Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

102 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

Для нахождения коэффициентов a13, a14, a21, a22 решаем систему (2.82) методом Крамера. Получаем

b1 8, b2 10, b3 3, b4 2, b5 2

с точностью 10 5. После подстановки найденных bi в систему нелинейных уравнений (2.83) и ее решения, получаем два решения:

Таким образом, указанные спектры могут иметь две спектральных задачи:

L : y s2y 0, y 0 y 0 3 4is y 0,

y 1 2is y 0 3y 0;

L : y s2y 0, y 0 y 0 1 2is y 0, y 3 4is y 0 3y 0.

Если бы нам помимо спектров задач L, L1 и L2 было известно, что a13 3, a14 4 (теорема 2), или что коэффициенты a14, a22 положительны (теорема 3), или что a21 1 и a22 2, то мы получили бы не два, о только одно решение – задачу L.

Единственность решения может получиться и в том случае, когда оба решения совпадают. Этот случай реализуется в следующем примере.

Пример 2. Пусть собственные значения k, k задач L1, L2 соответственно совпадают с корнями уравнения

Коэффициенты q x , q1 x , a11, a12, a23, a24 находятся по собственным значениям k, k задач L1, L2 с помощью метода, изло-

женного в работе [46]. Согласно этому методу имеем

q x q1 x a12 a24 0, a11 1, a23 3.

Для нахождения коэффициентов a13, a14, a21, a22 решаем систему (2.82) методом Крамера. Получаем:

b1 0, b2 0, b3 0, b4 0, b5 0.

2.3. Обратная задача для пучка дифференциальных операторов 103

с точностью 10 5. После подстановки найденных bi в систему нелинейных уравнений (2.83) и ее решения, получаем единственное двукратное решение: a13 0, a14 0, a21 0, a22 0.

Контрпример 1. Условие второй теоремы двойственности, согласно которому определитель матрицы

системы (2.82) отличен от нуля, важно. Если оно не выполняется, то решение найдено быть не может. При практических вычислениях важно также, чтобы определитель системы не был числом, близким к нулю, т. е. чтобы система уравнений (2.82) была хорошо обусловленной. В противном случае можем получить неверный ответ.

Пусть собственные значения k, k задач L1, L2 соответственно совпадают с корнями уравнения

Коэффициенты q x , q1 x , a11, a12, a23, a24 находятся по собственным значениям k, k задач L1, L2 с помощью метода, изло-

женного в работе [46]. Согласно этому методу имеем q x q1 x a12 a24 0, a11 1, a23 3.

Для нахождения коэффициентов a13, a14, a21, a22 решаем систему (2.82):

4 2b4 200ib5 0, 4 2b4 400ib5 0, 4 2b4 600ib5 0, 4 2b4 800ib5 0, 4 2b4 1000ib5 0.

Получаем:

b1 C1, b2 C2, b3 C3, b4 2, b5 0.

Получаем не единственное решение, а бесконечное множество решений. Таким образом, при вычислениях может оказаться, что

104 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

указанные спектры могут иметь не две спектральных задачи

L : y s2y 0, y 0 y 0 3 4is y 0, y 1 2is y 0 3y 0;

L : 0, y 0 y 0 1 2is y 0,

y 3 4is y 0 3y 0,

но и бесконечное множество других задач.

Так произошло, поскольку в качестве пяти значений sk были выбраны не первые пять собственных значений, а достаточно далекие собственных значения. А при выборе далеких собственных

значений, sk стали асимптотически близки числам k. Это привело,

в свою очередь, к тому, что f1 sk , skf1 sk , s2kf1 sk стали близки к нулю, в результате чего определитель и системы (2.82) стал

близок к нулю.

Гл а в а 3

Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

3.1.Единственность восстановления общих краевых условий

3.1.1.Теорема единственности

Впредыдущих двух главах было показано, что в случае уравнения вида

y q x y y

для однозначности восстановления функции q x и коэффициентов нераспадающихся краевых условий требуется три спектра связанных между собой задач, а иногда и другие дополнительные спектральные данные. Был также рассмотрен пример, показывающий что даже в случае если функция q x равна нулю тождественно, трех спектров для восстановления только краевых условий еще недостаточно.

Этот пример наводит на мысль, что для однозначности восстановления краевых условий любой спектральной задачи одного спектра еще недостаточно. Однако оказывется, что это не так. Ниже в настоящей главе показано, что существует целый класс дифференциальных уравнений с параметром, для которых можно показать однозначность восстановления самых общих краевых условий, причем для этого достаточно использовать только один спектр.

Рассмотрим две спектральные задачи, имеющие общее уравнение:

106 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Здесь – спектральный параметр, коэффициенты b, c, aij , aij яв-

ляются комплексными числами и не зависят от параметра ,

rang aij 2×4 rang aij 2×4 2, x 0, 1 , y y x C2 0, 1 .

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) b2 4c 0; 2) b 0; 3) c 0.

