на правом

146 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

конце и жестко закрепленным левым концом приводится с помощью преобразования Лиувилля к следующей спектральной задаче:

Если же правый конец колеблющейся гладкой струны несет сосредоточенную массу и двигается с вязким трением на правом конце, то краевое условие (3.89) заменяют на следующее:

y 1 d0 d1 d2 2 y 1 0.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, зависящими от спектрального

А. И. Бенедик и Р. Панзоне для спектральных задач с линейным вхождением параметра в краевое условие восстанавливали коэффициент в уравнении. В. А. Юрко были получены теоремы единственности восстановления коэффициентов уравнения и общих краевых условий по некоторым спектральным характеристикам. В статье Г. М. Губреева и В. Н. Пивоварчика была получена конструктивная формула восстановления коэффициентов d0 и d1 и потенциала q x по всему спектру задачи (3.87)– (3.89).

Нетрудно показать однако, что в случае, когда коэффициент q x в уравнении (3.87) известен, для отыскания коэффициента d d0 d1 достаточно знания лишь двух собственных значений задачи (3.87)– (3.89). В отличие от результатов работ [62,171], где помимо краевого условия отыскивался также коэффициент

вуравнении, здесь знания всего набора собственных значений не требуется.

Аналогично, если коэффициент q x в уравнении (3.87) изве-

стен, то для отыскания в краевом условии квадратичной функции d d0 d1 d2 2 достаточно знать лишь три собственных значения соответствующей спектральной задачи. Так же как

впредыдущем случае, знания всего набора собственных значений не требуется.

3.3.2. Постановка первой обратной задачи

Таким образом, вполне естественно возникает проблема отыскания коэффициента-полинома краевого условия по конечному набору собственных значений спектральной задачи. Эту проблему по всем признакам можно считать обратной задачей.

Сформулируем ее в общем виде для широкого класса спектральных задач.

Рассмотрим спектральную задачу

где x 0, 1 , – спектральный параметр, коэффициенты a и b , а также c и d не обращаются в нуль одновременно.

Сформулируем первую обратную задачу.

Пусть функция d является многочленом следующего вида: d d0 d1 d2 2 .. . dm 1 m 1 (di C, i 0, 1, ... , m 1, m N). Требуется найти k k m из m коэффициентов d0, d1,

d2, .. . , dm 1 многочлена d , если остальные m k коэффи-

циентов dj известны. Функции p1 x, , p2 x, , a , b , c

являются заданными. Известны также k ненулевых попарно различных собственных значений задачи (3.90)– (3.92).

3.3.3. Теорема о существовании и единственности решения первой обратной задачи

Ниже доказана следующая

Теорема 1. Если p1 x, , p2 x, – непрерывно дифференцируемые функции по x и по , a , b , c – непрерывно дифференцируемые функции , то любые k ненулевых попарно различных собственных значений i i 1, 2, . .. , k задачи (3.90)– (3.92), для которых c i 0, однозначно определяют k последовательных коэффициентов dj (j s 1, s 2, ...

.. . , s k, s N) краевого условия (3.92).

До к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через y1 x, и y2 x, линейно независимые решения дифференциального уравнения (3.90),

удовлетворяющие в точке x 0 условиям

148 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Числа i являются корнями характеристического определителя

, поэтому удовлетворяют следующему уравнению:

Учитывая (3.93), получаем

c i b i y2 1, i a i y1 1, i

d i b i y2 1, i a i y1 1, i 0. (3.94)

Значение функции y x b i y2 x, i a i y1 x, i в точке x 1 отлично от нуля. Действительно, предположив противное, т. е. что

Функции a i и b i согласно условию теоремы не обращаются в нуль одновременно. В силу единственности решения задачи Коши (3.90), (3.95), (3.96) имеем

y x b i y2 x, i a i y1 x, i 0.

А это противоречит условиям (3.93). Значит,

Равенства (3.98) представляют собой систему k линейных уравнений относительно k неизвестных коэффициентов dj краевого условия (3.92). Определителем этой системы является минор k-го порядка определителя Вандермонда (в случае k m определитель системы (3.92) совпадает с определителем Вандермонда). Поскольку собственные значения i i 1, 2, . .., k попарно различны и отличны от нуля, то определитель системы уравнений (3.98) также отличен от нуля. Поэтому система (3.98) имеет единственное решение.

