Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

112 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Поэтому

Отличные от нуля собственные значения обеих спектральных задач совпадают с множеством 2 i k k Z!0 . Алгебраические кратности их для обеих задачи также идентичны (они равны единице).

3.1.3. Алгоритм восстановления краевых условий

Выше было показано, что задача отыскания неизвестных линейных форм U1 y , U2 y по собственным значениям имеет единственное решение (в том смысле, что линейные оболочки составленные из коэффициентов этих линейных форм определяются однозначно). Следующий вопрос состоит в том, как по набору собственных значений построить эти линейные формы.

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов aij форм U1 y и U2 y , через A :

a21 a22 a23 a24

Отыскание форм U1 y , U2 y равносильно нахождению линейной оболочки a1, a2 , построенной на векторах a1 a11, a12, a13,

a14 , a2 a21, a22, a23, a24 .

Отыскание же линейной оболочки a1, a2 , построенной на век-

торах a1 a11, a12, a13, a14 , a2 a21, a22, a23, a24 , разбивается на два этапа:

1)получение всех миноров второго порядка матрицы A;

2)получение по этим минорам линейной оболочки a1, a2 . Задача получения всех миноров второго порядка матрицы A

сводится к задаче нахождения коэффициентов разложения характеристического определителя по известным функциям, которые образуют линейно независимую систему.

Вторая задача получения линейной оболочки a1, a2 по всем минорам второго порядка матрицы A может быть решена методами

линейной алгебры, исходя из того, что любой вектор x, принадлежащий линейной оболочке векторов a1, a2 , должен удовлетворять условию rank a1a2x 2.

Заметим, что задача получения линейной оболочки a1, a2 по всем минорам второго порядка матрицы A эквивалентна задаче линейной алгебры – отысканию рангового подпространства по своему направляющему бивектору [121]. Ее можно также интерпретировать в терминах проективной геометрии как отыскание проективной прямой по координатам Плюккера (см. [103]). Второй этап доказательства теоремы единственности можно было провести, например, с помощью понятия бивектора, основываясь на том [121, следствие на с. 83], что между классами пропорциональных, отличных от нуля бивекторов и двумерными подпространствами векторного пространства имеется естественное биективное соответствие. В этом соответствии каждому подпространству отвечает внешнее произведение a1 a2 векторов произвольного его базиса a1, a2, а каждому бивектору a1 a2 – подпространство a1, a2 . Второй этап доказательства теоремы единственности можно было провести также и с помощью понятия координат Плюккера, основываясь на том [103, следствие на с. 240], что координаты Плюккера однозначно определяют проективную прямую.

Однако нам представляется более правильным не прибегать к дополнительной терминологии. Поэтому мы не использовали при доказательстве теоремы единственности понятия поливектора и координат Плюккера. Дальнейшее изложение результатов и соответствующие доказательства также будут проведены без использования этих понятий. Алгоритм построения линейных форм краевых условий лучше поясним на примере.

Пример 5. Пусть известно, что набор всех собственных зна-

образует множество 2 ik k Z , причем алгебраические кратности всех отличных от нуля собственных значений равны 1. Нуль также является собственным значением, причем его алгебраическая кратность равна 2. Требуется восстановить краевые условия.

114 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Линейно независимыми решениями уравнения (3.12), удовлетворяющими условиям:

Собственные значения k спектральной задачи есть множество2 ik k Z). Алгебраическая кратность отличных от нуля собственных значений равна единице, а алгебраическая кратность ну-

значениями задачи (3.12)– (3.14), причем кратность нуля функции

совпадает с алгебраической кратностью соответствующего собственного значения задачи (3.12)– (3.14). Поэтому характеристический определитель задачи (3.12)– (3.14) имеет корни в точках 2 ik k Z , причем кратность нулей 2 ik k Z!0 равна 1, а кратность корня 0 равна 2.

Из теоремы Вейерштрасса следует, что целая функция, имеющая нули в точках 2 ik k Z представляется следующим

образом:

f C eg e 1 ,

где g – произвольная целая функция.

Найдем ту из этих функций f , которая может быть характеристическим определителем задачи (3.12)– (3.14). Поскольку линейно независимые решения уравнения (3.12) являются целыми функциями первого порядка, характеристический определитель

также является целой функцией первого порядка. Отсюда и из теоремы Адамара следует, что должно быть справедливо следующее

тождество:

C ea e 1 ,

где a – произвольное число. Таким образом,

M12 M13 1 e e2 M14 e 2e2

M23 2e e2 M242 e e2 M34e3 C ea e 1 .

Заметим, что a 1. В противном случае из последнего тождества и линейной независимости функций

получили бы, что C 0 (т. е. спектр заполняет всю комплексную плоскость), а это противоречит тому, что спектр образует множество 2 ik k Z ).

Таким образом, a 1. Отсюда и из линейной независимости

оболочки a1, a2 . Тогда координаты вектора x удовлетворяют

(все окаймляющие M12 миноры должны быть равны нулю).

116 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Разлагая определители (3.16) по третьей строке, получаем

x1M24 x2M14 x4M12 0,

x2M34 x3M24 x4M23 0,

откуда следует, что x1 0 и x3 0, а произвольный вектор искомой линейной оболочки имеет вид: x 0, x2, 0, x4 .

