Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

Целая функция и теорема Адамара. В монографии при доказательстве теорем о единственности решений используются понятия целой функции, ее роста и типа, а также теорема Адамара. Напомним эти понятия и теоремы.

Целой функцией называют функцию комплексного переменного, голоморфную во всей комплексной плоскости и, следовательно, представляющуюся всюду сходящимся степенным рядом

f z a0 a1z a2z2 ... anzn .. .

Эти функции являются естественным обобщением многочленов. Скорость возрастания многочлена при удалении независимой переменной на бесконечность, очевидно, определяется его степенью. С другой стороны, число корней многочлена равно его степени. Таким образом, чем больше корней у многочлена, тем больше его рост. Эта связь между множеством корней функции и ее ростом обобщается на произвольные целые функции.

Для характеристики роста целой функции f z вводится функция

Mf r max z r f z .

С увеличением r величина Mf r монотонно возрастает. У целой функции, отличной от многочлена, Mf r возрастает быстрее любой положительной степени r. Поэтому при оценке роста целых трансцендентных функций следует выбирать для сравнения функции, растущие быстрее, чем степенные. В качестве таких функций, служащих для сравнения, выбирают функции вида erk , где k 0.

Целую функцию f z называют функцией конечного порядка, если существует такое положительное число k, что неравенство

Mf r erk

выполняется для всех достаточно больших значений r (r r0 k ). Точную нижнюю границу таких чисел k называют порядком целой функции f z .

Из этого определения следует, что если – порядок целой функции f z , а – произвольное положительное число, то

причем правое неравенство выполняется для всех достаточно больших r, а левое – для некоторой последовательности rn значений r стремящейся к бесконечности.

Легко проверить, что условие (1) равносильно равенству

которое поэтому также может быть принято за определение порядка функции.

Неравенства, которые выполняются для всех достаточно больших значений r, мы будем для краткости в дальнейшем называть

асимптотическими неравенствами.

Более точную характеристику роста функции данного порядка дает тип функции. Типом целой функции f z порядка

называют точную нижнюю границу положительных чисел A, для которых асимптотически

Mf r eAr .

Так же как и при определении порядка, легко проверить, исходя из этого определения, что тип функции f z порядка определяется равенством

При 0 функцию f z называют функцией минимального, при 0 ∞ нормального и при ∞ максимального типа.

Примером целой функции порядка n и типа может при n целом служить функция e rn . Легко проверить, что sin z есть целая функция первого порядка и нормального типа 1. Функция cos z

имеет порядок 12 и тип 1. Функция eez дает пример целой функции бесконечного порядка.

Известно, что всякий полином может быть представлен в виде произведения линейных множителей. Аналогом этого утверждения для целых функций является теорема Адамара.

Теорема Адамара. Целая функция f z конечного порядка представляется в форме

где m – кратность нулевого корня, an – все отличные от нуля функции f z , p , P z – многочлен, степень которого q

Спектральная задача. В научной математической литературе под спектральной задачей понимают задачи на собственные значения. В настоящей монографии рассматриваются спектральные задачи следующего вида:

j 1, 2.

Здесь

2

Коэффициенты aj k, bj k являются комплексными числами, которые, в частности, могут быть равны нулю,

pss x const, s 1, 2, p22 0,

p s x – достаточно гладкие функции, а ajk , bjk – произвольные полиномы от .

Такую задачу часто называют также задачей Штурма–Лиу- вилля.

Именно к этим спектральным задачам приводят многие задачи математической физики. Для нас будет важно, что к этим краевым задачам сводятся многие задачи поиска собственных частот колебаний стержней, валов, струн и мембран.

Собственные значения и характеристический определитель

Для удобства чтения приводим обозначения, используемых в определении: L2 – пространство суммируемых с квадратом функций, заданных на отрезке 0, 1 ; W2n – соболевское пространство функций на отрезке 0, 1 (т. е. совокупность всех функций

16 Введение

y x , таких что y k x абсолютно непрерывны на отрезке 0, 1 при k 0, 1, ... , n 1, а y n x принадлежит пространству L2).

