Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 93

значениям задачи L. Для однозначности восстановления задачи L надо, чтобы два собственных значения задачи L удовлетворяли условию rank F 2.

Контрпример 2. Если задача L является задачей Коши

y y, y 0, y 0,

то она не имеет собственных значений. Поэтому второй метод не может быть применен (нет двух собственных значений задачи L, которые необходимы для применения метода).

Контрпример 3. Пусть собственные значения k есть корни уравнения

собственные значения k задачи L2 есть корни уравнения

1

sin k cos k 0,

k

а два собственных значения k задачи (2.35)– (2.37) таковы, что

k1 sk1 1, k2 sk2 3.

(Заметим, что собственные значения взяты теми же, что в примере 4 п. 2.2.5 на с. 87).

Согласно методу, изложенному в теореме 1.5.4 [172, c. 66], по собственным значениям k и k находим q x 0, b1 1, b2 2.

Далее, ранг матрицы

равен единице. Поэтому второй метод здесь неприменим, причем он неприменим для любой пары собственных значений (sk1 1 2k, sk2 1 2m) задачи

y y, y 0 y 0, y 0 2y 0

из примера 4 п. 2.2.5.

2.3. Обратная задача для пучка дифференциальных операторов 95

Условимся в дальнейшем задачу типа L, но с другими коэффициентами в уравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать всюду L. Всюду будем считать, что если некоторый символ обозначает объект, относящийся к задаче L, то этот же символ с «волной» наверху обозначает аналогичный объект задачи L.

Теорема 1 (о двойственности решения). Если sk sk ,

k k , k k , то либо L L, либо L L . Таким образом, задание трех спектров определяет коэффициен-

ты пучка (2.66)– (2.68) двойственным образом: либо q x

q x , q1 x q1 x , aij aij, i 1, 2, j 1, 2, 3, 4, либо q x

q x , q1 x q1 x , a11 a11, a12 a12, a13 a21, a14 a22,

a21 a13, a22 a14, a23 a23, a24 a24.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из следствия 1 теоремы 1 работы [46] о единственности решения обратной задачи для L1 и L2 следует,

что q x q x , a11 a11, a12 a12, a23 a23, a24 a24.

Осталось показать, что либо a13 a13, a14 a14, a21 a21,

a22 a22, либо a13 a21, a14 a22, a21 a13, a22 a14. По-

кажем это.

Пусть x, s и x, s являются решениями уравнения (2.66) при условиях

0, s , s 1, V1 V2 0.

Функция

U1 U1

s

U2 U2

является характеристической функцией задачи (2.66)– (2.68). Имеем

s a13 isa14 a21 isa22 0 1

a13 isa14 a21 isa22 V1 V12

s2a14a22 is a13a22 a14a21 a13a21 f1 s

a13 a21 is a14 a22 f2 s f3 s ,

где

f1 s , s 0, s 1,

f2 s V1 x, s ,

f3 s V12 x, s .

Аналогично характеристический определитель задачи L имеет вид

2

s a14a22 is a13a22 a14a21 a13a21 f1 s

a13 a21 is a14 a22 f2 s f3 s ,

В [46] показано, что при s ∞ равномерно по x 0,

Из этих асимптотических представлений следует, что s является целой функцией первого порядка роста. Отсюда и из теоремы Адамара, а также того, что собственные значения задачи L – корни характеристического определителя [111, c. 29] получаем

Покажем, что в (2.72) число a равно нулю. Докажем это от противного. Пусть a 0. Тогда функции

f1 s , sf1 s , s2f1 s , f1 s eas, sf1 s eas, s2f1 s eas, f2 s , sf2 s , f2 s eas, sf2 s eas, f3 s , f3 s eas

линейно независимы.

2.3. Обратная задача для пучка дифференциальных операторов 97

Действительно,

f1 s , s 0, s 1

0

Если a 0, то из (2.72) следует в частности, что коэффициент 2 при s2 sin2 s w 1 в разложении

s s exp as b

равен нулю. Однако равенство

2 1 a212 1 a224 0

противоречит условиям a12 1, a24 1.

Таким образом, a 0 и поэтому из (2.72) и линейной независимости функций

f1 s , sf1 s , s2f1 s , f2 s , sf2 s , f3 s

98 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

получаем

Пусть реализуется случай 3). Тогда (2.74) можно переписать в виде

a13 a21 a14 a22 0.

Последнее равенство возможно только тогда, когда a13 a21 0 или a14 a22 0. Если a13 a21 0, то получаем

a13 a21 a21, a21 a13 a13,

т. е. реализуется случай 2). Если же a14 a22 0, то

a14 a22 a14, a22 a14 a22,

т. е. реализуется случай 1). Таким образом, равенства 3) являются частными случаями равенств 1) и 2).

Пусть реализуется случай 4). Тогда (2.74) также можно переписать в виде

a13 a21 a14 a22 0.

2.3. Обратная задача для пучка дифференциальных операторов 99

Последнее равенство возможно только тогда, когда a13 a21 0 или a14 a22 0. Если a13 a21 0, то получаем

a13 a21 a13, a21 a13 a21,

т. е. реализуется случай 1). Если же a14 a22 0, то

a14 a22 a22, a22 a14 a14,

т. е. реализуется случай 2). Таким образом, равенства 4) являются частными случаями равенств 1) и 2).

