Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

функции g1 , g3 , g4 образуют сопряженно биортогональную систему к системе функций f1 , f3 , f4 в некотором гильбертовом пространстве H со скалярным произведением , . Умножив (2.52) справа на g1 , получим

2): рассмотрим случай b1 0 и b2 0. Напомним, что в этом случае можно считать, что a3 0. Найдем коэффициенты остальные ai, i 1, 2, 4, из равенства (2.51).

Как было отмечено выше, три функции f2 , f3 , f5 образуют систему линейно независимых функций; функции f1 и f2

связаны тождеством f1 f2 ; а функции f4 и f5 могут быть линейно зависимыми (в этом случае f4 f5 ), а могут

быть и линейно независимыми.

Пусть реализуется случай f4 f5 и g1 , g3 , g4

образуют сопряженно биортогональную систему к системе функций f1 , f3 , f4 в некотором гильбертовом пространстве H со скалярным произведением , . Умножив (2.51) справа

соответственно.

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 83

Коэффициент a4 найден. Он находится по формуле (2.56). Коэффициенты же a1 и a2 легко находятся из системы двух линейных

алгебраических уравнений (2.55), (2.57). Действительно, по условию теоремы b1 b2, поэтому D b21 b22 0 и

f4 f5 , коэффициент a3 0, а остальные коэффициенты ai (i 1, 2, 4) находятся по формулам (2.56),(2.58).

Если же в случае 1) (a3 0) функции f4 и f5 линейно независимыми, а функции g1 , g3 , g4 , g5 образуют сопряженно биортогональную систему к системе функций f1 , f3 , f4 , f5 в некотором гильбертовом пространстве H со скалярным произведением , , то последовательно умно-

т. е. в случае 1) (a3 0) и когда функции f4 и f5 линейно независимыми, коэффициенты ai, i 1, 2, 4 находятся однозначно по формулам (2.62), (2.61), (2.60).

Таким образом, если b1 0, то a4 0, а остальные ai (i 1, 2, 3) находятся по формулам (2.49), (2.50). Если же b1 b1 0, то краевые условия преобразуются к виду a3 0, а коэффициенты ai, i 1, 2, 4, находятся однозначно по формулам (2.53), (2.54) при b2 0; по формулам (2.56),(2.58) при b2 0 и f4 f5 ; по формулам (2.62), (2.61), (2.60), в случае, когда b2 0 и f4

f5 .

2.2.5. Примеры восстановления задачи L

первым методом

Пример 1. Пусть собственные значения k задачи L1 есть корни уравнения

k

1

собственные значения k задачи L2 есть k 2 k, а собственные значения k задачи (2.35)– (2.37) выражаются формулой

1

k sk 3 2k.

Согласно методу, изложенному в теореме 1.5.4 [172, c. 66], по соб-

Как было показано выше, если b1 0, то a4 0, а остальные ai (i 1, 2, 3) находятся по формулам (2.49), (2.50):

a2 C f , g2 , a3 C f , g3 , a1 C f , g5 .

Выберем в качестве гильбертового пространства H пространство L2 0, 4 . Функции

образуют биортогональную систему к системе функций f2 , f3 , f5 в пространстве L2 0, 4 . Поэтому имеем

2

86 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

2

Пример 3. Пусть собственные значения k задачи L1 есть корни уравнения

k sin k cos k 0,

собственные значения k задачи L2 есть корни уравнения

1

sin k cos k 0,

k

а собственные значения k задачи (2.35)– (2.37) выражаются формулой

1

k sk 3 2k.

Согласно методу, изложенному в теореме 1.5.4 [172, c. 66], по соб-

Как было показано выше, в случае 1) b1 0 и b2 0 коэффициент a3 0, а остальные коэффициенты ai (i 1, 2, 4) находятся по формулам (2.53), (2.54):

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 87

образуют биортогональную систему к системе функций f1 , f3 , f4 в пространстве L2 0, 4 . Поэтому имеем

2

2

1

a2 C f , g4 C 2 cos s s cos s ds C.

0

Таким образом, a1 C 2, a2 C, a3 a4 0. Задача L восстановлена. Это задача

y y, y 0 2y 0, y 0 0.

Пример 4. Пусть собственные значения k задачи L1 есть корни уравнения

собственные значения k задачи L2 есть корни уравнения

1

sin k cos k 0,

k

а собственные значения k задачи (2.35)– (2.37) выражаются фор-

Согласно методу, изложенному в теореме 1.5.4 [172, c. 66], по соб-

ственным значениям k и k находим q x 0, b1 1, b2 2.

∞

f 1 cos .

Как было показано выше, если b1 0, b2 0, f4 f5 , то a3 0, а остальные ai (i 1, 2, 3) находятся по формулам (2.56), (2.58):

Выберем в качестве гильбертового пространства H пространство L2 0, 4 . Функции

g1 14 ,

D b21 b22 3,

a1 D1 D C 3, a2 D2 D C 3.

Таким образом, a1 C 3, a2 C 3, a3 a4 0. Задача L восстановлена. Это задача

y y, y 0 y 0, y 0 2y 0.

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 89

2.2.6. Второй метод восстановления задачи L

Теорема 2 (о существовании и единственности решения).

Пусть два собственных значения k1 и k2 задачи (2.35)– (2.37) таковы, что ранг матрицы

b2f5 k2 b1f1 k2 b1f4 k2 b2f2 k2 f3 k2

равен 2, b1 b2. Тогда собственные значения задач L1 и L2 и два собственных значения k1 и k2 однозначно определяют сами задачи L, L1 и L2, а именно коэффициент уравнения q x , коэффициенты b1 и b2 и краевое условие (2.37) задачи L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1.5.4 [172, c. 66] следует, что коэффициенты q x , b1, b2 находятся однозначно по собственным значениям k, k задач L1 и L2.

Для доказательства теоремы осталось доказать однозначность определения краевого условия (2.36). Покажем это.

Если k – собственное значение задачи (2.35)– (2.37), то оно является корнем характеристического определителя . Отсюда

ииз (2.41) получаем

a1b1f1 k a2b2f2 k a3b2 a4b1 f3 k a2b1f4 k

a1b2f5 k 0,

По-другому последнее равенств можно записать так:

a1 b2f5 k b1f1 k a2 b1f4 k b2f2 k

a3b2 a4b1 f3 k 0.

Пусть два собственных значения k1 и k2 задачи (2.35)– (2.37)

b2f5 k2 b1f1 k2 b1f4 k2 b2f2 k2 f3 k2

равен 2, тогда система уравнений

a1 b2f5 k b1f1 k a2 b1f4 k b2f2 k

a3b2 a4b1 f3 k 0, k k1, k2 (2.63)

имеет единственное с точностью до постоянного множителя решение. Действительно, в этом случае согласно теореме Кронеке- ра–Капелли две из неизвестных a1, a2, a3b2 a4b1 однозначно

90 Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

выражаются через третью, которую можно считать произвольной константой. Из выражения для a3b2 a4b1 однозначно с точностью до постоянного множителя находятся a3 и a4. Действительно, если b1 0 и задача (2.35)– (2.37) представлена в канонической форме, то имеем b2 0 и a4 0. Значит, в a3b2 a4b1 отсутствует второе слагаемое, и поэтому a3 находится из первого слагаемого (выражение для a3 в этом случае отличается от выражения для

a3b2 a4b1 множителем 1 b2). Если же b1 0, то a3 0, а a4 находится из второго слагаемого (выражение для a4 в этом случае

отличается от выражения для a3b2 a4b1 множителем 1 b1). Таким образом, краевое условие (2.36) определяется однознач-

но и теорема доказана.

2.2.7. Примеры восстановления задачи L

вторым методом

Пример 1. Пусть собственные значения k задачи L1 есть кор-

Ранг матрицы F системы уравнений (2.64), (2.65) равен 2. Решая систему уравнений (2.64), (2.65) методом Гаусса, полу-

чаем a3 0, a2 C, a1 2C, где C – некоторая константа.

2.2. Единственность и устойчивость решения (условия 2-го типа) 91

Следовательно, краевое условие (2.36) имеет следующий вид:

U1 y 2y 0 y 0,

а искомая задача L такова:

y y, 2y 0 y 0, y 0.

Пример 2. Пусть собственные значения k задачи L1 есть кор-

k sin k cos k 0,

собственные значения k задачи L2 есть корни уравнения

1

sin k cos k 0,

k

а два собственных значения k задачи (2.35)– (2.37) таковы, что

Согласно методу, изложенному в теореме 1.5.4 [172, c. 66], по соб-

ственным значениям k и k находим q x 0, b1 1, b2 0. Далее, ранг матрицы

равен единице. Подставив значения sk1 1 3, sk2 1 3 2 в систему уравнений (2.63):

a1 b2f5 k b1f1 k a2 b1f4 k b2f2 k

a3b2 a4b1 f3 k 0, k k1, k2,

получим

a1 1 a2 cos 3 a4 3 sin 3 0,

3 sin 3

a1 1 a2 cos 3 a4 7 0.