Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

Пусть y1 x, и y2 x, – линейно независимые решения уравнения (2.1), удовлетворяющие условиям

Тогда справедливы следующие асимптотические формулы:

y1 x, cos sx 1s u x sin sx O s12 ,

причем алгебраическая кратность собственного значения совпадает с кратностью корня функции [111, c. 29]. Отсюда

a11 a12y1 , y2 , a22y2 ,

1 a12y2 , y1 , a21 a22y1 , . (2.7)

Подставив асимптотические формулы решений y1 x, , y2 x, в (2.7), получим

a11 cos a12 sin u cos

Как видим, является целой функцией порядка 1 2. Кроме того, согласно условию теоремы собственные значения спектральных задач L и L совпадают с учетом их алгебраических кратностей. Поэтому из теоремы Адамара о представлении целой функции

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 53

с помощью своих корней следует, что

C ,

где C – некоторый некоторая ненулевая константа. Отсюда

линейно независимыми функциями аргумента . (Это легко проверить по определению линейной независимости функций.) Следовательно, C 1 и

a12 a12 a21 a21 a11 a11 a22 a22 cos

O 1 0. (2.9)

Отсюда и из (2.4) получаем a21 a21.

Теорема 2 в отличие от теоремы 1 позволяет восстановить задачу L лишь по трем спектрам, не используя при этом дополнительные спектральные данные (весовые числа и вычеты). Однако и эта теорема является лишь признаком, но не критерием. Теорема 2 может быть улучшена. Ниже показано, что условие совпадения всех собственных значений задач L и L является излишне жестким условием. Оказывается, это условие теоремы может быть заменено более слабым условием совпадения лишь одного собственного значения.

Верна более общая

Теорема 3. Пусть a12 a22, a12 a22. Если собственные значения задач B1 и B1, B2 и B2 совпадают с учетом их алгебраических кратностей и одно достаточно большое собственное значение N задачи L является также собственным значением задачи L, то коэффициенты уравнений и константы в граничных условиях задач L и L совпадают,

т. е. q x q x , aij aij , i, j 1, 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применив теорему единственности Борга [97, c. 9; 185] к задачам B1 и B2, получим (2.4). Отсюда и из (2.7) имеем

0 N N 1 a12y2 , N a21 a21 (2.10)

Количество собственных значений k задачи L бесконечно, причем при k ∞ собственные значения удовлетворяют следующей асимптотической формуле [170]:

жение 1 a12y2 , N эквивалентно 1. Отсюда и из (2.10) получаем

a21 a21.

Теорема 3 имеет практическую ценность. Она обосновывает однозначность нахождения переменного коэффициента упругости среды, а также упругих нераспадающихся закреплений струны по собственным частотам ее колебаний с тремя различными видами закреплений.

При доказательстве теоремы 3 используются асимптотические формулы. Поэтому одним из условий теоремы является требование, чтобы в качестве одного из данных восстановления обратной задачи Штурма–Лиувилля было выбрано достаточно большое собственное значение задачи L. Существенно ли это требование? Оказывается, да. Ниже приведен пример, который показывает, что если в качестве собственного значения N в теореме выбрать небольшое собственное значение, утверждение теоремы окажется неверным.

Контрпример 2. Выберем в качестве задачи L задачу с коэффициентами q x 0, a11 a22 0, a12 1 2, a21 0:

Пусть задача L отличается от L только одним коэффициентомa21 a21 (a21 0). Тогда соответствующие задачи B1 и B1 совпадают и имеют вид

y y, y 0 0, y 0.

56Гл. 2. Метод эталонных вспомогательных задач

1)числа k,1 и k,2 перемежаются;

2)k,1 k bk0 O k13 и k,2 k bk0 O k13 ,

где

При выполнении этих условий существует абсолютно непрерывная функция q x и числа a11, a12 и a22 такие, чтоk,1 – спектр задачи B1; k,2 – спектр задачи B2.

Из этой теоремы можно получить соответствующий аналог для обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающими краевыми условиями.

Теорема 4. Пусть даны достаточно большое действительное число N N 2 и две последовательности действительных чисел k,1 и k,2, удовлетворяющие условиям:

1)числа k,1 и k,2 перемежаются;

2)k,1 k bk0 O k13 и k,2 k bk0 O k13 ,

где

При выполнении этих условий существует абсолютно непрерывная функция q x и числа a11, a12, a21 и a22 такие,

что k,1 – спектр задачи B1; k,2 – спектр задачи B2, а N – собственное значение задачи L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование абсолютно непрерывной

функции q x и чисел a11, a12 и a22 таких, что k,1 – спектр задачи B1; k,2 – спектр задачи B2, следует из приведенной выше

теоремы 3.3.1 [97]. Докажем теперь существование такого числа a21, что N – собственное значение задачи L. Пусть

y1 , N a22y1 , N . (2.13)

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 57

Знаменатель отличен от нуля ввиду того, что выполнены асимптотические формулы (2.11) и

Из (2.7) следует, что если выбрать a21, как в (2.13), то мы получим равенство

N 0.

Это и означает, что N является собственным значением задачи L.

Пример 1. Пусть

k,1 k2, k Z;

k,2 являются корнями уравнения ctg k,2 k,2;

N 100.