Замечание. В случае, если среди неизвестных коэффициентов dj краевого условия (3.92) имеется коэффициент d0, условие теоремы, требующее выбора ненулевых собственных значений, является лишним. Это следует из того, что в этом случае минор k-го порядка определителя Вандермонда отличен от нуля при любых попарно различных собственных значениях (даже если одно из собственных значений является нулевым).

Пример 1. Из доказанной теоремы вытекает, что если q x – известная функция, то для восстановления коэффициентов d0 и d1 краевой задачи (3.87)– (3.89) достаточно знать любые два собственных значения 1 и 2 этой задачи, причем коэффициенты d0 и d1 по собственным значениям 1 и 2 находятся по формулам d0 D0 D и d1 D1 D, где

В частности, если q x 0 и известны два собственных значения1 4 , 2 34 , то из доказанной теоремы вытекает, что

d0 0, d1 1.

3.3.4. Существенность условий доказанной теоремы

Приведем примеры, показывающие существенность условий теоремы, согласно которым c i 0 и i 0.

Пример 2 (показывающий существенность условия c i0). Характеристический определитель задачи

y 2 2y 0, y 0 0, 1 y 1 d0y 1 0.

имеет следующий вид:

1 cos d0 sin .

Если 1 1 является собственным значением задачи, то равенство1 0 возможно при любых числовых значениях d0, т. е. в случае c 1 1 1 0 однозначное восстановление коэффициен-

та d0 невозможно.

150 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Пример 3 (показывающий существенность условия i 0).

Характеристический определитель спектральной задачи

y 0, y 0 0, y 1 1 d1 y 1 0

равен d1 . Поэтому значение 0 является собственным, причем равенство 0 возможно при любых числовых значениях d1. Поэтому по нулевому собственному значению невозможно однозначно восстановить неизвестный коэффициент d1.

3.3.5. Постановка второй обратной задачи

Сформулируем вторую обратную задачу.

Пусть функция c является многочленом следующего ви-

являются заданными. Известны также k ненулевых попарно различных собственных значений задачи (3.90)– (3.92).

3.3.6. Теорема о существовании и единственности решения второй обратной задачи

Теорема 2. Если p1 x, , p2 x, – непрерывно дифференцируемые функции по x и по , a , b , d – непрерывно дифференцируемые функции , то любые k ненулевых попарно различных собственных значений i i 1, 2, . .. , k задачи (3.90)– (3.92), для которых d i 0, однозначно определяют k последовательных коэффициентов cj (j s 1, s 2, ...

.. . , s k, s N) краевого условия (3.92).

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. Система линейных алгебраических уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты, имеет вид

Здесь, как и в теореме 1, функции y1 x, , y2 x, являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения (3.90), удовлетворяющими в точке x 0 условиям (3.93).

3.4. Акустическая диагностика закрепления кольцевой мембраны 151

3.3.7. Существенность условий теоремы

Приведем примеры, показывающие существенность условий теоремы, согласно которым d i 0 и i 0.

Пример 4 (показывающий существенность условия d i0). Характеристический определитель спектральной задачи

y 0, y 0 0, c0y 1 1 y 1 0

равен 1 . Если значение 1 являются собственным, то равенство 0 возможно при любых числовых значениях c0. Поэтому однозначное восстановление неизвестного коэффициента c0 для данной спектральной задачи невозможно.

Пример 5 (показывающий существенность условия i 0).

Характеристический определитель спектральной задачи

y 0, y 0 0, 1 c1 y 1 y 1 0

равен c1 . Поэтому значение 0 является собственным, причем равенство 0 возможно при любых числовых значениях c1. Поэтому условие теоремы i 0 является существенным.

Из представлений (3.98), (3.99) следует, что обе рассмотренные обратные задачи восстановления k коэффициентов многочлена c или d по k ненулевым попарно различным собственным значениям задачи (3.90)– (3.92) являются корректными, так как их решения существуют, единственны и непрерывно зависят от i.

3.4. Акустическая диагностика закрепления кольцевой мембраны

3.4.1.Постановка обратной задачи

Вэтом параграфе решается следующая задача: распознать закрепление кольцевой мембраны на внешнем и внутреннем контурах по собственным частотам ее радиальных колебаний.

Перед изложением соответствующих методов, приведем уточненную постановку задачи.

После разделения переменных задача о радиальных колебаниях кольцевой мембраны сводится к следующей спектральной