Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

в точках zk,0, zk, соответственно.

Теорема 1. Пусть k k, ak,a ak,a, zk,a zk,a, k,a k,a.

Тогда совпадают коэффициенты и константы в граничных

условиях задач L и L, т. е. q x q x , ai,j ai,j, i, j 1, 2.

Замечание 1. Отметим, что в отличие от случая с распадающимися граничными условиями нам пришлось рассматривать данные уже трех задач: L, L0, L .

Замечание 2. Если a1,2 0, то k,a k,a 0, а множество особенностей 1,a, 1,a zk,a , zk,a пусты; поэтому

формулировка теоремы совпадает с ранее известными формулировками теорем единственности обратных задач в случае распадающихся граничных условий.

1.1.2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Функции 1,a x, есть аналитические функ-

ции от , регулярные при всех zk,a. При zk,a функции 1,a x, имеют особенности типа полюсов. Функции

2,a x, также есть аналитические функции от , регулярные при k, а при k имеют особенности типа полю-

сов. При zk,0, k функции 1,0 x, и 2,0 x, как функции переменного x линейно независимы между собой и их

определитель Вронского равен 1. Аналогичное утверждение справедливо и для функций

1, x, , 2, x, ,

если zk, , k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство об аналитической зависимости для функций 1,0 x, , для остальных функций оно аналогично.

1.1. Метод отображений пространств решений (условия 1-го типа) 23

Имеем, что

1,0 x, 2,0 x a1,1 a1,2y ,0 1,0 x ,

функции 1,0 x и 2,0 x – целые функции (они определяются условиями Коши). Поэтому особенности 1,0 x, по совпадают с особенностями y ,0 . Эта функция имеет особенности на спектре задачи L0, т. е. в точках zk,0. Посчитаем определитель Вронского, например, функций 1,0, 2,0. Вычислим его в точке нуль. Имеем

W 1,0, 2,0 1,0 0, 2,0 0, 2,0 0, 1,0 0,

1 a1,2 2,0 0, y ,0 2,0 , .

Подставляя его в равенство, которое надо доказать, и учитывая выражение для 2,0 , , получим тождественный нуль. Поэтому W 1,0, 2,0 1. Лемма доказана.

Хорошо известно, что в рассматриваемом нами случае собственные числа k задачи при достаточно больших k однократны и выражаются асимптотическими формулами

шем, что k zk,a. Учитывая это, исследуем асимптотику 1,a x, ,

2,a x, при ∞, arg const, 0, и фиксированном x.

Справедлива лемма.

Лемма 2. Если ∞ и arg const , 0, , то при

фиксированном 0 x

2

s

Здесь мы, следуя Биркгоффу, ввели обозначения:

1 O 1s 1 , s ∞,

аs s0 s , s0 const, s0 1, arg s0 0, ; Re q1 s0

Re q2 s0 , где q1 и q2 совпадают с числами 1 и 2, записан-

ными в ином порядке, 1, 2 – корни второй степени из 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например,

2,0 x, c1y1 x c2y2 x ,

где y1 x , y2 x – два линейно независимых решения таких, что во всякой области T комплексной s-плоскости они регулярные

1.1. Метод отображений пространств решений (условия 1-го типа) 25

значит,

U2 y2 ses 2 2 a2,1 1 a2,2es 2 1 ,

U2 y1 ses 1 1 a2,1 1 a2,2es 1 1 ,

U1 y1 s 1 a1,1 1 a1,2es 1 ,

U1 y2 s 2 a1,1 1 a1,2es 2 1 .

Поэтому s2es 1 1 s2es 2 1 s h , где h – некоторое число, отличное от нуля, если a2,1 a1,2 0.

Учитывая выражение для и для U2 y2 , U2 y1 , получим, что

функции 2, x, аналогично.

Проведем теперь доказательство асимптотического выражения функции 1,0 x, . Для этого необходимо получить асимптотику

при указанных , a q1 выбирается так, как указано в формулировке леммы.

Аналогично доказывается представление для 1, x, , а также представления для производных всех функций. Лемма доказана.

Известными методами доказывается следующая лемма.

Лемма 3. Можно подобрать такие числа

Hk, k2 Hk k 1 2,

26 Гл. 1. Метод отображений пространств решений

Здесь через c обозначены, вообще говоря, разные константы.