Число 0 называется собственным значением краевой за-

дачи (2)– (3), если существует такая функция y0 x 0 из W22, что l y0, 0 0 и Uj y0, 0 0 для всех j 1, 2. В этом случае функция y0 x называется собственной функцией, отвечающей

собственному значению 0.

Пусть y1 y1 x, , y2 y2 x, – линейно независимые решения уравнения (2), удовлетворяющие условиям:

Общим решением задачи (2)– (3) является функция

y x y x, C1y1 x, C2y2 x, .

Для определения констант C1, C2 используют краевые условия (3):

Ui y Ui C1y1 C2y2 C1Ui y1 C2Ui y2 0, i 1, 2. (4)

Уравнение для определения собственных значений задачи (2)– (3) получают из условия существования ненулевого решения Ci из системы (4). Ненулевое решение для Ci существует тогда и только тогда, когда равен нулю определитель

соответствующей системы [111].

Этот определитель называют характеристическим определителем спектральной задачи (2)– (3), поскольку нули определителя являются собственными значениями задачи (2)– (3).

Из свойств общей теории для линейных дифференциальных операторов следует, что является целой функцией [111, с. 1–27].

При доказательстве теорем единственности решения задач определения краевых условий будет важно знать, можно ли с точностью до ненулевого постоянного множителя C восстановить функцию по своим нулям. Отметим, что если известно, что

– целая функция порядка 1 2 и 0, то это можно сделать. Это следует из теоремы Адамара [93, с. 38]. Восстановить

функцию с точностью до ненулевого множителя C по своим нулям можно и в том случае, когда является четной целой функцией от первого порядка и 0. Действительно, из теоремы Адамара [93, с. 38], получаем, что функция восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя Cea , где a – некоторое действительное число, а C – некоторая ненулевая постоянная. Далее, поскольку функция – четная, то a 0.

Идентификация матрицы 2 × 4

по ее минорам второго порядка

В качестве промежуточной задачи при поиске краевых условий возникает задача отыскания с точностью до линейной эквивалентности матрицы A aij , составленной из коэффициентов краевых условий, по ее минорам максимального порядка.

Из алгебраической геометрии известно, что произвольные числа не могут быть минорами матрицы. Числа являются минорами матрицы тогда и только тогда, когда выполняется определенные соотношения, которые называются условиями Плюккера [121, 202].

Наиболее просто пояснить как получаются условия Плюккера для матрицы 2 × 4.

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов aij форм U1 y и U2 y , через A, а ее миноры второго порядка через Mij :

Очевидно, что ранг матрицы A1 также равен двум. Поэтому определитель матрицы A1 равен нулю. Разложив матрицу A1 по первым двум строкам, получим следующие соотношения:

det A1 M12M34 M13M24 M14M23 0.

Последнее равенство называется условием Плюккера [121, 202].

18 Введение

Мы показали, что если M12, M13, M14, M23, M24, M34 – миноры матрицы A, для них выполняется условие Плюккера. Верно

и обратное: если для некоторых чисел M12, M13, M14, M23, M24, M34 выполняется условие Плюккера, то они являются минорами матрицы 2 ×4.

Отыскание форм матрицы A с точностью до линейной эквивалентности равносильно нахождению линейной оболочки a1, a2 , построенной на векторах

a1 a11, a12, a13, a14 , a2 a21, a22, a23, a24 .

Задача получения линейной оболочки a1, a2 по всем минорам второго порядка матрицы A может быть решена методами линейной алгебры, исходя из того, что любой вектор x, принадлежащий линейной оболочке векторов a1, a2 должен удовлетворять усло-

вию rank a1a2x 2.

Заметим, что задача получения линейной оболочки a1, a2 по всем минорам второго порядка матрицы A эквивалентна задаче линейной алгебры – отысканию рангового подпространства по своему направляющему бивектору [121]. Ее можно также интерпретировать в терминах проективной геометрии, как отыскание проективной прямой по координатам Плюккера [103]. Можно было бы привести здесь эту интерпретацию и пример отыскания проективной прямой. Однако нам представляется более правильным не прибегать к дополнительной терминологии. Поэтому мы не используем при доказательстве теорем единственности понятия координат Плюккера. Мы проведем изложение с помощью понятия бивектора, основываясь на том [121, следствие на с. 83], что между классами пропорциональных, отличных от нуля бивекторов и двумерными подпространствами векторного пространства имеется естественное биективное соответствие. В этом соответствии каждому подпространству отвечает внешнее произведение a1 a2 векторов произвольного его базиса a1, a2, а каждому бивектору

a1 a2 – подпространство a1, a2 .