Тогда если собственные значения краевых задач (3.1)– (3.3) и (3.4)– (3.6) совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то краевые условия этих задач эквивалентны (т. е. линейные формы U1 y , U2 y линейно выражаются через формы U1 y , U2 y ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1, 2 – корни характеристического уравнения 2 b c 0 (согласно условию теоремы 12). Тогда

2 1

являются линейно независимыми решениями уравнения (3.1), удовлетворяющими условиям

M12 y1 0 y2 0 y1 0 y2 0 M13 y1 0 y2 1 y1 1 y2 0

M14 y1 0 y2 1 y1 1 y2 0 M23 y1 1 y2 0 y1 0 y2 1

M24 y1 0 y2 1 y1 1 y2 0 M34 y1 1 y2 1 y1 1 y2 1 .

записывается следующим образом:

M12f1 M13f2 M14f3

Поэтому функции f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 линейно независимы как функции от . Последнее проверяется непосред-

ственно по определению линейной независимости функций. Следовательно,

0

(иначе бы имели M12 M13 M14 M23 M24 M34 0, что противоречит условию теоремы, согласно которому ранг матри-

цы aij 2×4 равен двум).

По теореме об аналитической зависимости решений от параметра функции y1 x, , y2 x, являются целыми. Поэтому ха-

U2 y1 x, U2 y2 x,

также является целой функцией.

Поскольку 0, то из теорем Вейерштрасса о представлении целой функции с помощью своих нулей следует, что функция восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя Ceg , где g – произвольная целая функция.

Поскольку функции y1 x, , y2 x, являются целыми функциями первого порядка, то характеристический определитель также является целой функцией первого порядка. Отсюда, используя теорему Адамара, получаем, что функция восстанавливается

108 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

по своим нулям с точностью до множителя Cea , где a – произвольное число.

Известно [111, c. 27–29], что нули определителя являются собственными значениями задачи (3.1)– (3.3), причем кратность нуля функции совпадает с алгебраической кратностью соответствующего собственного значения задачи (3.1)– (3.3).

Поскольку собственные значения задач (3.1)– (3.3) и (3.4)– (3.6) совпадают с учетом их алгебраической кратности, то характеристический определитель задачи (3.1)– (3.3) и характеристический определитель задачи (3.4)– (3.6) связаны тождеством

Cea .

Отсюда

где

Заметим, что число a в тождестве (3.11) равно нулю. (Действительно, предположив противное, из (3.11) получим равен-

ства M12 M13 M14 M23 M24 M34 M12 M13 M14

M23 M24 M34 0, которые противоречит условию теоремы, согласно которому ранги матриц aij 2×4 и aij 2×4 равны двум.) Следовательно

Из этих равенств следует, что любой минор третьего порядка матрицы

a21 a22 a23 a24

равен нулю, т. е. ранг матрицы равен 2. А это означает, что U1 y , U2 y линейно выражаются через формы U1 y , U2 y , что и требовалось доказать.

3.1.2. Контрпримеры

Здесь показано, что все условия теоремы существенны. Первые три примера, приводимые ниже, показывают, что в случае отсутствия только одного из условий 1), 2), 3), единственность восстановления краевых условий нарушается. Четвертый пример показывает, что для восстановления краевых условий следует использовать весь набор собственных значений. Исключение из набора лишь одного собственного значения уже приводит к нарушению однозначности восстановления краевых условий.

Пример 1 (отсутствует только первое условие теоремы: b2 4c0, b 0, c 0).

Спектральные задачи

не выражаются через формы U1 y и U2 y ).

Тем не менее множества собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

Действительно, фундаментальная система решений уравнения l y, y 2 y 2y 0, удовлетворяющая условию

110 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Как видим характеристические определители совпадают, следовательно совпадают и собственные значения соответствующих спектральных задач с учетом их алгебраических кратностей (обе задачи имеют лишь одно собственное значение 2, алгебраическая кратность которого равна единице).

Пример 2 (отсутствует только второе условие теоремы: b 0, b2 4c 0, c 0).

Спектральные задачи

не выражаются через формы U1 y и U2 y ).

Тем не менее множества собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

Действительно, фундаментальная система решений уравнения l y, y 2y 0, удовлетворяющая условию

Как видим характеристические определители совпадают, следовательно совпадают и собственные значения соответствующих спектральных задач с учетом их алгебраических кратностей.

Пример 3 (отсутствует только второе условие теоремы: c 0, b2 4c 0, b 0).

не выражаются через формы U1 y и U2 y ).

Тем не менее множества собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей (оба множества являются пустыми).

Действительно, фундаментальная система решений уравнения выражается следующими равенствами:

1.

Как видим, характеристические определители совпадают и спектры обеих спектральных задач образуют пустое множество.

Пример 4 (неполный набор собственных значений). Спектральные задачи

l y, y 3 y 2 2y 0, l y, y 3 y 2 2y 0,

не являются эквивалентными.

Множества отличных от нуля собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

Действительно, фундаментальная система решений уравнения выражается следующими равенствами: