Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

152 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

задаче [148]:

где – спектральный параметр, a и b – соответственно внутренний и внешний радиусы контуров.

Краевое условие (3.101) в зависимости от значений коэффициентов a1 и a2 характеризует свободное, упругое или жесткое закрепление по внутреннему контуру радиуса a, а краевое условие (3.102) в зависимости от значений коэффициентов b1 и b2 характеризует свободное, упругое или жесткое закрепление по внешнему контуру радиуса b. Требуется решить обратную задачу установления обоих неизвестных однородных краевых условий по собственным частотам радиальных колебаний.

Отыскание краевых условий равносильно нахождению линейной оболочки a, b , построенной на векторах a a1, a2, 0, 0 т и b 0, 0, b1, b2 т, где индекс «т» означает транспонирование. Заметим, что речь идет об отыскании именно линейной оболочки, а не всех коэффициентов ai и bj, поскольку, например, краевые условия v a 0 и 5v a 0 эквивалентны, но их соответствующие коэффициенты a2 различны (в первом случае a2 1, во втором a2 5). Поэтому в терминах спектральной задачи (3.100)– (3.102) поставленная выше обратная задача формулируется следующим образом: коэффициенты ai, bj форм U1 v и U2 v задачи (3.100)– (3.102) неизвестны, но известны отличные от нуля собственные значения k задачи (3.100)– (3.102). Требуется восстановить линейную оболочку a, b .

3.4.2. Единственность решения обратной задачи

Наряду с задачей (3.100)– (3.102) рассмотрим следующую спектральную задачу:

3.4. Акустическая диагностика закрепления кольцевой мембраны 153

Обозначим через a1, b2 линейную оболочку, построенную на векторах a a1, a2, 0, 0 т и b 0, 0, b1, b2 т.

Теорема (о единственности решения обратной задачи).

Пусть выполнены следующие условия:

Если отличные от нуля собственные значения k задачи (3.100)– (3.102) и отличные от нуля собственные значения k задачи (3.103)– (3.105) совпадают с учетом их кратностей, то совпадают и линейные оболочки a1, b2 и a1, b2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Общим решением задачи (3.100)– (3.102) является [59] функция

v r v r, C1J0 r C2Y0 r ,

где использованы стандартные обозначения для цилиндрических функций.

Для определения констант C1, C2 используют краевые условия Ui v 0, i 1, 2. Уравнение частот получают из условия существования ненулевого решения для Ci. Ненулевое решение для Ci существует тогда и только тогда, когда равен нулю характеристический определитель

0

Y0 z Y1 z , получаем

a1b1f1 a1b2f2 a2b1f3 a2b2f4 , (3.107)

где

f1 2 J1 a Y1 b J1 b Y1 a , f2 J1 a Y0 b J0 b Y1 a , f3 J0 a Y1 b J1 b Y0 a , f4 J0 a Y0 b J0 b Y0 a .

Из асимптотических оценок для цилиндрических функций [175]

154 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

следует, что функция является целой функцией класса C (см. [93]). Поэтому характеристический определитель задачи (3.100)– (3.102) и характеристический определитель задачи (3.103)– (3.105) связаны следующим соотношением:

где k – число, равное 0, 1, 2, в зависимости от кратности нулевого корня функции , а C – некоторая отличная от нуля константа. Отсюда получаем, что

Покажем, что k не может быть отлично от нуля. Предположим противное. Пусть k 0. Разложив функции fi (i 1, 2, 3, 4) в ряд с помощью пакета Maple получим, что функции

f1 , f2 , f3 , f4 ,

kf1 , kf2 , kf3 , kf4

при k 0 образуют систему линейно независимых функций. Отсюда и из (3.109) получим

a1b1 a1b1 a1b2 a1b2 a2b1 a2b1 a2b2 a2b2 0,

и a b.

Известно [121], что между классами пропорциональных, отличных от нуля бивекторов и двумерными подпространствами векторного пространства имеется естественное биективное соответствие. В этом соответствии каждому подпространству отвечает внешнее произведение x1 x2 векторов произвольного его базиса x1, x2, а каждому бивектору x1 x2 – подпространство

x1, x2 .

3.4. Акустическая диагностика закрепления кольцевой мембраны 155

Поэтому из (3.110) следует, что a, b a, b , что и требовалось доказать.

3.4.3.Метод распознавания краевых условий

В[5] было предложено несколько способов распознавания краевых условий по частотному уравнению. Применим наиболее эффективный из них к нашей задаче.

Пусть 1, 2, 3 – это три первых собственных значения спектральной задачи (3.100)– (3.102). Они являются корнями функции

. Поэтому из тождества (3.107) следует, что 1, 2, 3 удовле-

творяют уравнениям

j z1f1 j z2f2 j z3f3 j z4f4 j 0,

j 1, 2, 3, (3.111)

где z1 a1b1, z2 a1b2, z3 a2b1, z4 a2b2. Равенства (3.111) представляют собой систему трех уравнений от четырех неизвест-

ных z1, z2, z3, z4. Эта система, как следует из теоремы, имеет единственное с точностью до константы решение. Таким образом, система (3.111) однозначно с точностью до константы определяет

бивектор

0, z1, z2, z3, z4, 0 т,

по которому согласно найденному в [5] методу находятся краевые условия.

Если первые три собственных значения j задачи (3.100) известны лишь приближенно:

j j j 1, 2, 3 ,

то обратная задача нахождения краевых условий может быть решена приближенно. Для этого подставим в (3.111) значения jj 1, 2, 3 , приближенно совпадающие с первыми тремя положительными собственными значениями. Получим систему трех однородных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных z1, z2, z3, z4:

Полученная система имеет бесчисленное множество решений. Из доказанной теоремы единственности следует, что четыре неизвестные zi могут быть найдены приближенно с точностью

156 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

до коэффициента. Таким образом, если j j 1, 2, 3 отличаются от первых трех собственных значений незначительно, то полученная система должна иметь ранг 3 и решение, определенное с точностью до константы. Вычисления, выполненные в пакете Maple подтверждают это. Неизвестные находятся с точностью до константы. Следует, однако, учитывать, что степень точности найденных zi может ухудшаться на четыре-пять порядков по сравнению со степенью близости j и j . Поэтому собственные частоты колебаний мембраны должны быть выбраны как можно точнее.

3.4.4. Пример

Метод установления краевых условий по трем собственным значениям проще пояснить на конкретном примере.

Пусть a 1, b 2. Если

1 3,705245150, 2 6,609080904, 3 9,649797538

– значения, соответствующие первым трем собственным частотам i, определенных частотомером, то решение системы (3.112), найденное Maple с точностью до константы, имеет вид

Приближенно можно считать, что вектор z1, z2, z3, z4 с точностью до константы равен

1, 1, 1, 1 т.

Точность приближения по каждой компоненте не хуже, чем 10 3. Найдем линейную оболочку, соответствующую этому бивектору. Пусть x x1, x2, x3, x4 т – произвольный вектор искомой линейной оболочки a, b . Тогда координаты вектора x удовле-

творяют условию

Поскольку минор

то условие (3.113) эквивалентно обращению в нуль обоих окаймляющих z1 миноров.

Разлагая эти миноры по третьей строке, получаем

x1a2b1 x2a1b1 x30 0, x10 x3a1b2 x4a11 0.

Поскольку z1 a1b1 1, z2 a1b2 1, z3 a2b1 1 и z4 a2b2 1 (степень точности равна 10 3, т. е. довольно

высока), можно считать, что x1 x2 0 и x3 x4 0, а произвольный вектор искомой линейной оболочки имеет вид x

x1, x1, x3, x3 т.

Вкачестве базисных векторов этой линейной оболочки можно

выбрать, например, векторы

a 1, 1, 0, 0 т и b 0, 0, 1, 1 т.

Следовательно, искомые граничные условия имеют вид

Именно эти граничные условия и использовались при выборе чисел 1, 2, 3, которые с точностью 10 3 совпадают с первыми тремя корнями соответствующего характеристического уравнения

0.

Подытоживая, можно сказать, что закрепление на обоих контурах кольцевой мембраны вполне может быть распознано по звучанию ее колебаний. Более того, краевые условия могут быть удовлетворительно диагностированы и с помощью частотомера, улавливающего только первые три собственные частоты.

Заметим, что для распознания одного из краевых условий кольцевой мембраны (другое краевое условие которой известно) вполне достаточно знания только одной собственной частоты [11].

3.5. Диагностика закрепления прямоугольной мембраны по собственным частотам ее колебаний

3.5.1.Введение

Вэтом параграфе рассматривается однородная прямоугольная мембрана, которая по-разному закреплена на каждой из своих сторон и недоступна для визуального осмотра. В главе дается ответ на вопрос о том, можно ли по собственным частотам колебаний

158 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

прямоугольной мембраны определить закрепления на всех ее сторонах.

Предложены методы акустической диагностики, которые позволяют находить закрепление прямоугольной мембраны по собственным частотам. Первый метод применен в случае упругого закрепления мембраны на каждом из контуров. Метод позволяет правильно диагностировать закрепление мембраны с помощью четырех собственных частот. Второй метод применен в случае, когда каждая из сторон мембраны является либо закрепленной, либо свободной. Показано, что в этом случае для правильного диагностирования достаточно использования только одного собственного значения.

Приведены результаты численных экспериментов, которые подтверждают сделанные выводы. Из анализа рассмотренных результатов следует, что понижение собственной частоты мембраны говорит о неблагополучии закрепления, поскольку при остальных неизменных условиях свидетельствует о понижении закрепленности мембраны.

Поскольку мембраны порой недоступны для визуального осмотра, предложенные методы акустической диагностики позволяют правильно диагностировать состояние закрепления мембраны. Они могут также помочь при создании устройств с нужным диапазоном частот.