Обозначим через T ,0 линейное отображение (при каждом ) пространства расширений уравнения l в пространство решений уравнения l такое, что

T ,0 1,0 x, 1,0 x, , T ,0 2,0 x, 2,0 x,

x E2 в векторы x E2. Поэтому отображение T ,0 x мож-

Точно эти же рассуждения можно провести для отображения T , . Из леммы 1 следует следующее

Утверждение 1. Отображение T ,0 является регулярной аналитической функцией от при всех значениях таких, что k, zk,0, а отображение T , – регулярная аналитическая функция , если k, zk, .

Учитывая результаты леммы 2 и леммы 3, используя известную методику мы приходим к выводу, что справедливо следующее

Утверждение 2. Пусть заданы полупрямые P1, P2, P3, P4 комплексной плоскости , определенные соответственно

1.1. Метод отображений пространств решений (условия 1-го типа) 27

значают, вообще говоря, разные константы, не зависящие от , k, i, j).

то аналогичные утверждения справедливы для элементов

1.1.3.Доказательство теоремы единственности

Вдальнейшем важную роль будут играть следующие две леммы.

Лемма 4. Если k то

а) 1,a x, k yk,a x ,

б) 2,a x, zk,a a1 zk,a x ,

в) функции 1,a x, в окрестностях точек zk,a допускает

представление 1,a ta x, , причем справедливы равенства

zk,a

1.1. Метод отображений пространств решений (условия 1-го типа) 29

Переходя здесь к пределу при zk,a, получим

являются аналитическими функциями в окрестностях точек k, регулярными в этих точках; аналогично, функции

аналитичны в окрестностях точек zk,a, регулярны в самих точках zk,a.

из представленияй функций 1,a, 2,a, а также из того, что k zk,a.

lim ta x, k,a 1,a x, 0

zk,a

(см. утверждения б) и в) леммы 4). Таким образом, лемма доказана.

Теорема 1. Пусть

k, ak,a k,a, zk,a zk,a, k,a k,a.

Тогда совпадают коэффициенты уравнений и константы в граничных условиях задач L и L, т. е.

q x q x , ai,j ai,j, i, j 1, 2.

До к а з а т е л ь с т в о. Согласно утверждению 1, утверждению 2

илемме 5 отображения T ,a x будут регулярными аналитическими функциями, удовлетворяющими всем условиям теоремы Фрагме- на–Линделефа. Поэтому из утверждения 2 и леммы 5 следует, что

значит q x q x . Отсюда следует, что функции i,a x, , i 1, 2 совпадает с функциями i,a x, , i 1, 2 на всем отрезке. Но, как нетрудно показать,

2,0 , a2,1S 2 1 a2,1S 2 1 2,0 0, , т. е. a2,1 a2,1.

Аналогично a2,1 a2,1, поскольку 2, 0, 2, 0, . Далее, взяв тождество

2,0 0, y ,0 2, 0, 0 2,0 0, y ,0 2, 0,

(см. лемму 1), получим, что y ,0 y ,0 . Значит, учитывая второе граничное условие для функции 1,0 x, , получим, что a1,1a1,1; точно так же a2,2 a2,2. Теорема доказана.

Замечание. Можно убедиться, что существуют два различных

оператора и ˆ, у которых последовательности , ,

L L k zk,a ak,a

совпадают.

1.1.Метод отображений пространств решений (условия 1-го типа) 31

Всамом деле, рассмотрим две задачи L и L :

y q x y y,

U1 y y 0 a1,1y 0 a1,2y 0,

U2 y y a2,1y 0 a2,2y 0;

f q x f f ,

V1 f f 0 a1,1f 0 a1,2f 0, V2 f f a2,2f a1,2f 0 0.

Тогда числа k являются, как легко убедиться, нулями целой функции

f 2 , a2,2 2 , a1,1 ,

a1,2a2,1 a1,1a2,2 1 , a2,1 a1,2,

где решение 1 x, , 2 x, удовлетворяют условиям Коши:

(для простоты записи, второй индекс у этих решений опустим). Действительно,

f U1 1 U2 2 U2 1 U2 2

1 0, a1,1 1 0, a1,2 1 , 2 ,

a2,1 2 0, a2,2 2 ,

1 0, a2,1 1 0, a2,2 1 , 2 ,

a1,1 2 0, a1,2 2 ,

2 , a2,1 a2,2 2 , a1,2 1 , 2 ,

a1,2a2,1 1 ,

a1,2a2,2 1 , 2 , a1,1 1 , a1,1a2,2 1 ,

a1,2 1 , 2 , a1,2a2,2 1 , 2 ,

2 , a2,2 2 ,

a1,1 1 , a1,2a2,1 a1,1a2,2 1 , a2,1 a1,2

снулями функции f . Следовательно, собственные числа задач L и L совпадают.