Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных уравнений с особенностью

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

767 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Глава 1. Решения типа Вейля

1.G(x;t;r) непрерывна по f(x;t;r) : r2S;0 x < t < ¥g.

2.kG(x;t;r)k M, где константа M не зависит от (x;t;r).

Тогда для функций

w¥

F+(Q;x;r) = q+(jrxj 1) (rt) 1G(x;t;r)Q(t)dt;

			x
F	(Q;x;r) = q ( rx	j	1) jrw 1jG(x;t;r)Q(t)dt
	j	j	x
			x

при любом p > 2 справедливы те же утверждения, что для функций F ( ; ; ) в лемме 1.4.

Доказательство. 1. Непрерывность естественного продолжения функции F+(Q; ; ) на множество ([0;¥) S)\f(x;r) : jrxj 1g устанавливается при помощи теоремы Лебега аналогично тому, как это сделано при доказательстве леммы 1.5. Также аналогично доказывается его ограниченность и устанавливаются оценки:

w¥

kF+(Q;x;r)k Mq+(jrxj 1) jrtj 1kQ(t)kdt

w¥

Mjrj 1=2 t 1=2kQ(t)kdt;

kF+(Q;x;r)k Mjrj 1=2(kQkLp(0;1) + kQkL1(1;¥));

(1.35)

из которых следует, в частности, F+(Q; ; ) 2PC0(

Далее, имеем

F+(Q;x; )

L2(l)

M 8w¥ w¥ rt

Q(t) dt

d r 91=2

j j

1=2

;

M w¥

(w1 jrtj 2kQ(t)k2 djrj)

dt = M w¥ t 1=2kQ(t)kdt;

откуда следует

kF+(Q;x; )kL2(l) M(kQkLp(0;1) + kQkL1(1;¥)):

(1.36)

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Более того, рассуждая аналогично, получим для произвольного R >

> 0

8w¥ q+(rx

kF(Q;x; )kL2(l+(R))

2 dr91=2

w¥ q+(rt

1)(rt) 1

Q(t) dt

;

w¥ (w¥ )1=2

M t 1kQ(t)k r 2q+(rx 1)q+(rt 1)dr dt =

w¥

= M t 1(R+(R;t)) 1=2kQ(t)kdt;

где R+(R;t) = maxfR;t 1g. Таким образом, имеем

		kF+(Q;x; )kL2(l+(R))
R 1		¥
M w	t 1=2kQ(t)kdt + MR 1=2 w t 1kQ(t)kdt
0		R 1
M Rw 1t 1=2kQ(t)kdt + MR 1=2kQkLp(0;¥) (w¥1 t p0 dt)1=p0
0		R
	R 1
M w		t 1=2kQ(t)kdt + MR1=p 1=2kQkLp(0;¥);
	0
где (как и ранее)	p0	= p=(p 1). Поскольку p > 2 и (как следствие)

t 1=2kQ(t)k2L1(0;¥), из полученной оценки можно сделать вывод, что

	lim sup		F	+	(Q;x; )		+		=	:
	R!¥ x2[0;¥) k					kL2(l	+	(R))		0
	R!¥ x2[0;¥) k					kL2(l		(R))		0
В силу (1.36) и	леммы	1.1				отсюда вытекает, что F+(Q; ;					+) 2
2 BC([m0;¥);L2(l)).	Далее,			из		оценки		(1.36) следует F			2
2 L(Xp ;BC([0;¥);L2(l))).

Глава 1. Решения типа Вейля

2. Для произвольной последовательности f(xn;rn)g¥n=0, такой, что jrnxnj 1 и (xn;rn) ! (x0;r0) при n ! ¥, в условиях теоремы имеем fn(t) ! f0(t) при n ! ¥ для п.в. t 2 (0;¥), где

fn(t) = q (jrntj 1)q+(t xn)G(xn;t;rn)Q(t); n = 0;¥;

более того, kfn(t)k MkQ(t)k. Согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости, имеем

w¥ w¥

lim fn(t)dt = f0(t)dt;

n!¥

что означает F (Q;xn;rn) ! F (Q;x0;r0). Таким образом, мы показали, что F (Q; ; ) 2 PC(S).

Далее справедлива оценка

jrwj 1

kF (Q;x;r)k Mq (jrxj 1) kQ(t)kdt;

из которой вытекает, в частности, что F (Q; ; ) 2 PC0(S). Из этой же оценки следует

(Q;x; )

(l)

8w¥ q (rx

w¥ q (rt

1) Q(t) dt

2 dr91=2

;

M w¥

Q(t)

8wt 1 dr91=2 = M w¥ t

1=2

Q(t) dt;

k<0

что даёт оценку

;

kF (Q;x; )kL2(l) M(kQkLp(0;1) + kQkL1(1;¥)):

(1.37)

Аналогично для произвольного R > 0, x > R 1 получаем

8w¥ q (rx

kF (Q;x; )kL2(l+(R))

2 dr91=2

w¥ q (rt

1) Q(t) dt

;

w¥ (w¥ )1=2

M kQ(t)k q (rt 1)q (rx 1)dr dt

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

M Rw 1

t 1

1=2

Q(t) dt

Lp(0;R 1)

8Rw 1(t

R)p0=2 dt

91=p0

< 0

;

= MkQkLp(0;R 1)R1=p 1=2 (w1 (t 1 1)p0=2 dt)

1=p0

;

где p0 = p=(p 1). Поскольку p > 2 > p0, интегралы в полученных оценках сходятся и мы приходим к оценке

kF (Q;x; )kL2(l+(R)) MR1=p 1=2kQkLp(0;¥);

из которой вытекает

lim sup kF (Q;x; )kL2(l+(R)) = 0:

R!¥ x2[0;¥)

Применяя лемму 1.1, заключаем, что F (Q; ; )2BC([0;¥);L2(l)). Наконец, из оценки (1.37) следует F 2L(Xpm;BC([0;¥);L2(l))).

Лемма 1.7. Пусть для каждого фиксированного набора аргументов (t;r) g(t;r) – линейный функционал на L(^mCn), причем как функция аргументов (t;r) g(t;r) непрерывна и ограничена на [0;¥) S. Определим

w¥

F(Q;r) := (rt) 1g(t;r)Q(t)dt:

jrj 1

Тогда для каждой фиксированной Q 2Xpm, p > 2 имеем F(Q; ) 2C0(S),

для любого луча вида l = [0;z ¥), z 2S nf0g F(Q; ) 2L2(l), более того,

F 2 L(Xpm;L2(l)).

Доказательство. Непрерывность F(Q; ) устанавливается при помощи теоремы Лебега аналогично тому, как это было сделано при доказательстве предыдущих лемм. Из очевидной оценки

w¥

jF(Q;r)j M jrtj 1=2kQ(t)kdt M(kQkLp(0;1) + kQkL1(1;¥))jrj 1=2

jrj 1

следует, что F(Q;r) ! 0 при r ! ¥, r 2 S.

Глава 1. Решения типа Вейля

8w¥

w¥ q+(rt

dr91=2

F(Q; ) L2

(l)

1)(rt) 1

Q(t) dt

;

1=2

M w

(w1 (rt) 2kQ(t)k2 dr)

dt = M w t 1=2kQ(t)kdt;

откуда следует

kF(Q; )kL2(l) M(kQkLp(0;1) + kQkL1(1;¥)):

Доказательство теорем 1.2, 1.3.

1. Подынтегральное выражение в (1.19) можно представить в виде

( x)

( ; ;

) ( ( )

˜ 0

( ;

))

( ;

)

( ;

);

a2Aån k+1 cagka x t

Q t Tk

^Y0a0 t

Y0a x

где

W k(

gka(x;t;r) =

W a(rx)W a0 (rt):

(1.38)

(

Очевидно, что все функции gka(x;t;r) непрерывны по (x;t;r)2f0 < t < < x < ¥g (S nf0g) и аналитичны по r 2 S. Покажем, что они также ограничены. Действительно, при jrtj jrxj имеем

;

jgka(x;t;r)j M x

что с учётом t

x, Re( k

0 дает

gka(x

;t;r)

M; далее, при

1 < jrtj jrxj справедливо представление

( ; ;

) =

((

) ( R

));

x t

ka x t

exp

x r

r j 1

что с учетом

))

дает

(x;t

;

; наконец,

, Re( ( R

)

при jrtj 1 < jrxj

достаточно воспользоваться оценками (1.14). Таким

образом, интеграл в (1.19) сходится абсолютно и равномерно на любом множестве вида fx 2 [x1;x2];r 2 Kg, где 0 < x1 < x2 < ¥, K S nf0g – компакт, и следовательно, представляет собой непрерывную функцию от (x;r) 2(0;¥) (S nf0g), аналитическую по r 2S.

Записав подынтегральное выражение в (1.20) в виде

a2Ak

˜0

W (

( ;

;

))

( ;

)

( ;

);

å ca

Q t Fk

Y0a0

Y0a

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где		!			r
		!			r
gk+a	(x;t;r) =	W k(				t)	W a(rx)W a0 (rt);	(1.39)
gk+a	(x;t;r) =	!	k	r		x)	W a(rx)W a0 (rt);	(1.39)
		W		(		x)
воспользовавшись	непрерывностью и ограниченностью							функций

g+ka(x;t;r) при 0 < x < t < ¥, r 2 S n f0g, приходим к аналогичным результатам относительно Fk(Q;x;r).