Восстановим соответствующие спектральные задачи.

Из процедуры, изложенной в теореме 3.3.1 [97] получаем

q x 0, a11 0, a12 1 2 и a22 0.

Коэффициент a21 находим из формулы (2.13): a21 1 2. Задача L восстановлена:

2.1.5. Аналог теоремы единственности Губреева–Пивоварчика

В настоящем пункте показано, что если в качестве вспомогательной спектральной задачи выбрать задачу, рассмотренную Губреевым и Пивоварчиком, то для получения единственности решения обратной задачи достаточно использовать лишь два спектра, а не три как в п. 2.1.4.

Как и прежде, задачу, определенную равенствами (2.1)– (2.3), будем называть задачей L. Наряду с ней рассмотрим задачу R:

где q x L2 0, .

Это – так называемая задача Редже с параметрами.

Доказана следующая теорема [62, теорема 3].

Если a21 0 и спектры задач R и R совпадают, то q x

q x , a21 a21, a22 a22.

Воспользуемся этой теоремой для доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Пусть a21 0. Если собственные значения задач L и L, R и R совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то коэффициенты уравнений и константы в граничных условиях задач L и L совпадают, т. е. q x q x , aij aij, i, j 1, 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из совпадения собственных значения задач L и L, как и при доказательстве теоремы 2, получаем равенство (2.9):

1

a12 a12 a21 a21 a11 a11 a22 a22 cos O 0.

С другой стороны, из совпадения спектров задач R и R следует, что коэффициенты уравнений и константы в граничных услови-

ях задач R и R совпадают, т. е. q x q x , a21 a21, a22 a22. Отсюда вытекает тождество

a12 a12 a11 a11 cos O 1 0.

Следовательно, a11 a11, a12 a12.

Как видим, для однозначности восстановления задачи L достаточно и двух спектров (спектров задач L и R).

Верна и более сильная теорема, которая утверждает, что для однозначности восстановления задачи L достаточно спектра задачи R и двух собственных значений задачи L, т. е. вместо всего спектра L для однозначности восстановления задачи L можно использовать лишь два его собственных значения.

Теорема 6. Пусть N , N 1 ( N , N 1) – два соседних достаточно больших собственных значений задачи L (L); a210. Если собственные значения N и N , а также N 1 и N 1 совпадают с учетом их кратностей, а также совпадают спектры задач R и R, то коэффициенты уравнений и константы в граничных условиях задач L и L, R совпадают,

т. е. q x q x , aij aij , i, j 1, 2.

собственными значениями как задачи L, так и задачи L (соседство собственных значений можно проверить по графикам функций ).

Таким образом, в качестве соседних собственных значений N и N 1 для однозначности восстановления задачи L надо выбирать достаточно большие собственные значения.

Покажем существенность условия теоремы, согласно которому совпадающие достаточно большие собственные значения задач L и L должны быть соседними. Ниже приводится контрпример, который показывает, что при выборе в качестве чисел N и N 1 собственных значений задачи L, не являющихся соседними, утверждение теоремы не выполняется.

Контрпример 4. Выберем в качестве задачи L задачу с коэффициентами q x 0, a11 1 2, a12 0, a21 1 2, a22 0:

В этом случае характеристический определитель задачи L выражается формулой

Отсюда следует, что N 1002 и N 2 1022 являются собственными значениями двух разных задач L и L.

Таким образом, в качестве достаточно больших собственных значений N и N 1 для однозначности восстановления задачи L надо выбирать соседние собственные значения.

Отметим, что из доказательства теоремы 6 следует также, что в формулировке этой теоремы вместо соседних достаточно больших собственных значений задачи L могут быть использованы

2.1. Единственность и устойчивость решения (условия 1-го типа) 61

и произвольные достаточно большие собственные значения с номерами различной четности, например 1000-е и 1 000 001-е.

2.1.6.Восстановление задачи по одному спектру

идвум собственным значениям

Обозначим через Q множество потенциалов q x , для которых оператор

Ay x y q x y

с областью определения

D A y W22 0, , y 0 y a22y 0

строго положителен.

В [62, теорема 2] доказана теорема разрешимости обратной задачи Штурма–Лиувилля:

Для того чтобы последовательность Λ sk ∞ sk 1

1 ∞

была спектром задачи R с потенциалом q x Qa22 при некоторых a21 R и a21 0, 1 , необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)Im sk 0, sk Λ;

2)число мнимых sk (с учетом кратностей) четно;

3)Λ симметрична относительно мнимой оси, и кратности симметрично расположенных точек совпадают;

4)при соответствующей нумерации правая ветвь sk ∞1 удовлетворяет асимптотическим формулам

Получим на основе этой теоремы аналог для обратной задачи Штурма–Лиувилля с нераспадающими краевыми условиями.

Теорема 7. Пусть даны два достаточно больших числа

N N 2 и N 1 N 1 2

ипоследовательность чисел sk, удовлетворяющих условиям:

1.Im sk 0, sk Λ;

2.Число мнимых sk (с учетом кратностей) четно;

3.Λ симметрична относительно мнимой оси и кратности симметрично расположенных точек совпадают;