Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

72 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

Кроме того, имеем

q y1 , q y1 , 1

q y1 , 1 q y1 , q y1 , q y1 , 1

q q y1 , 1 q y1 , 1 y1 , 1 .

Отсюда получаем

y1 x, 1 y1 x, 1 C4Λ C7Λ C8 max q q

0,

C9 max y1 , 1 y1 , 1 . (2.33)

0,

Из неравенства q q L2 0, C1Λ следует, что

q q C 0, C10Λ.

Отсюда и из (2.33) вытекает неравенство

max y1 , 1 y1 , 1 C11Λ.

0,

Следовательно,

y1 , 1 y1 , 1 C12Λ.

Аналогичные оценки справедливы для значений функций y2 , ,

y1 , , y2 , при 1 и 2. Поэтому для функций D, D1, D2 из (2.24) имеем

D D C13Λ, D1 D1 C13Λ, D2 D2 C13Λ.

Оценим теперь

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 73

Поскольку D 0 и D 0, найдется число r, такое что DD r. Следовательно,

1 1 .

DD r

Кроме того, имеем

D1D D1D D D1 D1 D1 D D C14Λ,

откуда,

a1 a1 C2Λ.

Аналогично показывается неравенство

a2 a2 C2Λ,

которые и завершают доказательство теоремы.

Пример 3. Пусть известны собственные значения вспомогательных задач M1 и M2:

Неизвестные значения найдены верно, они приближенно совпа-

дают с коэффициентами q x 0, a11 1, a12 2, a21 0, a22 0 задачи L, по которой были взяты собственные значения вспомога-

тельных задач. (Значения k , k были взяты соответствующими задаче L точно, а 1, 2 – лишь с точностью до шестого знака после запятой.)

В заключении отметим, что из доказательств теорем 8 и 9 следует также, что в формулировках этих теорем вместо соседних достаточно больших собственных значений задачи L могут быть использованы и произвольные достаточно большие собственные значения с номерами различной четности, например, 1000-е и 1 000 001-е.

74Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

2.2.Единственность, разрешимость и устойчивость решения

обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями 2-го типа

2.2.1.Теорема единственности

Здесь q x – суммируемая функция, ai, bj (i 1, 2, 3, 4, j 1, 2) – комплексные постоянные, причем хотя бы один из коэффициен-

тов ai и хотя бы один из коэффициентов bj отличны от нуля. Собственные значения этой задачи будем обозначать через k. Будем говорить, что задача (2.35)– (2.37) записана в канониче-

ском виде, если коэффициент a4 0, когда b1 0, а также a3 0,

когда b1 0.

Задачу (2.35)– (2.37) всегда можно привести к кананическому виду. Действительно, если b1 0, то b2 0 и краевое условие (2.37) принимает вид y 0. Поэтому можно считать, что a4 0 в краевом условии (2.36). Если же b1 0, то можно считать, что a3 0.

Действительно, из краевого условия (2.37) получим y 0 b2 y . b1

Подставив это выражение в краевое условие (2.36), имеем

U1 y a1y 0 a2y b2 a3 a4 y 0.

b1

Как видим, в этом преобразованном условии коэффициент при

y 0 равен нулю, а коэффициент b2 a3 a4 можно считать новым коэффициентом a4. b1

Далее везде будем считать, что задача (2.35)– (2.37) уже записана в каноническом виде.

Задачу (2.35)– (2.37), записанную в каноническом виде, в дальнейшем мы будем называть задачей L. Условимся в дальнейшем задачу типа L, но с другими коэффициентами в уравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать всюду L. Всюду будем считать, что, если некоторый символ обозначает объект, относящийся к задаче L, то этот же символ с «волной» наверху

Тогда справедливы следующие асимптотические формулы:

y1 x, cos sx 1s u x sin sx O s12 ,

1s sin sx s12 u x cos sx O s13 , y1 x, s sin sx u x cos sx O 1s , y2 x, cos sx 1s u x sin sx O s12 ,

U2 y1 x, U2 y2 x,

причем алгебраическая кратность собственного значения совпадает с кратностью корня функции ( [111, c. 29]).

Поскольку 0, то теоремы Адамара, получаем, что функция восстанавливается по своим нулям с точностью до мно-

Подставив асимптотические формулы решений y1 x, , y2 x, в (2.39), получим

a2y1 , a3 a4y1 , b2y2 ,

a1 a2y2 , a4y2 , b1 b2y1 , ,

откуда

a1b1f1 a2b2f2 a3b2 a4b1 f3

a2b1f4 a1b2f5 , (2.41)

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 77

где

f1 1,

f2 y2 , y1 , y1 , y2 , 1 O 1s , f3 y2 , 1s sin s O s12 ,

f4 y2 , cos s O 1s , f5 y1 , cos s O 1s .

Такое же представление будет, очевидно, и у характеристического определителя задачи L:

a1b1f1 a2b2f2 a3b2 a4b1 f3

Из асимптотических представлений для функций fi i 1, 2, 3, 4, 5 следует, что следующие три функции – любая из функций

f1 или f2 , любая из функций f4 или f5 , а также функция f3 – образуют систему линейно независимых функций.