Алгоритм построения линейных форм краевых условий лучше поясним на примере.

Пусть известны миноры второго порядка матрицы A размера

2 ×4: M12 M13 M14 M23 M34 0, M24 C 0.

Найдем теперь соответствующую линейную оболочку (матрицу A с точностью до линейной эквивалентности.

Пусть x x1, x2, x3, x4 – произвольный вектор искомой линейной оболочки a1, a2 . Тогда координаты вектора x удовлетворяют условию:

(все окаймляющие M12 миноры должны быть равны нулю.) Разлагая определители (7) по третьей строке, получаем

x1M24 x2M14 x4M12 0,

x2M34 x3M24 x4M23 0

откуда следует, что x1 0 и x3 0, а произвольный вектор искомой линейной оболочки имеет вид x 0, x2, 0, x4 .

В качестве базисных векторов этой линейной оболочки можно

выбрать, например, векторы a1 0, 1, 0, 0 и a2 0, 0, 0, 1 . Следовательно, матрица с точностью о линейной эквивалент-

Гл а в а 1

Метод отображений пространств решений

1.1.Метод отображений пространств решений в случае нераспадающихся краевых условий 1-го типа

В настоящем параграфе содержится доказательство единственности решения обратной задачи для уравнения второго порядка, заданного на отрезке 0, , в случае общих краевых условий, т. е. тогда, когда граничные формы содержат комбинации значений функции в точке 0 и в точке .

При решении обратной задачи в случае нераспадающихся краевых условий возникают трудности, связанные с применением операторов преобразования. Поэтому мы пользуемся отображениями пространств решений. Однако и при применении этого способа возникает ряд сложностей (например, нет единообразных асимптотик главных решений, равномерных по всем 0 x ). Тем не менее удается доказать теорему единственности, которая является естественным обобщением аналогичных теорем в случае задачи Штурма–Лиувилля.

1.1.1. Обозначения. Формулировка теоремы единственности решения обратной задачи

Мы рассматриваем следующую задачу:

ly y q x y y s2y,

U1 y y 0 a1,1y 0 a1,2y 0,

U2 y y a2,1y 0 a2,2y 0

(q x – суммируемая функция, ai,j i, j 1, 2 – комплексные постоянные).

Эту задачу в дальнейшем мы будем называть задачей L. Условимся в дальнейшем задачу типа L, но с другими коэффициентами

1.1.Метод отображений пространств решений (условия 1-го типа) 21

вуравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать всюду L. Всюду будем считать, что, если некоторый символ обозначает объект, относящийся к задаче L, то этот же символ

с«волной» наверху обозначает аналогичный объект задачи L. Целочисленный индекс k будем всюду считать меняющимся от 0 до ∞. Символ a, встречающийся в качестве индекса, будем считать всюду принимающим только два значения: 0 и .

Пусть k собственные числа задачи L, а yk,0 x и yk, x – собственные функции, им отвечающие и нормированные условиями

yk,0 0 1 и yk, 1 соответственно. Пусть fk,0 x и fk, x – аналогично определяемые собственные функции сопряженной к L

задачи. Заметим, что мы спектральным параметром в сопряжен-

¯

ных задачах считаем параметр , а не , так, что собственные числа задачи и ей сопряженной совпадают.

Предположим, что все собственные числа рассматриваемых задач однократны. Пусть

1 a ak,a yk,a x fk,a x dx.

0

Нами будут использованы функции 1,a x, , 2,a x, , которые мы назовем главными решениями:

где 1,a x и 2,a x – два линейно независимых решения, таких,

что

1,a a 0, 1,a a 1, 2,a a 1, 2,a a 0.

Наряду с задачей L рассмотим две задачи с распадающимися граничными условиями: