Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

132 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

задачи (3.44), (3.46), который имеет такие же нули как и определитель , связаны следующим соотношением:

где K – некоторая отличная от нуля константа. Отсюда получаем, что

1 K f1 H KH f2

h Kh f3 hH KhH f4 0. (3.49)

Спомощью разложений в ряды функций f1 , f2 , f3 , f4

доказывается, что они линейно независимы. Поэтому из (3.49)

получаем равенства

K 1, h h, H H.

Таким образом, если спектры задач (3.44), (3.45) и (3.44), (3.46) совпадают, то совпадают и их краевые условия. Другими словами, коэффициенты h и H краевых условий задачи (3.44), (3.45) определяются по ее спектру однозначно.

Пример 2. Спектральные задачи

имеют одинаковый характеристический определитель

а значит и одинаковые собственные значения. Однако коэффициенты h 2, H 1 краевых условий первой краевой задачи и коэффициенты h 1, H 4 краевых условий второй краевой задачи не связаны соотношениями

h h, H H или h H, H h.

Для коэффициентов h, H, h, H выполнены равенства

h H 2, H h 2.

134 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

y2 x, уравнения (3.50) и их производные допускают при R,

∞ асимптотические разложения

yk x, e k x uk0 x 1uk1 x 2uk2 x O 3 , (3.51)

Здесь uk0 0, k 1, 2.

Пусть z1 x, , z2 x, – линейно независимые решения урав-

Обозначим характеристический определитель задачи (3.50), (3.2.1) через , а характеристический определитель задачи (3.50), (3.2.1) – через .

Из линейной независимости функций y1 x, , y2 x, и равенства (3.53) следует, что решения z1 x, , z2 x, линейно выражаются через y1 x, , y2 x, по следующим формулам:

U2 z1 x, U2 z2 x,

также является целой функцией. Поскольку корни характеристического уравнения 1 p и 2 p являются чисто мнимыми, то функция ограничена на вещественной оси, и, следовательно, является целой функцией класса C (класса Картрайт). Функция принадлежит тому же классу. Следовательно [93], эти функции связаны тождеством

K ,

где K – некоторая константа.

f1 y1 0, y2 1, y2 0, y1 1,

1e 2 2e 1 e 1 O 1 e 2 O 1 ,

f2 y1 0, y2 1, y2 0, y1 1,

1 2 e 2 2 1 e 1 1 2e 2 2 1e 1

e 1 O 1 e 2 O 1 ,

f3 y1 1, y2 0, y1 0, y2 1,

2 2 e 1 1 1 e 2 2 2e 1 1 1e 2

e 1 O 1 e 2 O 1 ,

f4 y1 0, y2 1, y2 0, y1 1,

2 1 2 1e 2 2e 1 1 2 1e 2 2e 1

1 2 3e 2 4e 1 O 1 ,

где

136 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

и f4 следует, что произвольная линейная комбинация функций

C1f1 C2f2 C3f3 и функция f4 линейно независимы. Поэтому 1 K 0 и тождество (3.56) принимает вид

hH hH f1 h h f2 H H f3 0 (3.57)

или

h h 1 2 e 2 2 1 e 1 1 2e 2 2 1e 1

H H 2 2 e 1 1 1 e 2 2 2e 1 1 1e 2

hH hH 1 e 2 2e 1 e 1 O 1 e 2 O 1 0.

Из последнего тождества и линейной независимости функций e 1 , e 2 , e 1 , e 2 получаем

Найдем решения системы уравнений (3.58)– (3.61).

Так как u10 x 0, u20 x 0, 1 0 и 2 0 и уравнения (3.60),

причем эти значения h и H удовлетворяют уравнениям (3.58)– (3.59), а значит и всей системе уравнний (3.58)– (3.61).

Таким образом, значения

h h H H 0

являются решениями системы.

Найдем другие решения (если они есть). Отличные от найденных значений (3.63) решения должны удовлетворять (3.62), и, следовательно, и условию

Система уравнений (3.58)– (3.61) эквивалентна следующей системе:

Поскольку

hH hH 12 H H h h h h H H ,

система уравнений (3.65)– (3.67) эквивалентна следующей:

138 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Покажем, что (3.71)– (3.73) эквивалентна системе уравнений

Покажем сначала, что система двух уравнений (3.71), (3.73) эквивалентна системе (3.74)– (3.75).

Система двух уравнений (3.71), (3.73) эквивалентна системе трех уравнений:

Система уравнений (3.78)– (3.80) эквивалентна системе (3.74)– (3.75), что доказывает эквивалентность систем уравнений (3.71), (3.73) и (3.74)– (3.75).

Эквивалентность систем уравнений (3.72), (3.73) и (3.76)– (3.77) доказывается аналогично доказательству эквивалентности систем уравнений (3.71), (3.73) и (3.74), (3.75).

Итак, система уравнний (3.71)– (3.73) эквивалентна системе

то система уравнений (3.74)– (3.77) несовместна, и поэтому система уравнений (3.58)– (3.61) эквивалентна (3.63). Если же

1 1 p 1 2 2 p 2, то система уравнений (3.58)– (3.61) эквивалентна (3.63) или (3.74)– (3.75).

