Обратные задачи Штурма - Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями

122 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Поскольку функции fi i 1, 2, . .. , 6 линейно независимы, запишем

Из этих равенств следует, что любой минор третьего порядка матрицы

равен нулю, т. е. ранг матрицы A равен 2. Следовательно, формы U1 y , U2 y линейно выражаются через формы U1 y , U2 y , что и требовалось доказать.

работе приведены примеры, показывающие существенность условий 1), 2), 3).

Замечание 2. Согласно утверждению теоремы для однозначности восстановления краевых условий вполне достаточно собственных значений спектральной задачи. При этом не возникает необходимости использования дополнительно нормировочных или весовых чисел. Условия теоремы 1 менее ограничительны, чем условия теорем о восстановлении коэффициентов уравнения из задачи Штурма–Лиувилля. Тем не менее может возникнуть вопрос: не является ли требование совпадения всех собственных значений также ограничительным? Ответ на этот вопрос не является однозначным. В монографии одного из авторов [41, гл. 10, с. 177–190] доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решений соответствующей обратной задачи. Там показано, что для однозначного восстановления краевых условий (3.2), (3.3) достаточно пяти собственных значений. Однако эти пять собственных значений должны удовлетворять определенным условиям, которые выполняются не всегда. Поэтому и нужна теорема 1.

Ниже приводится пример, который показывает, что для восстановления краевых условий следует использовать весь набор собственных значений. Исключение из набора лишь одного собственного значения может приводить к нарушению однозначности восстановления краевых условий.

124 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Рассмотрим две краевые задачи с одним и тем же уравнением:

2

в области Ω : R и по крайней мере одна из функций pi0 x , i 1, 2 не равна тождественно нулю в промежутке 0, 1 .

Предположим, что коэффициенты уравнения (3.32) обладают следующими свойствами:

а) функции pij x i 1, 2, j 0, 1, ... непрерывны и ограничены в совокупности в промежутке 0, 1 ;

б) корни 1 x , 2 x характеристического уравнения

2 p10 x p20 x 0,

различны между собой при всех значениях x на отрезке 0, 1 ;

в) функции dpi0 x , pi1 x имеют непрерывные производные dx

в промежутке 0, 1 ; г) существует бесконечная часть Ω1 области Ω, в которой

не только имеет место разложение (3.35), но кроме того, при всех значениях x в промежутке 0, 1 выполняются неравенства

Re 1 x Re 2 x .

Теорема 3. Пусть выполнены условия а), б), в), г). Если собственные значения краевых задач (3.32), (3.33) и (3.32),

126 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

0

В вышеприведенных разложениях для чисел i, i 1, 2, .. . , 8 содержатся числа i 0 , i 1 , i 1, 2 , j , j 1, 2, ... , 6 , uij 0 ,

i 1, 2 отличны от нуля и выполнены условия 1)–6) теоремы. Поэтому система линейных однородных уравнений

i 1, 2, .. . , 6 0, i 1, 2, . .. , 8

имеет только нулевое решение i 0, i 1, 2, .. . , 6.

Итак, функции fi 6i 1 линейно независимы. Следовательно ранг матрицы A, определенной при доказательстве теоремы 1, равен 2, что и требовалось доказать.

3.1.6. Восстановление краевых условий заданного порядка

Пример 4 показывает, что отсутствие информации о том, является ли нуль собственным значением, не дает возможности однозначно восстановить краевые условия.

Однако если восстанавливаются краевые условия определенного порядка, то информация о том, является ли нуль собственным значением, оказывается лишней. Это и доказывается в настоящем

пункте.

Определение 1. [111, c. 65–66]. Назовем число j порядком линейной формы Uj y , если эта форма содержит переменные y k 0 или y k 1 при k j и не содержит переменных k j. Порядком краевого условия Uj y 0 будем называть порядок соответствующей линейной формы Uj y . Число 1 2

назовем суммарным порядком краевых условий (3.2)– (3.3). Будем называть краевые условия (3.2)– (3.3) нормированными, если любые 2 краевых условия, им эквивалентные, т. е. полученные из Uj y 0 линейными комбинациями, имеют не меньший суммарный порядок. Приведенным суммарным порядком краевых условий Uj y 0 назовем суммарный порядок краевых условий, получающихся из Uj y 0 после нормировки.

Теорема 4. Пусть краевые условия задач (3.1)– (3.3) и (3.4)– (3.6) нормированы и пусть выполнены следующие условия:

1)b2 4c 0;

2)b 0;

3)c 0;

4)краевые условия задач (3.1)– (3.3) и (3.4)– (3.6) имеют одинаковые приведенные суммарные порядки.

Тогда если отличные от нуля собственные значения краевых задач (3.1)– (3.3) и (3.4)– (3.6) совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то краевые условия этих задач

эквивалентны (т. е. линейные формы U1 y , U2 y линейно выражаются через формы U1 y , U2 y ).

Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству предыдущей теоремы. Отличие состоит в том, что из теоремы Вейерштрасса следует, что характеристический определитель

U2 y1 x, U2 y2 x,

по отличным от нуля собственным значениям определяется с точностью до множителя C k, а не с точностью до множителя C.

Но показатель степени k легко определяется с помощью приведенного суммарного порядка краевых условий:

128 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

если приведенный суммарный порядок краевых условий равен нулю, то краевые условия имеют следующий вид: y 0 0, y 1 0; если приведенный суммарный порядок краевых условий равен 1, то порядок старшей степени k, присутствующей в разложении (3.9) равен нулю, а функция с этой степенью 0 есть линейная комбинация функций f1 , f3 , f4 . Поскольку функции f1 , f3 , f4 образуют линейно независимую систему, то коэффициенты этой линейной комбинации определяются однозначно. Функции f5 в разложении (3.9) не будет (соответствующий определитель второго порядка равен нулю). Функция f2 будет

содержать 1; если приведенный суммарный порядок краевых условий ра-

вен 2, то порядок старшей степени k, присутствующей в разложении (3.9), равен единице, а функция с этой степенью есть функция f5 . Остальные функции fi , а значит и соответствующие определители легко могут быть выявлены из равенств (3.10) и тождества (3.9), как в предыдущем случае k 0.

Таким образом, при восстановлении краевых условий отсутствие информации о нулевом собственном значении компенсируется информацией о приведенном суммарном порядке краевых условий.

Пример 6 (восстановление краевых условий определенного порядка).

Пусть известно, что набор всех отличных от нуля собственных

образует множество 2 ik k Z!0 . Известно также, что суммарный приведенный порядок краевых условий равен 2. Требуется восстановить краевые условия.

Линейно независимыми решениями уравнения (3.38), удовлетворяющими условиям

Из теоремы Вейерштрасса и теоремы Адамара следует, что целая функция, имеющая отличные от нуля корни в точках 2 ikk Z!0 представляется следующим образом:

f C kea e 1 .

Здесь k – произвольное целое число, a – произвольное действительное число.

Найдем ту из этих функций f , которая может быть характеристическим определителем задачи (3.38)– (3.40). Как уже было доказано, характеристический определитель отыскивается однозначно с точностью до множителя. Поэтому справедливо следующее тождество:

C kea e 1 .

Таким образом,

M12 M13 1 e e2 M14 e 2e2

M23 2e e2 M242 e e2 M34e3 C kea e 1 .

Так как приведенный суммарный порядок искомых краевых условий равен 2, порядок старшей степени, присутствующей в разложении характеристического определителя равен 1, а определитель второго порядка, являющийся множителем функции

f2 2 e e2 ,

отличен от нуля. Отсюда следует, что k 1, a 1, M12 M13

M14 M23 M34 0, M24 0.

130 Гл. 3. Идентификация краевых условий задачи Штурма–Лиувилля

Найдем теперь соответствующую линейную оболочку. Пусть x x1, x2, x3, x4 – произвольный вектор искомой линейной оболочки a1, a2 . Тогда координаты вектора x удовлетворяют ус-

Условие (3.41) эквивалентно выполнению следующих равенств:

x1 0 и x3 0, а произвольный вектор искомой линейной обо-

лочки имеет вид x 0, x2, 0, x4 .

В качестве базисных векторов этой линейной оболочки можно

выбрать, например, векторы a1 0, 1, 0, 0 и a2 0, 0, 0, 1 . Следовательно искомые краевые условия имеют вид: y 0 0,

y 1 0.

3.2.Коэффициентная альтернатива

3.2.1.Общие теоремы

Вработе [10] было показано, что коэффициенты h и H задачи

y 2y, y 0 hy 0 0, y 1 Hy 1 0 (3.43)

находятся по ее спектру с точностью до перестановок их местами. Покажем, что этот случай – случай восстановления коэффициентов с точностью до перестановок – реализуется не всегда. Ниже приводятся два примера. В первом коэффициенты находятся единственным образом. Во втором решение обратной задачи отыскания коэффициентов краевых условий задачи Штурма–Лиувилля не единственно и коэффициенты находятся не с точностью до пе-

рестановок.

Пример 1. Рассмотрим две спектральные задачи с общим

и (3.44), (3.46) совпадают с учетом их кратностей, то совпадают и краевые условия, т. е. h h, H H.

Общим решением уравнения (3.44) является функция

y x y x, C1J0 x 1 C2Y0 x 1 ,

где использованы стандартные обозначения для цилиндрических функций.

Собственные значения задачи (3.44), (3.45) совпадают с нулями характеристического определителя

U2 J0 2 U2 Y0 2

(см. [111]).

Используя формулы дифференцирования J0 z J1 z , Y0 z Y1 z , получаем

где

f1 2 J1 Y1 2 J1 2 Y1 , f2 J1 Y0 2 J0 2 Y1 , f3 J0 Y1 2 J1 2 Y0 , f4 J0 Y0 2 J0 2 Y0 .

Из асимптотических оценок для цилиндрических функций (см. [175])

дачи (3.44), (3.45) и характеристический определитель