Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

42 Гл. 1. Метод отображений пространств решений

Лемма 2. Пусть k,2, тогда

а) 1,a x, k,2 yk,a,2 x ek,ayk, a,2 x ,

б) функции 2,a x, в окрестностях точек k,2 допускают представления:

2,a x, ha,2 x, ,

k,2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функции 1,a x, , 2,a x, образуют базис пространства решений. Поэтому

1,a c1,a 1,a x, c2,a 2,a x, .

Дальнейшие рассуждения проведем для случая a 0. Имеем

Дифференцируя основное уравнение и начальные условия частным образом по и применяя метод вариации произвольных постоянных, нетрудно получить, что

1.2. Метод отображений пространств решений (условия 2-го типа) 43

Значит, если учесть, что

получим требуемое выражение для c1,0 k,2 ek,0; доказательство утверждения а) закончено, если вспомнить, что

U2 a 1,a U2 a 2,a U2 a 1,a U2 a 2,a

то, вообще говоря, разложение Лорана 2,a x, в окрестности точки k,2 должно иметь вид

Покажем, что ha x 0. Действительно, если раскрыть определитель, стоящий в числителе 2,a x, , получим, что он равен

1,a x, U2 a 2,a 2,a x, U2 a 1,a k,2 0,

так как

1.2.Метод отображений пространств решений (условия 2-го типа) 45

До к а з а т е л ь с т в о. Утверждения для функций

j

i,a x, , i, j 1, 2

следуют из соответствующих утверждений леммы 1, т. е. эти функции регулярны в окрестностях точек k,1 и zk,a, отличных от точек k,1. Утверждения леммы для функций i,a x, следуют из леммы 2. Таким образом, лемма доказана.

Простым подсчетом доказывается следующая

Лемма 4. При zk,0, k,i функции 1,0 x, , 2,0 x, , как функции переменного x, линейно независимы между со-

бой и их определитель Вронского равен 1. Аналогичное утверждение справедливо и для функций 1, x, , 2, x, , если

zk, , k,i i 1, 2 .

Следствие. Определители Вронского W j1,a, j2,a 1, j1, 2. Аналогично W 1,a, 2,a 1.

Из полученных выше лемм и вытекает теорема 1 настоящего параграфа.

Гл а в а 2

Метод эталонных вспомогательных задач

2.1. Единственность, разрешимость и устойчивость решения обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями 1-го типа

2.1.1. Формулировка теоремы единственности решения обратной задачи

Перед изложением контрпримера к теореме, для его лучшего понимания, повторим формулировку теоремы о единственности восстановления задачи с нераспадающимися краевыми условиями, доказанную с помощью метода отображения пространств решений.

Обозначим через L следующую спектральную задачу Штур- ма–Лиувилля

З а д а ч а L:

(где q x – суммируемая функция; aij, i, j 1, 2 – комплексные постоянные).

Задачу, определенную равенствами (2.1)– (2.3), будем называть задачей L. Условимся в дальнейшем задачу типа L, но с другими коэффициентами в уравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать L. Всюду будем считать, что если некоторый символ обозначает объект из задачи L, то символ с волной наверху обозначает аналогичный объект задачи L. Целочисленный индекс k будем всюду считать меняющимся от ∞ до ∞. Символ a, встречающийся в качестве индекса, будем считать всюду принимающим только два значения: 0 и .

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 47

– собственные числа задачи L, а yk,0 x и yk, x – собственные функции, им отвечающие и нормированные условия-

ми yk,0 0 1 и yk, 1 соответственно. Пусть fk,0 x и fk, x – аналогично определяемые собственные функции сопряженной с L

задачи. Заметим, что спектральным параметром в сопряженных

задачах считается параметр , а не .

Предположим, что все собственные числа рассматриваемых задач однократны. Пусть

1 a k,a yk,a x fk,a x dx.

0

Функции y ,a x определяются следующим образом:

где 1,a x и 2,a x – два линейно независимых решения, таких, что

1,a a 0, 1,a a 1, 2,a a 1, 2,a a 0.

Будем использовать функции 1,a x, , 2,a x, , которые назовем главными решениями:

l 1,a x, 1,a x, ,

1,0 0, 1, 1,0 0, a11 a12y ,0 ,1, 1, 1, 1, 1, a22 a21y , ,

а также

l 2,a x, 2,a x, ,

U1 2,0 1, U2 2,0 0,

U1 2, 0, U2 2, 1.

Наряду с задачей L мы рассматриваем две задачи с распадающимися граничными условиями.

З а д а ч а L0: lu zu, u 0 0, U2 u 0. З а д а ч а L1: lv zv, v 0, U1 v 0.

Пусть zk,0, zk, – собственные числа этих задач соответственно, а отвечающие им собственные функции обозначим zk,0 x и zk, x .

Обозначим, наконец, через k,a вычеты функций a :

0 1,0 0, a12 1,0 , ,1 1, , a21 1, 0,

в точках zk,0 и zk, соответственно.

Теорема 1. Пусть

k k, k,a k,a, zk,a zk,a, k,a k,a.

Тогда совпадают коэффициенты уравнений и константы

в граничных условиях задач L и L, т. е. q x q x , ij ij, i, j 1, 2.

2.1.2. Пример, показывающий существенность условия теоремы о равенстве вычетов

Ниже нами будет показано, что существуют два различных оператора L и L, у которых последовательности k , zk,a , k,a совпадают.

Этот пример показывает, что условие совпадения вычетов ( k,a k,a) является существенным. При выборе вспомогательных задач так как они выбраны в формулировке теоремы 1, совпадения трех наборов спектров и весовых чисел для единственности решения обратной задачи еще недостаточно.

Контрпример 1. Рассмотрим следующие задачи:

Здесь и z – параметры.

Собственные значения задачи L и собственные значения за- дачи L совпадают с корнями функции 1 sin . Спектральные задачи L0 и L0, L1 и L1, эквивалентны (краевые условия задачи без волны линейно выражаются через краевые

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 49

условия соответствующей задачи с волной). Отсюда следуют равенства

Покажем, что

k,a k,a.

Все собственные числа рассматриваемых задач однократны. По определению k,a находится по формуле

1 a k,a yk,a x fk,a x dx.

0

Здесь yk,0 x и yk, x собственные функции задачи L и нормированные условиями: yk,0 0 1 и yk, 1 соответственно, а fk,0 x и fk, x – аналогично определяемые собственные функции сопряженной с L задачи.

Используя определение сопряженной задачи [111, c. 17–23] нетрудно убедится в том, что сопряженная к L задача совпадает с задачей L и сопряженная к L задача совпадает с задачей L. Отсюда следует, что собственные функции fk,0 x и fk, x задачи L совпадают с собственными функциями задачи L, а собственные функции L совпадают с собственными функциями задачи L . Значения sk k (где k – собственные значения задачи L) действительны. Поэтому для рассматриваемых задач имеем

не верно. Функция 1,0 x, является решением следующей краевой задачи:

l 1,0 x, 1,0 x, ,

1,0 0, 1, 1,0 0, a11 a12y ,0 0.

По теореме об аналитической зависимости решений от параметра функция 1,0 x, является целой функцией спектрального

параметра . Поэтому целой является и функция 0 1,0 x,

a12 1,0 1, 1,0 x, . Следовательно функция 0 x, не имеет особенностей и ее вычеты в точках zk,0 равны нулю, т. е.

k,0 0.

Покажем, что равенство k,0 0 справедливо не для всех k. Возьмем первое собственное значение z1,0 1 4 задачи L0 и по-

кажем, что 1,0 1 .

Функция 1,0 x, является решением следующей краевой задачи:

Вычислим теперь вычет функции

sin2 sin

0

cos

в точке z1,0 1 4. Имеем

Таким образом, для собственного значения z1,0 z1,0 1 4 имеем

1,0 1,0.

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 51

2.1.3. Аналог теоремы единственности Борга для задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

В настоящем пункте доказаны две теоремы, являющиеся аналогами теоремы единственности Борга для задачи Штурма–Лиу- вилля с нераспадающимися краевыми условиями. Показано, в частности, что если в качестве двух вспомогательных спектральных задач выбрать задачи из теоремы Борга [185], то для получения единственности решения обратной задачи достаточно использовать только три спектра (или же два спектра и одно собственное значение) без использования трех последовательностей весовых чисел k, и вычетов k, определенных функций.

Рассмотрим наряду с задачей L две задачи с распадающимися граничными условиями.

З а д а ч а B1 :

ly y q x y y,

U1,1 y y 0 a11y 0 0,

U2,1 y y a22y 0.

З а д а ч а B2 :

ly y q x y y,

U1,2 y y 0 a12y 0 0,

U2,2 y y a22y 0.

Пусть k,1, k,2 – собственные значения этих задач.

Теорема 2. Пусть a11 a12, a11 a12. Если собственные значения задач L и L, B1 и B1, B2 и B2 совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то коэффициенты уравнений и константы в граничных условиях задач L и L также совпадают, т. е. q x q x , aij aij , i, j 1, 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применив теорему единственности Бор-

Для доказательства теоремы осталось показать, что a21 a21. Покажем это.