Таким образом, если 1 1 p 1 2 2 p 2, то решение задачи определения коэффициентов h и H единственно (h h, H H). Если же 1 1 p 1 2 2 p 2 A, то решение задачи определения коэффициентов h и H двойственно (h h, H H или h H A, H h A) или единственно (единственность в последнем случае может возникнуть из-за того, что равенства (3.74)– (3.75) могут противоречить равенствам, получающимся за счет приравнивания соответствующих коэффициентов последущих членов разложения e 1 O 1 e 2 O 1 в тождестве (3.56)). Теорема доказана.

Полученный результат дополняет результаты гл. 2, в которой показана единственность решения обратной задачи восстановления краевых условий задачи Штурма–Лиувилля для случая, когда сумма корней характеристического уравнения 1 2 не равна нулю. Можно показать, что краевые условия (3.45) могут быть восстановлены и по двум собственным значениям. Однако эти собственные значения должны удовлетворять определенным условиям, которые выполняются не всегда (см. замечание 2 из параграфа 3.1).

Таким образом, решение обратной задачи отыскания коэффициентов краевых условий задачи Штурма–Лиувилля либо единственно, либо двойственно. Это дает хорошие возможности для акустического диагностирования закреплений струн, мембран и валов. Доказанная теорема обосновывает возможность распознания закреплений струн, мембран и валов по их звучанию.

3.2.2. Акустическая диагностика концевых дисков вала

В этом пункте изучается возможность акустического диагностирования надежности системы, состоящей из вала с концевыми дисками. Показано, что моменты инерции концевых дисков относительно оси вала находятся по первым двум собственным частотам крутильных колебаний однозначно с точностью до перестановок местами дисков. Найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

Процедура разборки деталей машин часто является дорогостоящей, нарушает приработку узлов и сокращает срок безаварийной службы. Поэтому актуальной является задача оперативного контроля технических конструкций без их разборки. В решении

140 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

этой задачи особую роль играет направление, возникшее на стыке теории механизмов и машин с акустикой [4]. Методы акустической диагностики позволяют не только выявить уже развившуюся неисправность и предотвратить катастрофические разрушения, но и обнаружить развивающийся дефект на очень ранней стадии, что дает возможность прогнозировать аварийную ситуацию

ся в конструкциях машин. Большая практическая важность крутильных колебаний вала с концевыми дисками была отмечена С. П. Тимошенко [151, c. 17]. Он указывал на то, что именно в этом случае инженеры впервые установили практическую важность тщательного исследования колебаний.

Концевые диски вала как правило недоступны для визуального осмотра. Поэтому единственным источником обнаружения неисправности или технического неблагополучия (налипания инородных предметов, изношенности дисков и т. п.) являются собственные частоты крутильных колебаний. И вполне естественной является следующая задача: определить моменты инерции концевых дисков относительно оси вала по собственным частотам крутильных колебаний.

Рассмотрим частотное уравнение задачи о крутильных колебаниях круглого вала с двумя концевыми дисками [151, с. 311]:

где – параметр, связанный с частотным параметром и длиной вала l, m J1 J0, n J2 J0, J0 – момент инерции вала относительно его оси, J1, J2 – искомые моменты инерции концевых дисков относительно оси вала.

Поставленная нами задача определения моментов инерции сводится к определению положительных чисел m и n по положительным корням k уравнения (3.82).

Одним и тем же корням k могут соответствовать разные m и n. Действительно, двум случаям m 3, n 10 и m 10, n 3 соответствуют одни и те же корни k уравнения (3.82). Ниже будет показано, что хотя задача определения моментов инерции не является однозначной, она является однозначной с точностью до перестановки местами концевых дисков вала. Для приведенного выше примера это означает, что если собственные частоты совпадают с положительными корнями уравнения (3.82), то либо m 3, n 10, либо m 10, n 3. Какой-либо третий случай, например, m 6,5, n 6,5 с такими же собственными частотами невозможен.

Из (3.82) следует, что если момент инерции одного из дисков относительно вала известен, то момент инерции другого диска относительно вала определяется по первой собственной частоте однозначно. Кроме того, по изменению первой собственной частоты можно судить и о неблагополучии на обоих дисках. Если значительно изменилась первая собственная частота по сравнению с первоначально замеренной, это свидетельствует об изменении параметров m и n, т. е. требуется прекратить эксплуатацию системы и приступить к разборке и ремонту. Однако неблагополучие на обоих дисках не может быть определено только по первой собственной частоте. Нетрудно привести примеры, показывающие, что изменения в системе могут не привести к изменению первой частоты. Например, если первоначально для системы имеем m 2,99899 и n 10,0095, а в последующем – m 3,67522

и n 6,58187 (налипания инородных предметов на первый диск и изношенность второго диска), то это изменение нельзя обнаружить с помощью первой собственной частоты, которая осталась неизменой ( 1 0,63743). Кроме того, по изменению лишь первой собственной частоты нельзя судить о степени неблагополучия в системе. Таким образом, для надежного диагностирования требуется знание двух собственных частот.

Пусть 1 и 2 – первые два корня уравнения (3.82). Тогда они