Функции f1 и f2 являются линейно зависимыми, причем

f1 f2 .

Это следует из формулы Лиувилля [75, c. 95] и того, что f1

и f2 являются детерминантами Вронского в точках x 0 и x соответственно:

y2 0, y1 0, y1 0, y2 0, 1 W y1, y2 , y2 , y1 , y1 , y2 , W y1, y2 .

Функции f4 и f5 могут быть линейно зависимыми, а могут быть и линейно независимыми (за счет последующих членов

разложения из O 1s ). Если эти пары функций все же линейно зависимы, то из из асимптотических представлений для этих

функций следует, что f4 f5 . Так будет, например, в случае

q x 0:

Функции f4 и f5 не совпадают, а значит линейно независимы. В противном случае из асимптотических представлений для f4

и f5 получили бы f4 f5 , а это противоречит тому, что

f4 f5 . Таким образом, функции f4 и f5 линейно независимы в случае q x 2 tg2 x. В любом случае из (2.43)

и линейной независимости соответствующих функций имеем

Как уже отмечалось выше из теоремы 1.5.4 [172, c. 66] о единственности решения обратной задачи для L1 и L2 следует, что b1 b1 и b2 b2. Возможны два случая: 1) b1 b1 0; 2) b1 b1 0.

1) Если b1 b1 0, то b2 b2 0 и краевая задача (2.35)– (2.37) представлена в каноническом виде, то, как отмечалось выше, a4 0 в краевом условии (2.36). Для задачи L аналогично получаем, что a4 0. Тогда из (2.44)– (2.46) имеем

ai Cai, i 1, 2, 3, 4.

Поэтому краевые условия задач L и L и сами задачи эквивалентны.

2) Если же b1 b1 0 и краевая задача (2.35)– (2.37) представлена в каноническом виде, то, как отмечалось выше, a3 0. Из (2.45) следует, что a4 Ca4. Далее, (2.44) и (2.46) представляют собой линейную однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных a1 Ca1 , a2 Ca2 . Определитель этой системы D b21 b22 0, так как по условию теоремы

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 79

b1 b2. Поэтому имеем a1 Ca1, a2 Ca2. Таким образом, если

b1 b1 0, то

ai Cai, i 1, 2, 3, 4.

Поэтому краевые условия задач L и L и сами задачи эквивалентны. Теорема единственности доказана.

2.2.2. Этапы восстановления задачи L

Мы рассмотрим два метода восстановления задачи L. Оба метода состоят из двух этапов. На первом этапе восстанавливается дифференциальное уравнение (коэффициент q x ) и второе краевое условие (2.37). На втором этапе на основе полученных данных восстанавливается краевое условие (2.36). Два рассматриваемых метода будем разделять только по восстановлению краевого условия (2.36).

2.2.3. Метод восстановления вспомогательных задач L1 и L2

Первый этап является общим для обеих методов. Он основан на восстановлении задач L1 и L2 по их собственным значениям согласно методу, изложенному в теореме 1.5.4 [172, c. 66]. Напомним этот метод:

Для того чтобы вещественные числа k, k n 0 были спектрами задач L1 и L2 с q x L2 0, , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

Функция q x и числа b1 и b2 строятся последующему алгоритму:

1) по заданным числам k, k k 0 находим числа k по формуле

d

k d k d k ,

80 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

где d и строятся по формулам

где функция G x, t находится из интегрального уравнения Гельфанда–Левитана

x

G x, t F x, t G x, s F s, t ds 0, 0 t x,

0

в котором

∞

Итак, дифференциальное уравнение (коэффициент q x ) и второе краевое условие (2.37) можно восстановить согласно изложенной выше теореме 1.5.4 [172, c. 66].

Изложим теперь методы восстановления краевого условия (2.36).

2.2.4. Первый метод восстановления задачи L

Поскольку 0 является целой функции порядка 1 2, то из теоремы Адамара, получаем, что функция восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя C 0:

∞

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 81

Отсюда и из (2.41) получаем

∞

Если b1 0, то b2 0 и a4 0. Можно считать, что b2 1 и поэтому из (2.47) получаем

Функции f2 , f3 , f5 линейно независимы. Пусть функции g2 , g3 , g5 образуют сопряженно биортогональную систему

к системе функций f2 , f3 , f5 в некотором гильбертовом пространстве H со скалярным произведением , . Умно-

жив (2.48) справа на g2 , получим

Как видим, вектор-строка a1, a2, a3 из коэффициентов краевого условия (2.36) определяется однозначно с точностью о постоянного множителя C. Это и означает, что краевое условие (2.36) восстановлено. Таким образом, если b1 0, то a4 0, а остальные ai (i 1, 2, 3) находятся по формулам (2.49), (2.50).

Если же b1 b1 0, то можно считать, что a3 0 (задача представлена в каноническом виде). Тогда из (2.47) получаем

Cf a1b1f1 a2b2f2 a4b1f3

При b1 0, возможны два случая: 1) b2 0; 2) b2 0.