Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

Введение

Дальнейшее исследование уравнений (9), (10) проведено в парагр. 1.2. Уравнения изучаются при каждом фиксированном r в некоторых весовых аналогах пространства L¥(0;¥), а также (в преобразованном виде) в пространствах функций двух переменных (x;r), та-

ких как пространства BC [0;¥);C0(S) и BC ([0;¥);H (l)), где H (l) :=

=C0(l)\L2(l) и l – произвольный луч вида fr = zt;t 2[0;¥)g, z2S nf0g – здесь, таким образом, функция двух переменных (x;r) трактуется как отображение, которое каждому значению x ставит в соответствие функцию спектрального параметра r. Устанавливаемые свойства фундаментальных тензоров сформулированы в теоремах 1.5, 1.6, где, кроме того, исследуется зависимость фундаментальных тензоров от потенциала q( ).

Полученные в парагр. 1.1, 1.2 результаты используются далее в парагр. 1.3 для построения решений типа Вейля. Процедура построения носит чисто алгебраический характер и сводится к решению при фиксированных x;r следующей системы линейных уравнений:

Отметим, что СЛАУ (11) является переопределенной, вопрос о ее разрешимости требует отдельного изучения. Соответствующее исследование приводит к результатам, сформулированным в теореме 1.8. Оно основывается на идеях, предложенных ранее в [21]. Однако техническая реализация указанного подхода имеет ряд существенных отличий, поэтому используемые вспомогательные утверждения также снабжены подробными независимыми доказательствами (см. лемму 1.10). В ходе упомянутого исследования показано, что разрешимость системы (11) определяется значением некоторой (выписываемой явно в терминах фундаментальных тензоров) характеристической функции Dk(r): при условии Dk(r) 6= 0 при данном r и каждом x 2 (0;¥) система имеет единственное решение Yk(x;r). Более того, функция Yk( ;r) есть k-е решение типа Вейля (при данном r), которое при выполнении условия Dk(r) 6= 0 является единственным.

Отметим, что описанная процедура построения решений типа Вейля не требует привлечения традиционно используемых вспомогательных ФСР, таких как ФСР с бирхгофовской асимптотикой. Более того, дальнейшее исследование свойств решений типа Вейля также основывается только на изучении СЛАУ (11) с учетом установленных ранее свойств фундаментальных тензоров.

Основные свойства решений типа Вейля сформулированы в теоремах 1.10, 1.11. Кроме того, рассмотрен важный частный случай аб-

11

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

солютно непрерывных потенциалов q( ), удовлетворяющих условию q(0) = 0. В этом случае для решений типа Вейля можно получить при r ! ¥ асимптотики «классического типа» с оценкой остаточного члена o(r 1) (теорема 1.12).

Вторая глава посвящена непосредственно решению обратной задачи рассеяния для системы (5). Оно дается для потенциалов класса G0p, выделяемого условием

n

ÕDk(r) 6= 0; r2S

k=2

для любого открытого сектора S C n S. Для потенциалов класса G0p в качестве данных рассеяния можно рассматривать матрицу сопряжения v(r), заданную при r2S0 := Snf0g. Отметим, что при выполнении условия информативности для невозмущенной системы (7) любой потенциал с достаточно малой нормой заведомо принадлежит классу G0p (однако такими потенциалами класс G0p не исчерпывается).

Опишем постановку задачи более подробно. Представим множество C n S как объединение непересекающихся открытых секторов Sn, n = 1;N с вершиной в нуле. Отметим, что в нашем случае всегда N4. Будем считать, что секторы Sn занумерованы в положительном направлении, обозначим через Sn открытый луч, разделяющий секторы Sn и Sn+1. Из результатов парагр. 1.3 вытекает, что для любого r0 2Sn

матриц Y(x;r), составленных из решений типа Вейля fYk(x;r)gnk=1. Поскольку матрицы Y ( ;r) и Y+( ;r) удовлетворяют одной и той же системе (5) (с одним и тем же значением r), справедливо равенство

Y+(x;r) = Y (x;r)v(r);

где v(r) есть упомянутая ранее матрица сопряжения. Рассматриваемая в дальнейшем обратная задача рассеяния состоит в восстановлении потенциала q(x), x 2 (0;¥) по известным данным рассеяния v(r), r 2 S0. Отметим, что такая постановка задачи полностью аналогична постановке обратных задач рассеяния для операторов высших порядков (3) и систем (4), рассматриваемых в классических работах [19–21].

Опишем структуру второй главы более подробно.

12

Введение

Конструктивному решению обратной задачи предшествует проведенное в парагр. 2.1 изучение свойств данных рассеяния. Устанавливается, что матрица сопряжения v(r), r 2S0 по необходимости:

–является нижнетреугольной, а также имеет специальную блочную структуру (теорема 2.1);

–при r ! 0, r ! Sn для каждого n = 1;N имеет предельные значения, различные, вообще говоря, для различных лучей Sn, но не зависящие от потенциала q( ) (теорема 2.2). Данное свойство не имеет места для систем вида (4) (т. е. при A = 0);

–при r ! ¥ асимптотически приближается к матрице сопряжения v0(r) невозмущенной системы с потенциалом q = 0. Более точное и детальное описания данного свойства (фактически группы свойств) дано в теореме 2.3.

Поведение матрицы v(r), r 2 S0 при r ! 0 является одним из наиболее специфичных свойств данных рассеяния для систем дифференциальных уравнений при наличии особенности. Его исследование существенно опирается на развитую в первой главе технику тензорнозначных решений вспомогательных дифференциальных систем.

В парагр. 2.2 описывается и обосновывается процедура восстановления потенциала q( ) по известным данным рассеяния, иначе говоря, дается конструктивное решение обратной задачи. В основе используемого здесь метода лежат упомянутые выше идеи метода контурного интеграла. Основы этого подхода были заложены в классических работах 1980-х годов, тем не менее конкретная реализация метода существенно различается в зависимости от конкретной постановки задачи. Более того, в силу нелинейности обратных задач применение метода в той или иной конкретной ситуации может требовать его существенного и нетривиального развития.

Метод, используемый в настоящей работе, можно рассматривать как синтез и дальнейшее развитие идей, восходящих, с одной стороны, к идеям построенной в [19–21] теории рассеяния для операторов (3) и систем (4) на оси, с другой – к идеям метода спектральных отображений В. А. Юрко [24, 44, 48]. Как и в методе спектральных ото-

бражений, ключевую роль играет так называемая матрица спектральных отображений P(x;r) := Y(x;r)Y0 1(x;r), где матрица Y0(x;r) построена по решениям типа Вейля fY0k(x;r)g невозмущенной системы.

Рассуждения, приводящие в конечном итоге к линейному уравнению (называемому в контексте метода спектральных отображений основным уравнением обратной задачи), основаны на аналитических и асимптотических свойствах матрицы спектральных отображений как функции

13

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

спектрального параметра r, отправной точкой здесь служит применение классической интегральной формулы Коши. Итогом описанных построений является уравнение (линейное, как указывалось выше)

зависящее от параметра x 2 (0;¥) (теорема 2.5, п. 1). В роли искомой

величины в нем выступает функция ˆ( ;r) = +( ;r) ( ;r), r 2S0,

P x P x P x

матрица-функция ˆ ( ;r) строится по матрице сопряжения v(r), r 2S0,

V x

также по матрице сопряжения строится линейный оператор A(x). Оператор A(x) непрерывен в пространстве L2(S) (в котором и рассматривается уравнение (12)). Важным для обоснования процедуры решения обратной задачи является факт обратимости для каждого фиксированного x 2(0;¥) оператора A(x), устанавливаемый в п. 2 теоремы 2.5, доказательство которого проводится предъявлением в явном виде обратного оператора. Отметим, что вид уравнения (12) отличается как от основного уравнения классического метода спектральных отображений, так и от уравнений, получаемых в теории рассеяния методом, описанным в [19–21]. Непосредственное применение каждого из указанных методов к решению рассматриваемой обратной задачи сталкивается с целым рядом существенных трудностей.

Завершается решение обратной задачи рассеяния подсчетом по явной формуле, выражающей значение потенциала q(x) (для каждого x 2 (0;¥)) через значения найденной из уравнения (12) функции

ˆ( ; ). Получение указанных формул в рассматриваемом в работе слу-

P x

чае нетривиально и проводится в два этапа. На первом этапе искомая формула выводится в частном случае абсолютно непрерывных потенциалов q( ), удовлетворяющих условию q(0) = 0 (лемма 2.2); на втором этапе общий случай исследуется с помощью предельного перехода (теорема 2.6).

Параграф 2.3 посвящен установлению условий разрешимости обратной задачи. Вопрос здесь ставится следующим образом. Пусть задана некоторая матрица-функция v(r), r 2 S0. Какие условия на v( ) являются необходимыми и достаточными для существования системы вида (5) с потенциалом q( )2G0p, матрица сопряжения (т. е. данные рассеяния) которой совпадала бы с v( )? В иной трактовке вопрос можно рассматривать как проблему характеризации (т. е. некоторого внутреннего описания) данных рассеяния систем с потенциалом из класса G0p. Вопросы такого рода в контексте теории обратных задач являются, как правило, наиболее сложными для исследования.

14

Введение

Основной результат, полученный в парагр. 2.3 (теорема 2.7), можно кратко описать следующим образом. Искомые условия на заданную матрицу-функцию v(r), r 2 S0 включают в себя:

–наличие выявленных в разделе 2.1 структурных и аналитических свойств, выполненных для данных рассеяния «по необходимости»;

–обратимость при каждом x 2 (0;¥) оператора A(x), построенного (формально) по матрице-функции v( ) способом, обоснованным «по необходимости» в парагр. 2.2;

–принадлежность классу L1(0;¥) \Lp(0;¥) потенциала, полученного формальным применением процедуры восстановления, построенной в парагр. 2.2.

Доказательство соответствующих результатов основывается на следующих соображениях. Для каждого фиксированного x 2(0;¥) постро-

им по заданной v( ) матрицы-функции ( ; ), ˆ ( ; ) и оператор ( ),

V x V x A x

как в теореме 2.5. Решим уравнение ( )j = ˆ ( ; ), обозначим най-

A x V x

денное решение p(x; ) (обозначения здесь отличаются от используемых в разделе 2.2, поскольку объекты, фигурирующие в парагр. 2.2, относятся к некоторой системе вида (5), теперь же существование этой системы еще предстоит доказать!). Применяя далее формулы из теоремы 2.6 (где

вместо ˆ используется ), построим матрицу-функцию ( ), 2(0;¥).

P p q x x

Введем, кроме того, функцию

1 w dz

y(x;r) = Y0(x;r) + 2pi z rp(x;z)Y0(x;r); r2CnS:

S

Формула, определяющая функцию y( ; ), в точности соответствует формуле для подсчета матрицы Y(x;r), составленной из решений типа Вейля системы (5) при условии, что p(x;r) выражается в терминах соответствующей этой системе матрицы спектральных отображений P(x;r) по формуле p(x;r) = P+(x;r) P (x;r). Основные этапы дальнейшего доказательства сводятся к последовательному установлению следующих фактов:

1)при x ! ¥ справедлива асимптотика y(x;r) = (f + o(1))exp(rxR) (лемма 2.11);

2)для каждого фиксированного r 2 C n S y( ;r) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений вида (5), причем q(x) = q(x) (лемма 22.12);

3)при x ! 0 для k-го столбца матрицы yk(x;r) справедлива оценка yk(x;r) = O(x k );

15

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

4)при r 2S0 существуют предельные значения y (x;r), для которых справедлива формула сопряжения y+(x;r) = y (x;r)v(r) с изначально заданной матрицей v(r).

Результаты пунктов 1–3 позволяют утверждать, что столбцы матрицы y(x;r) действительно являются решениями типа Вейля для системы (5) с q = q, тогда последний пункт означает, что v( ) совпадает с матрицей сопряжения для этой системы.

Отметим, что апостериорной проверки требует попадание

чески. Указанное обстоятельство существенно, так как практическая проверка условий апостериорного характера связана с определенными трудностями. Доказательство отмеченного факта нетривиально и требует привлечения вспомогательных объектов, соответствующих матрице сопряжения для решений Вейля, нормируемых асимптотикой при x ! 0 (см. леммы 2.13, 2.14).

Кроме того, в парагр. 2.3 получены достаточные условия разрешимости обратной задачи, не требующие проверки апостериорного условия q( )2L1(0;¥)\Lp(0;¥), данный результат содержится в теореме 2.8. При доказательстве теоремы 2.8 ключевую роль играет использование линейного оператора, конструкция которого подсказана асимптотическим поведением при x ! ¥ построенного в теореме 2.5 оператора, обратного к оператору A(x).

Условимся относительно некоторых обозначений, используемых в дальнейшем. Помимо обозначений, введенных выше, будем считать, если иное не оговорено явно, что действуют следующие договоренности:

– Am – множество упорядоченных мультииндексов a = (a1;:::;am), a1 < a2 < ::: < am, aj 2f1;2;:::;ng;

–ua := ua1 ^ ^uam , где uj 2Cn, a2Am;

–a0, где a мультииндекс, обозначает упорядоченный мультииндекс, являющийся дополнением a до (1;2;:::;n);

m

V (m)(u1 ^u2 ^ ^um) = åu1 ^u2 ^ ^uj 1 ^Vuj ^uj+1 ^ ^um

j=1

выполнено для любых векторов u1;:::;um;

16

Введение

–если h2^nCn, то jhj обозначает число такое, что h = jhje1 ^e2 ^:::^ ^en, fekgnk=1 – стандартный базис в Cn;

–если fajg есть некоторая числовая последовательность, то для мультииндекса a обозначим

aa := å aj; aa := Õaj;

j2a j2a

для k = 1;n используем обозначения

Заметим, что при выполнении условий 1, 2 (парагр. 1.1) справед-

nn

ливо, в частности, å k = å Rk = 0, следовательно, для любого

k=1 k=1

мультииндекса a имеем Ra0 = Ra, a0 = a;

– q ( ) обозначают функции Хевисайда:

–если l – луч вида l = fr = zt;t 2[0;¥)g и R – некоторое положительное число, то l+(R) := l \fr : jrj > Rg, l (R) := l \fr : jrj Rg;

–символ есть матрица из собственных значений матрицы A: =

= diag( 1;:::; n);

–символ Id – единичный оператор;

–если U и V – некоторые матрицы, то [U;V ] = UV VU;

–один и тот же символ M обозначает различные константы в неравенствах; если иное не оговорено явно, константы являются абсолютными;

–символ W ( ) обозначает диагональную матрицу-функцию, определяемую в парагр. 1.1.

Сделаем еще ряд замечаний относительно использования обозначений функциональных пространств.

Традиционные обозначения функциональных пространств, такие как Lp(a;b), C[a;b] и др., будут использоваться в их классическом понимании независимо от того, идет ли речь о скалярных, векторных, тензорных или операторных функциях во всех случаях, когда соответствующие пространства значений конечномерны.

17

Г л а в а 1

РЕШЕНИЯ ТИПА ВЕЙЛЯ

1.1. Решения невозмущенной системы и связанные с ними интегральные преобразования

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

вида

где A, B – постоянные матрицы размера n n, n > 2. Всюду в дальнейшем будем предполагать выполненными следующие условия.

Условие 1. Матрица A внедиагональна. Собственные значения

f jgnj=1 матрицы A различны и удовлетворяют условию j k 2= Z при

j 6= k, кроме того, Re 1 < Re 2 < ::: < Re n, Re k 6= 0, k = 1;n.

Условие 2. B = diag(b1;:::;bn), элементы b1;:::;bn – различные

ненулевые комплексные числа, никакие три из которых не лежат на

n

одной прямой, и такие, что å bj = 0.

j=1

Как известно, при выполнении условия 1 система (1.1) имеет фундаментальную матрицу вида c(x) = (c1(x);:::;cn(x)), где

ck(x) = x k cˆk(x);

cˆk( ) – целые функции, или, эквивалентно, c(x) = cˆ(x)x , где (как и всюду в дальнейшем) := diag( 1;:::; n), cˆ( ) – целая матрица-функция. Для функций cˆk справедливы представления

¥

cˆk(x) = å xmHmk; H0k = hk; Hmk = (( k + m)I A) 1 BHm 1;k; (1.2)

m=0

где hk – собственные векторы матрицы A. Заметим, в частности, что cˆk(0) = hk. Матрица c(x) зависит, очевидно, от выбора ветви степен-

19

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

ной функции x k , а также от выбора собственных векторов hk, матрица cˆ(x) – только от выбора собственных векторов. Всюду далее будем считать систему собственных векторов fhkgnk=1 фиксированной, причем det(h1;:::;hn) = 1. Тогда, очевидно, выполнено detc(x) 1, detcˆ(x) 1.

Далее, при выполнении условий 1, 2 в каждой открытой полуплоскости W, такой, что Re(xbj) 6= Re(xbk) при j 6= k, x 2 ¶W (любая такая полуплоскость является сектором Стокса для системы (1.1)), существует [52, 53] также фундаментальная матрица E(x), представимая асимптотическим рядом

E(x) = (I + x 1E(1) + x 2E(2) + :::)exp(xB):

Обозначим через S объединение прямых вида

[

S = fz : Re(zbj) = Re(zbk)g:

(k; j): j6=k

При выполнении условий 1, 2 для любого z 2CnS существует перестановка R1;:::;Rn чисел b1;:::;bn, такая, что Re(R1z) < Re(R2z) < ::: < < Re(Rnz). Пусть S – некоторый открытый сектор fz = r exp(ig);r 2 2 (0;¥);g 2 (g1;g2)g, лежащий в C n S. Тогда система (1.1) имеет фундаментальную матрицу e(x) = (e1(x);:::;en(x)), аналитическую в секторе S, непрерывную в S n f0g и такую, что справедлива следующая

где (f1;:::;fn) = f – матрица перестановок, такая, что (R1;:::;Rn) =

= (b1;:::;bn)f.

Условие информативности. Для любого открытого сектора S(CnS) с вершиной в нуле и для всех k = 2;n числа

D0k := det(e1(x);:::;ek 1(x);ck(x);:::;cn(x))

отличны от 0.

Отметим, что фундаментальная матрица e(x) (в заданном секторе S) определена не единственным образом. Действительно, для её построения можно положить e(x) := E(x)f, где фундаментальная матрица E построена в произвольном секторе Стокса, содержащем заданный сектор S. Поскольку такой сектор Стокса можно выбрать не единственным образом, это означает неединственность фундаментальной матрицы e. Тем не менее такая неединственность не влияет на выполнение

20