Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 63

Количество собственных значений k задачи L бесконечно, причем при k ∞ собственные значения удовлетворяют следующей асимптотической формуле (2.11):

что означает, что D 2, а значит, отделено от нуля для достаточно больших m. Если же вместо N и N 1 подставить в (2.22)

значения 2m и 2m 1 соответственно, то получим, что D 2. Таким образом, в любом случае определитель D отличен от нуля для соседних достаточно больших N и N 1. Поэтому решение задачи отыскания a11 и a12 по двум соседним достаточно большим собственным значениям N и задачи L дается формулами Крамера

Разрешимость обратной задачи доказана.

Пример 2. Пусть N 1002 , N 1 1012 , sk являются корня-

a11 a12 2 , a11 a12 2

по формулам Крамера (2.13): a11 0, a12 1 2.

64 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

Задача L восстановлена. Это задача (2.19):

2.1.7. Устойчивость решения обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

В настоящем пункте рассмотрена устойчивость решения обратной задачи Штурма–Лиувилля для L в случае нераспадающихся граничных условий.

Хотя впервые проблема устойчивости решения обратных задач была поставлена еще в 1943 г. А. Н. Тихоновым [153], тем не менее изучение устойчивости обратной задачи для L с нераспадающимися краевыми условиями началось сравнительно недавно [243]. Настоящий параграф посвящен доказательству устойчивости и корректности обратной задачи для L с нераспадающимися краевыми условиями, более общими нежели в работе [243]. Полученные теоремы дополняют теоремы единственности, доказанные авторами в предыдущих параграфах, и теорему устойчивости из [243], где рассматривался частный случай задачи L (a12 a21 b R), а также дают алгоритм построения решения обратной задачи.

Наряду с задачей L мы рассматриваем две задачи с распадающимися граничными условиями.

З а д а ч а M1:

ly y q x y y,

U1,1 y y 0 a21y 0 0,

U2,1 y y a22y 0.

З а д а ч а M2:

ly y q x y y,

U1,2 y y 0 a21y 0 0, U2,2 y y 0.

Пусть k, k, k – собственные значения задач L, M1 и M2 соответственно.

Сформулируем для L обратную задачу.

О б р а т н а я з а д а ч а: требуется найти потенциальную функцию q x и константы a11, a12, a21, a22 граничных условий

где функция G x, t находится из интегрального уравнения

Гельфанда–Левитана

x

G x, t F x, t G x, s F s, t ds 0, 0 t x,

∞

Из этой теоремы следует, что коэффициенты q x , a21, a22 находятся однозначно по собственным значениям k, k задач M1 и M2. Соответствующий алгоритм построения неизвестных в этой теореме также приведен. Для доказательства теоремы 3 осталось показать однозначность нахождения коэффициентов a11, a12, которая устанавливается также, как при доказательстве теоремы 7.

Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 7 получим, что если N и N 1 – два соседних собственных значения задачи L, то согласно (2.20) они удовлетворяют системе двух линейных алгебраических уравнений (2.21). Поэтому решение задачи отыскания a11 и a12 по двум соседним достаточно большим собственным значениям N и N 1 задачи L дается формулами

Таким образом, получена не только единственность, но и метод восстановления по двум собственным значениям задачи L и спектрам задач M1, M2. Как следует из теоремы 1.5.4 [172, c. 66], попутно найден и метод восстановления задачи L по ее двум собственным значениям, а также по спектру и весовым числам задачи M1.

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 67

Контрпример 3. Выберем в качестве задачи L задачу с коэффициентами q x 0, a11 1 2, a12 1, a21 1 2, a22 0:

Пусть задача L отличается от L только двумя коэффициентами

a11 0 a11 и a12 1 2 a12).

Тогда соответствующие задачи M1 и M1, а также M2 и M2 совпадают и имеют следующий вид.

Задача M1 :

ly y q x y y,

U1,1 y y 0 12 y 0 0, U2,1 y y 0.

Задача M2 :

ly y q x y y,

U1,2 y y 0 12 y 0 0, U2,2 y y 0.

Характеристический определитель задачи (2.17) выражается формулой

Отсюда следует, что 1 1 4 и 2 1 являются соседними собственными значениями как задачи L, так и задачи L (соседство собственных значений можно проверить по графикам функций ).

Таким образом, в качестве соседних собственных значений N и N 1 для однозначности восстановления задачи L надо выбирать достаточно большие собственные значения.

Покажем существенность условия теоремы, согласно которому совпадающие достаточно большие собственные значения задач L и L должны быть соседними. Ниже приводится контрпример, который показывает, что при выборе в качестве чисел N и N 1 собственных значений задачи L, не являющихся соседними, утверждение теоремы не выполняется.

68 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

Контрпример 4. Выберем в качестве задачи L задачу с коэф-

U2,2 y y 0.

В этом случае характеристический определитель задачи L выражается формулой

Отсюда следует, что N 1002 и N 2 1022 являются собственными значениями двух разных задач L и L.

Таким образом, в качестве достаточно больших собственных значений N и N 1 для однозначности восстановления задачи L надо выбирать соседние собственные значения.

Отметим, что из доказательства теоремы 6 следует также, что в формулировке этой теоремы вместо соседних достаточно больших собственных значений задачи L могут быть использованы и произвольные достаточно большие собственные значения с номерами различной четности, например, 1000-е и 1 000 001-е.

Заметим, что в [62] доказаны не только теоремы единственности и разрешимости, но и приведена сама процедура восстановления

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 69

задачи R по ее собственным значениям sk. Это позволяет получить алгоритм восстановления задачи L. Действительно, по значениям sk мы можем восстановить R, а затем, используя формулу (2.24), по найденным q x , a21, a22, а также собственным значениям N и N 1 задачи L, восстанавливаем a11, a12. Ниже приведен пример применения этого алгоритма.

Теорема 9. Пусть дана задача L. Существует такое 0

то существует единственная краевая задача L с q xC 0, , для которой числа 1, 2, k k 0, k k 0 являются двумя собственными значениями L0 и спектрами задач M1 и M2 соответственно, причем

q q L2 0, CΛ, a1 a1 CΛ, a2 a2 CΛ,

b1 b1 CΛ, b2 b2 CΛ,

где C зависит только от L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В. А. Юрко доказана следующая теорема [243, теорема 2.1, c. 270–271]:

Обозначим через M следующую самосопряженную задачу.

З а д а ч а M :

ly y q x y y,

U1,1 y y 0 a21y 0 by 0,

U2,1 y y a22y b y 0 0,

где q x C 0, , a21, a22, b R, b a12 a21.

Пусть zk k 0 и k k 0 – собственные значения задач M и M1 соответственно. Тогда существует число 0 (зависящее от M) такое, что если zk k 0 и k k 0 удовлетворяют