Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

162 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

закрепления прямоугольной мембраны по собственным частотам найденных с некоторой погрешностью.

Приведем результаты численных экспериментов в обезразмеренных величинах, подтверждающие этот вывод.

Стороны прямоугольной мембраны a и b, а также число c были выбраны равными единице. Собственные частоты

были взяты с абсолютной погрешностью 10 9 по сравнению с истинными собственными значениями задачи о колебаниях прямоугольной мембраны при h1 1, h2 2, h3 3, h4 4. Вычисления, выполненные по предложенной схеме на компьютере также с абсолютной погрешностью 10 9, дали следующие результаты:

Как видим, абсолютная погрешность при вычисления коэффициентов h1, h2, h3, h4 достаточно низкая (10 5). Тем не менее она может увеличиваться по сравнению с погрешностью для ik на четыре порядка.

Если же собственные частоты 11, 12, 21, 31 получены без погрешностей и вычисления также проводятся точно, то и коэффициенты найдутся предложенным методом точно.

Действительно, если a b c 1, 11 2 , 12 5 , 215 , 31 10 , то вычисления дают A1 0, B1 0, откуда ввиду неравенств 0 hj ∞ (j 1, 2, 3, 4) получаем числа

h1 0, h2 0, h3 0, h4 0,

которые в точности совпадают с коэффициентами h1, h2, h3, h4,

5 , 21 5 , 31 10 .

3.5.4. На сколько заклепок закреплена мембрана?

По собственным значениям важно уметь различать не только различные упругие закрепления, но и краевые условия Дирихле и Неймана [209]. Часто возникает такая ситуация, когда мембрана недоступна для визуального осмотра, но требуется определить на сколько заклепок она закреплена. В этом случае закрепление мембраны также может быть диагностировано по собственным частотам ее колебаний. В отличие от диагностирования упругих закреплений сторон, здесь возникает конечное число комбинаций закрепления. Поэтому эта обратная задача на собственные значения легко решается с помощью перебора решений всех возможных прямых задач. Например, для определения того, на сколько сторон N закреплена квадратная мембрана, достаточно знания самого левого собственного значения 1 из интервала 0, ∞ . В таблице приведены результаты соответствующих вычислений для квадратной мембраны со стороной a.

Таблица 3.1

Зависимость первого собственного значения 1 от количества закрепленных сторон N

прямоугольной мембраны

В таблице при N 2 приведены две собственные частоты 2 2a , a. Собственная частота 2 2a соответствует случаю, когда две закрепленные стороны мембраны являются смежными, а собственная частота a соответствует случаю когда две закрепленные стороны мембраны являются противоположными.

Как видно из таблицы при увеличении N растет также и собственное значение 1: при увеличении закрепленности мембраны растут и ее собственные значения. Здесь наблюдается аналогия с теоремами сравнения для дифференциальных уравнений Штур- ма–Лиувилля [76, п. 15.4–15.10]. Верно и обратное: при увеличении собственного значения 1 растет и N . Этот вывод позволяет распознавать сколько сторон мембраны свободны, а сколько жестко закреплены. Например, если первая собственная частота 1 квадратной мембраны близка к 5 2a , то она жестко закреплена по трем сторонам, а четвертая сторона свободна.

164 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Таким образом, опознать, какое же из закреплений Дирихле или Неймана реализуется на каждой из сторон Γ1, Γ2, Γ3 и Γ4, можно по собственным частотам только с точностью до перестановок закреплений на противоположных сторонах. Однозначности определения на контурах, как в случае кольцевой мембраны [20], здесь не будет ввиду изоспектральных свойств соответствующих контуров [209].

Подытоживая можно сделать следующий вывод: упругое закрепление прямоугольной мембраны с точностью до перестановок закреплений на противоположных сторонах может быть однозначно диагностировано по четырем собственным частотам 11,12, 21, 31 ее колебаний, а количество жестко закрепленных и свободных сторон прямоугольной мембраны легко распознается по первому собственному значению 1.

Из анализа рассмотренных результатов следует, что понижение собственной частоты в мембраны говорит о неблагополучии закрепления, поскольку при остальных неизменных условиях свидетельствует о понижении закрепленности мембраны.

Мембраны находят широкое применение на практике: они используются в микрофонах, телефонах, мембранных насосах и других устройствах. От надежности работы мембран зависит правильная работа многих технических систем. Поэтому важно вовремя выявлять неисправности их закрепления. Поскольку мембраны порой недоступны для визуального осмотра, предложенные методы акустической диагностики являются важным методом, позволяющим правильно диагностировать состояние закрепления мембраны. Они могут также помочь при создании устройств с нужным диапазоном частот.

Список литературы

1.Ананьев И. В., Тимофеев П. Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. М.: Машиностроение, 1965. 526 с.

2.Айнола Л. Я. Обратная задача о собственных колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1971. № 2, С. 358–364.

3.Алексеев А. А. Устойчивость обратной задачи Штурма–Лиувилля для конечного интервала // ДАН. 1986. Т. 287, № 1. С. 11–13.

4.Артоболевский И. И., Бобровницкий Ю. И., Генкин М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 295 с.