В качестве базисных векторов этой линейной оболочки можно

выбрать, например, векторы a1 0, 1, 0, 0 и a2 0, 0, 0, 1 . Следовательно искомые краевые условия имеют вид y 0 0,

y 1 0.

3.1.4. Случай, когда корни характеристического уравнения – константы

Рассмотрим две краевые спектральные задачи, порожденные одним общим уравнением

где – спектральный параметр, x 0, 1 ,

p1 x, p10 p11 x , p2 x, 2p20 p21 x p22 x ,

Теорема 2. Если собственные значения краевых задач (3.17), (3.18) и (3.17), (3.19) совпадают с учетом их кратностей, и, кроме того, если выполнены следующие три ус-

ловия: 1) p210 4p20 0; 2) p10 0; 3) p20 0, то совпадают и сами краевые задачи.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно условию 1 теоремы корни 1,2 характеристического уравнения 2 p10 p20 0 являются различными. Поэтому [149] уравнение (3.17), имеет фундаментальную систему решений y1 x, , y2 x, , причем эти решения и их производные допускают при Re, ∞ асимптотические разложения

yk x, e k x uk0 x 1uk1 x 2uk2 x O 3 , (3.20)

Здесь uk0 0, k 1, 2. Введем обозначения:

f1 y1 0, y2 1, y2 0, y1 1, , f2 y1 0, y2 0, y1 0, y2 0, , f3 y1 0, y2 1, y2 0, y1 1, , f4 y1 1, y2 0, y1 0, y2 1, , f5 y1 1, y2 1, y2 1, y1 1, , f6 y1 0, y2 1, y2 0, y1 1, .

Покажем сначала, что система функций fi 6i 1 при выполнении условий теоремы образует линейно независимую систему, т. е., что тождество

6

i 1

выполняется только в случае, если i 0 i 1, 2, . .. , 6 . Подставим асимптотические разложения (3.20), (3.21) в выра-

жения для fi , i 1, 2, ... , 6. В результате получим

f1 e 2 u10 0 u20 1 e 1 u10 1 u20 0 e 1 O 1

e 2 O 1 ,

f2 u10 0 u20 0 2 1 O 1 ,

118 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

1 2e 1 2 2e 2 3 e 1 2

4 e 1 5 e 2 6 7e 1 8e 2

e 1 O 1 e 2 O 1 e 1 2 O 1 O 1 0. (3.23)

Здесь

1 6 1 2u20 0 u10 1 ,2 6 1 2u10 0 u20 1 ,

3 5 2 1 u10 1 u20 1 ,

4 3 1 4 2 u20 0 u10 1

6 1 2 u10 0 u21 0 1 u20 1

2

u20 1 u11 1 1 u10 1 ,

1

5 3 2 4 1 u20 1 u10 0

6 1 2 u10 0 u21 1 1 u20 1

2

u20 1 u11 0 1 u10 0 ,

1

6 2 2 1 u10 0 u20 0 ,

7 1u10 1 u20 0

Из условий теоремы следует, что числа 1, 2, 1 2, 2 1 отличны от нуля. Следовательно, тождество (3.23) возможно только

120 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

в том случае, когда все j j 1, 2, ... , 8 равны нулю. Далее, так

как числа uij 0 , uij 1 i 1, 2, j 0 , 1, 2, 1 2, 2 1 отличны от нуля, система линейных однородных уравнений

i i 1, 2, . .. , 6 0, i 1, 2, . .. , 8,

имеет только нулевое решение i 0, i 1, 2, ... , 6. Поэтому тождество (3.22) возможно только в том случае, когда все i

i 1, 2, . .., 6 равны нулю. А это и означает, что функции fi 6i 1 линейно независимы.

Пусть: z1 x, , z2 x, – линейно независимые решения уравнения (3.17), удовлетворяющие условиям

– характеристический определитель задачи (3.17), (3.18);

– характеристический определитель задачи (3.17), (3.19).

Из линейной независимости функций y1 x, , y2 x, и равенства (3.24) следует, что решения z1 x, , z2 x, линейно выражаются через y1 x, , y2 x, по следующим формулам:

где g – некоторая целая функция, выбор которой будет осуществлен позже.

Характеристическим определителем этой краевой задачи является следующая функция :

Из (3.29) следует, что собственные значения спектральных задач (3.17), (3.19) и (3.17), (3.27),(3.28) совпадают. Поэтому, согласно условию теоремы, совпадают и собственные значения задач (3.17), (3.18) и (3.17), (3.27), (3.28).

Собственные значения задачи (3.17), (3.18) являются (см. [111, с. 27]) корнями целой функции

U2 z1 x, U2 z2 x,

Так как 0, из формулы Вейерштрасса (о представлении целой функции с помощью ее нулей) следует, что

где f – некоторая целая функция. Выберем в (3.28) функцию g тождественно равной f . Тогда из тождеств (3.29) и (3.30) получим

,

Воспользовавшись (3.25), (3.26) и тем, что 1 D 0, из последнего тождества получаем

M12 M12 f1 M13 M13 f2 M14 M14 f3

M23 M23 f4 M24 M24 f5

M34 M34 f6 0. (3.31)