Близкие проблемы решались и в других работах. В [228] по сдвигам собственных частот определялись размеры объекта и его положение в камере. В работах [196, 197] исследовались условия на входе и выходе выхлопных труб и трубопроводных систем, в [159, 160] – задачи идентификации объектов по их акустическому отклику, а в [51] – задачи акустического диагностирования наличия дефектов.

В отличие от этих и им подобных работ, в настоящей работе отыскиваются не форма области, размеры объекта, его местоположение или состояние, а вид его закрепления.

Отличаются рассматриваемая задача и от классических обратных спектральных задач. В обратных спектральных задачах (см., например, [97,137,172] и библиографию к ним) требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. Однако в этих работах в качестве данных восстановления краевых условий используется не один спектр (как в настоящей работе), а несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, функция Вейля, или так называемые весовые числа). К тому же основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях. Цель же настоящей работы состоит в восстановлении краевых условий спектральной задачи с известными коэффициентами в уравнении по части спектра.

Настоящая глава, так же, как и предыдущая, посвящена диагностированию краевых условий. Однако методы предыдущей главы не могут быть применены для диагностирования прямоугольной мембраны. Дело в том, что в гл. 2 рассматривается мембрана, которая закреплена по всему контуру одинаково, а в настоящей главе рассмотрена мембрана, которая на каждой из сторон закреплена особо. Это приводит к необходимости восстановления не одной, а двух связанных между собой спектральных задач, что осложняет решение поставленной задачи.

Перед изложением основных результатов, напомним, что задача о колебаниях однородной прямоугольной мембраны, которая упруго закреплена по каждой из своих сторон Γ1, Γ2, Γ3 и Γ4, сводится [118, с. 19–20] к решению волнового уравнения

160 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

при граничных условиях

от функции u. При hj ∞ считаем, что соответствующее краевое условие имеет вид u Γj 0.

Собственные частоты колебаний мембраны находятся по формуле [45, c. 595]

где m и n являются собственными значениями задач Штурма– Лиувилля

X x 2X x 0, X 0 h1X 0 0,

(3.118)

X a h3X a 0,

и

Y y 2Y y 0, Y 0 h2Y 0 0,

(3.119)

Y b h4Y b 0

соответственно.

В терминах задачи (3.114)– (3.116) поставленный ввыше вопрос о диагностике вида закрепления на всех сторонах мембраны сводится к задаче идентификации краевых условий (3.114) по значениям mn.

3.5.3. Диагностирование упругих закреплений на каждой из сторон мембраны

В случае когда известны не только сами собственные частоты, но и их порядковые пары m, n , поставленная задача сводится к поиску краевых условий задач Штурма–Лиувилля (3.118), (3.119) по собственным значениям m и n. В работе [30] показано, что коэффициенты h1 и h3 из краевых условий задачи Штур- ма–Лиувилля (3.118) находятся по ее собственным значениям m однозначно с точностью до перестановок их местами. Аналогично по собственным значениям n задачи (3.119) коэффициенты h2

и h4 находятся однозначно с точностью до перестановок их местами. Это означает, что закрепление прямоугольной мембраны находится по собственным частотам mn однозначно с точностью до перестановки закреплений на противоположных сторонах.

Нетрудно показать, однако, что для правильного диагностирования краевых условий (3.114) достаточно знания только четырех собственных частот 11, 21, 31, 12. Действительно, собственные значения m и n являются корнями уравнений

A1 m A2 tg ma 2m tg ma ,

Зная собственные частоты 11, 21, 31, можно выразить значения m, m 1, 2, 3 через 1:

Подставим эти выражения в первые три уравнения (3.120) (при m 1, 2, 3). Получим систему трех уравнений от трех неизвестных A1, A2, 1. Выразив A1, A2 через 1 из первых двух уравнений этой системы и подставив в третье, получим трансцендентное уравнение относительно 1. Это уравнение имеет бесконечно много решений. Найдем тот корень, который лежит в полуинтервале 0, .

Именно он и будет равен 1 (это следует из анализа графиков функций tg nb и B1 n B1 2n ). Числа A1, A2 можно теперь однозначно найти как решения линейной системы двух алгебраиче-

ских уравнений (3.120). По найденным числам A1, A2 значения h1 и h3 находятся из системы уравнений

A1 h1 h3, A2 h1h3.

Числа же h2 и h4 находятся из системы двух уравнений (3.121)

(n 1, 2) по значениям 1 и 2 212 c2 21.

Найденные таким образом решения для h1, h2, h3, h4 непрерывно зависят от 11, 21, 31, 12 (непрерывная зависимость вытекает из непрерывности линейно независимых решений соответствующих задач Штурма–Лиувилля). Это доказывает корректность поставленной задачи восстановления краевых условий (3.115) и дает хорошие возможности диагностирования