5.Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления

стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 2. С. 290–298.

6.Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

7.Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по про-

изводным цепочкам одной спектральной задачи // Математические заметки. 1992. Т. 51, № 6. С. 137–139.

8.Ахтямов А. М. О совпадении краевых условий спектральных задач, имеющих общее уравнение // Комплексный анализ, диф-

ференциальные уравнения, численные методы и приложения. 4. Дифференциальные уравнения. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН. 1996. С. 15–21.

9.Ахтямов А. М. Можно ли по одному обертону определить харак-

тер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. Уфа, изд. БашГУ. 1996. № 3(1). С. 12–15.

10.Ахтямов А. М. О восстановлении краевых условий задачи Штурма–Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета. Уфа, изд. БашГУ. 1999. № 1. С. 13–17.

11.Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному

набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 8. С. 1127–1128.

12.Ахтямов А. М. Об однозначности определения моментов инерции концевых дисков вала по собственным частотам крутильных коле-

баний // Ученые записки / Сб. научн. тр. БашГПИ. Уфа, 1999. С. 3–7.

13.Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 13–18.

14.Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий задачи Штурма–Лиувилля по ее спектру // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, № 3. С. 6.

15.Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых усло-

вий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная

и прикладная математика. 2000. Т. 6, вып. 4. С. 995–1006.

16.Ахтямов А. М. Теорема существования и единственности решения одного класса смешанных задач // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. III. Дифференциальные уравнения и анализ. Институт математики с вычислительным центром РАН. Уфа, 2000. С. 69–72.

17.Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для одной эллиптической задачи

с параметром в граничном условии // Математические заметки. 2001. Т. 69, вып. 4. С. 622–624.

18.Ахтямов А. М. О связи одной спектральной задачи с интерполированием целых функций // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т. 1. Математика / Сб. трудов. Уфа, изд. БашГУ, 2001. С. 14–19.

19.Ахтямов А. М., Николаенко В. В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8, вып. 1. С. 92–93.

20.Ахтямов А. М. Распознавание закрепления кольцевой мембраны

по собственным частотам ее колебаний // Изв. РАЕН. МММИУ.

2001. Т. 5, № 3. С. 103–110.

21.Ахтямов А. М. Определение моментов инерции вращающихся

дисков относительно оси вала // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, вып. 3. С. 584–585.

22.Ахтямов А. М. Восстановление всех краевых условий спектраль-

ной задачи по ненулевым собственным значениям // Тр. международн. научн. семинара-совещания «Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической

физики» / Ответственный редактор Р. С. Сакс. Уфа, изд. БашГУ, ИМВЦ УНЦ РАН, 2002. С. 17–26.

23.Ахтямов А. М. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 154–155.

24.Ахтямов А. М., Федорова А. С. Юртова М. А. Распознание кра-

евого условия задачи по ее спектру // Тр. XII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» Ч. 3. Самара, изд. СГТУ, 2002. С. 13–14.

25.Ахтямов А. М. Акустическая диагностика закреплений кольцевых пластин // Механика оболочек и пластин / Сб. докладов XX Международной конференции по теории оболочек и пластин. Н. Новгрод: Изд-во ННГУ им. Лобачевского, 2002. С. 101–104.

26.Ахтямов А. М. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. № 49. С. 567–573. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf

27.Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблю-

щейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49, № 3. С. 325–331.

28.Ахтямов А. М. Диагностирование нагружености механической системы // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 6. С. 60.

29.Ахтямов А. М. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5, № 1. С. 214–221.

30.Ахтямов А. М. К единственности решения одной обратной спек-

тральной задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. № 8. С. 1011–1015.

31.Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пласти-

ны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 137–147.

32.Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закрепле-

ний // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. C 51–52.

33.Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным

функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Математические заметки. 2004. Т. 75, вып. 4. С. 493–506.

34.Ахтямов А. М., Ямилова Л. С. Диагностирование нераспадающегося закрепления стержня переменной жесткости // Приборы

и системы. Управление, контроль, диагностика. 2006. № 2.

С.56–58.

35.Ахтямов А. М., Ямилова Л. С. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения

переменного тока // Электромагнитные волны и электронные системы. 2006. Т. 11. № 2–3. С. 15–17.

36.Ахтямов А. М. Диагностика закрепления прямоугольной мем-

браны по собственным частотам ее колебаний // Акустический журнал. 2006. Т. 52. № 3. C.293–296.

37.Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Тайхер М., Ямилова Л. С. Об одном методе определения по собственным частотам усло-

вий закрепления прямоугольной пластины // Известия РАН. МТТ. 2007. № 1. С. 100–113.

38.Ахтямов А. М., Нафикова Э. Р. Восстановление краевых условий и функций нагрузки // Контроль. Диагностика. 2007. № 9.

С.50–52.

39.Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Ямилова Л. С. Определение вида и параметров закрепления стержня по собственным частотам его колебаний // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 2. С. 181–188.

40.Ахтямов А. М., Сафина Г. Ф. Определение виброзащитного за-

крепления трубопровода // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 1. С. 139–147.

41.Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий. Уфа: Гилем, 2008. 300 с.

42.Баранова Е. А. О восстановлении дифференциальных операторов

высших порядков по системе их спектров // ДАН. 1972. Т. 205. № 6. С. 1271–1273.

43.Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

44.Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. T. 2. СПБ, 1914.

45.Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике / Уч. пос. 3-е изд. М.: Наука, 1980. 688 с.

46.Бутерин С. А., Юрко В. А. Обратная спектральная задача для

пучков дифференциальных операторов на конечном интервале // Вестн. БашкГУ. 2006. № 4. С. 8–12.

47.Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 184 с.

48.Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической

диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Тр. СибВИМ. Новосибирск. 1968. Вып. 4. С. 378–879.

49.Вайнберг Д. В. Аналогия между задачами о плоском напряженном состоянии и об изгибе круглой пластины переменной толщины при несимметричной нагрузке // ПММ. 1952. Т. 16. С. 749–752.

50.Ван Дер Мей К., Пивоварчик В. Н. Обратная задача Штурма– Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми

условиями // Функцион. анализ и его прил. 2002. Т. 36, № 4. С. 74–77.

51. Ваньков Ю. В., Казаков Р. Б., Яковлева Э. Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов // Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/ eeaa/ejta/. 2003. № 5. С. 1–7.

52.Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследо-

вания колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акустический журнал. 2000. Т. 46, № 3. С. 424–426.

53.Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

54.Вибродиагностика качества механизмов приборов. Л.: ЛИАП, 1987. 144 с.

55.Ворович И. И., Ковальчук В. Е. О базисных свойствах одной системы однородных решений // ПММ. 1967. Т. 31, вып. 5.

С.861–869.

56.Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. СПб, изд. СПбГАУ, 2000. 317 с.

57.Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциаль-

ного уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР.

Сер. Математика. 1951. Т. 15, № 4. С. 309–360.

58.Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

59.Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наукова думка, 1964. 288 с.

60.Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

61.Гринберг Г. А. О методе, предложенном П. Ф. Папковичем для решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области и задачи изгиба прямоугольной тонкой плиты с двумя за-

крепленными кромками, и о некоторых его обобщениях // ПММ. 1953. Т. 17, вып. 2. С. 211–228.

62.Губреев Г. М., Пивоварчик В. Н. Спектральный анализ задачи Редже с параметрами // Функцион. анализ и его прил. 1997. № 1.

С.70–74.

63.Гусейнов И. М. Решение одного класса обратных краевых задач Штурма–Лиувилля // Матем. сб. 1995. Т. 186, № 5. С. 35–48.

64.Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. M.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. 206 с.

65.Диагностика автотракторных двигателей / Под ред. Н. С. Ждановского. Л.: Колос, 1977. 264 с.

66.Дружинин Г. В., Бодунов Н. М., Закиров И. М. Численно-ана- литический метод в краевых задачах механики сплошной среды // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах. 2001. Т. 7, вып. 2(14). С. 95–104.

67.Егоров А. И. // ДАН УССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1986. № 5. С. 60–63.

68.Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэродинамики. М.: Наука, 1994. 440 с.

69.Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение, 1968. 140 с.

70.Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 200 с.

71.Ильгамов М. А. Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ РАН. 1994. 208 с.

72.Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач гиперболическо-

го и параболического уравнений // УМН. 1960. Т. 15, № 2. С. 97–154.

73.Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на од-

ном конце при закрепленном втором конце // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 12. С. 1640–1659.

74.Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного

решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 12. С. 1670–1686.

75.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

76.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и иженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

77.Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральной задаче из теории

параболо-гиперболического уравнения теплопроводности // ДАН. 1997. Т. 352, № 4. С. 451–454.

78.Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях

некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН. 1951. Т. 77, № 1. С. 11–14.

79.Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов // УМН. 1971. Т. 26, № 4.

С.15–41.

80.Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

81.Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.

82.Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. К теории самосопряженных

квадратичных пучков операторов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика. Механика. 1983. № 6. С. 40–51.

83.Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

84.Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля // ДАН. 1951. Т. 76, № 1. С. 21–24.

85.Крейн М. Г., Лангер Г. К теории квадратичных пучков самосопряженных операторов // ДАН. 1964. Т. 154, № 6. С. 1258–1261.

86.Крылов А. Н. Некоторые замечания о крешерах и индикаторах. Известия Академии наук. 6 серия. СПб., 1909. Т. 3, № 15.

С.623–654.

87.Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт, 1967. 174 с.

88.Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

89.Ланкастер П. Теория матриц / Пер. с англ. М.: Наука, 1982. 272 с.

90.Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акустический журнал. 2002. Т. 48, № 2. С. 277–280.

91.Левин А. В. Расчет на статический изгиб и на вибрацию дисков гиперболического профиля // ЖТФ. 1937. Т. 7, № 17. С. 1754–1767.

92. Левин А. В. Вибрация дисков // ЖТФ. 1937. Т. 7, № 17.

С.1739–1753.

93.Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

94.Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: Физматгиз, 1962. 323 с.

95.Левитан Б. М., Гасымов М. Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, № 2(116).

С.3–63.