Следовательно возможны только два случая 1) и 2). Теорема доказана.

2.3.2. Теоремы единственности

Из теоремы двойственности предыдущего пункта в качестве следствий можно получить несколько теорем единственности

Теорема 2 (о единственности решения). Если sk sk ,

k k , k k , a13 a13, a14 a14, то L L. Таким об-

разом, задание трех спектров однозначно определяет коэффициенты пучка (2.66)– (2.68), если a13 и a14 известны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1 п. 2.3.1 следует, что ес-

ли sk sk , k k , k k , то q x q x , a11 a11,

a12 a12, a23 a23, a24 a24 и реализуется один из случаев: 1) (2.78), (2.80) или 2) (2.79), (2.81). Так как по условию тео-

ремы a13 a13, a14 a14, то реализуется только один случай. Это случай 1). Теорема доказана.

Теорема 3 (о единственности решения). Если sk sk ,

то L L. Таким образом, задание трех спектров однозначно определяет коэффициенты пучка (2.66)– (2.68), если знаки коэффициентов a14 и a22 известны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1 п. 2.3.1 следует, что ес-

ли sk sk , k k , k k , то q x q x , a11 a11,

a12 a12, a23 a23, a24 a24 реализуется один из случаев: 1) (2.78), (2.80) или 2) (2.79), (2.81). Если известны знаки ко-

эффициентов a14 и a22, то реализуется только один из случаев 1) или 2). Теорема доказана.

На основе теоремы 1, варьированием известной и неизвестной информацией о коэффициентах может быть получено и множество других теорем единственности, подобных теоремам 2 и 3.

Например, если известны коэффициенты a23 и a24, а не a13 и a14, то получаем следующую теорему единственности:

Теорема 4 (о единственности решения). Если sk sk ,

k k , k k , a21 a21, a22 a22, то L L. Таким об-

разом, задание трех спектров однозначно определяет коэффициенты пучка (2.66)– (2.68), если a21 и a22 известны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1 п. 2.3.1 следует, что ес-

ли sk sk , k k , k k , то q x q x , a11 a11,

a12 a12, a23 a23, a24 a24 и реализуется один из случаев: 1) (2.78), (2.80) или 2) (2.79), (2.81). Так как по условию тео-

ремы a21 a21, a22 a22, то реализуется только один случай. Это случай 1). Теорема доказана.

2.3.3. Вторая теорема двойственности и решение обратной задачи

В п. 2.3.1 была доказана теорема двойственности решения обратной задачи. Возникает вопрос: как найти эти два решения. Ниже предлагается метод построения этих двух решений и попутно доказывается еще одна (более сильная) теорема двойственности. Теорема двойственности настоящего пункта отличается тем, что вместо всего спектра задачи L используется только пять собственных значений.

Коэффициенты q x , q1 x , a11, a12, a23, a24 могут быть найдены по спектрам задач L1 и L2 с помощью метода, изложенного

в работе [46].

Осталось показать, как найти a13, a14, a21, a22.

Далее, пусть sk – собственные значения задачи (2.66)– (2.68). Тогда они являются нулями характеристического определителя

s , а значит, удовлетворяют равенствам

s2kb1 iskb2 b3 f1 sk b4 iskb5 f2 sk f3 sk 0, (2.82)

где

f1 s , s 0, s 1, f2 s V1 x, s , f3 s V12 x, s ,

a14a22 b1, a13a22 a14a21 b2, a13a21 b3,

(2.83)

a13 a21 b4, a14 a22 b5.

2.3. Обратная задача для пучка дифференциальных операторов 101

Если собственные значения sk, k 1, 2, 3, 4, 5 задачи (2.66)– (2.68) таковы, что определитель матрицы

системы (2.82) отличен от нуля, то система алгебраических уравнений относительно неизвестных b1, b2, b3, b4, b5 имеет единственное решение. Это решение может быть найдено, например, методом Крамера. Неизвестные же коэффициенты a13, a14, a21, a22 находятся по найденным b1, b2, b3, b4, b5 из системы нелинейных алгебраических уравнений (2.83). Эта система имеет два решения.

Таким образом доказана

Теорема 5 (о существовании и двойственности решения).

Если собственные значения sk, k 1, 2, 3, 4, 5 задачи (2.66)– (2.68) таковы, что определитель матрицы

системы (2.82) отличен от нуля, то эти пять собственных значений и спектры задач L1 и L2 однозначно определяют

коэффициенты q x , q1 x , a11, a12, a23, a24 и двузначным образом – коэффициенты a13, a14, a21, a22.

2.3.4. Примеры и контрпример

Пример 1. Пусть собственные значения k, k задач L1, L2 соответственно совпадают с корнями уравнения

а пять собственных значений задачи L есть следующие значения:

s1 0,9056531212 0,06149680497i,

s2 2,041092294 0,06171029871i,

s3 2,913703441 0,05042831270i,

s4 4,027054954 0,08041983165i,

s5 4,942593916 0,07462847910i.

Коэффициенты q x , q1 x , a11, a12, a23, a24 находятся по собственным значениям k, k задач L1, L2 с помощью метода, изло-

женного в работе [46]. Согласно этому методу имеем

q x q1 x a12 a24 0, a11 1, a23 3.