2. Имеем

(

;

) = W k(

(Q;x;

), где

wk(Q;x;r) = wx Gn k+1(x;t;r)(Q(t)T˜k0(t;r))dt;

(1.40)

Gn k+1(x;t;r) :=

W k(

Gn k+1(x;t;r):

(1.41)

(

Переписав gka(x;t;r) в виде

( t) ( x)

( x) W

( t)

gka(x;t;r) =

;

(rt) k

(rt)

W k(

x) (rx) a

с учётом свойств весовых функций Wk( )

заключаем, что

функции

gka(x;xt;r)

допускают

непрерывное

продолжение

на

множество

f(x;t;r) : x 2 [0;¥);t 2 [0;1];r 2 Sg. Поскольку

допускают

Y0a(x;r)

непрерывное

продолжение

на

[0;¥)

функция

Gn k+1(x;xt;r)

допускает

непрерывное

продолжение

на

множество

f(x;t;r) : x 2

2 [0;¥);t 2 [0;1];r 2

g. Тогда представление

wk(Q;x;r) = w1 Gn k+1(x;xt;r)(Q(xt)T˜k0(xt;r))xdt

дает непрерывное продолжение wk(Q; ; ) на [0;¥)

Далее, из представления

f ^Y˜ 0a0 (t;r) Y˜ 0a(x;r)

Gn k+1(x;t;r) f = a2Aån k+1 cagka(x;t;r)

следует ограниченность

kGn k+1(x;xt;r)k на f(x;t;r) : x 2 [0;¥);t 2

2 [0;1];r 2

g, что даёт, в свою очередь, оценку

(Q;x;r)

M wx

Q(t) dt:

(1.42)

Из (1.42) следует, в частности, wk 2L Xpn k+1;BC([0;¥) S) .

Глава 1. Решения типа Вейля

Аналогично имеем

(

;

) = W k( x)

+(Q;x;

), где

r wk

wk+(Q;x;r) = w¥ Gk+(x;t;r)(Q(t)F˜k0(t;r))dt;

(1.43)

G+(x;t;r)

W k

(

Gk(x;t;r):

(1.44)

W k(

Из представления

a2Ak

Gk (x;t;r) f =

Y0a0

å cagka(x;t;r)

(t;r) Y0a(x;r)

вытекают непрерывность

ограниченность

операторной

функции

Gk+(x;t;r) на множестве

f(x;t;r) : 0 x

< t+< ¥;r 2

что даёт

[0;¥) S,

возможность непрерывного

продолжения

(Q; ; ) на

а также оценку

M w¥

wk+(Q;x;r)

Q(t) dt;

(1.45)

из которой вытекает, в частности, wk+ 2L Xpk;BC([0;¥)

) .

3. Представим wk(Q;x;r)

в виде

суммы

wk(Q;x;r) = wk0(Q;x;r) + wk1(Q;x;r) + wk2(Q;x;r);

где

wk1(Q;x;r) = q ( rx

1)wx Gn k+1(x;t;r) Q(t)T˜k0(t;r) dt;

wk2(Q;x;r) = q+( rx

1) jrwj 1Gn k+1(x;t;r) Q(t)T˜k0(t;r) dt;

wk0(Q;x;r) =

)

(

R )

jrxj 1

ca exp

rx k

a2An k+1

Q(t)Tk0(t;r)

Ea0 (t;r) Ea(x;r)dt:

jrj 1

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

Используя лемму 1.4, с учётом установленных выше свойств функ-

ции Gn k+1( ; ; ) получаем wkn(Q; ; ) 2PC0(S), более того, справедливо

Рассмотрим

wk0

включение

wkn 2L Xpn k+1

;BC([0;¥);L2(l)) , n = 1;2.

функцию

. Используя представление (1.16), запи-

шем

wk0(Q;x;r) =

å Гabhab(Q;x;r);

a;b2An k+1

где Гab – некоторые абсолютные константы, и

hab(Q;x;r) =

+( x

)

(

R )

( ) ( ; )

( ; )

( ; ) :

1 exp

jrj 1

Q t Eb t r

Ea0

Ea x r dt

Функцию hab( ; ; ) также удобно представить в виде суммы hab(Q;x;r) = h(ab0)(Q;x;r) + h(ab1)(Q;x;r);

где

hab(1)(Q;x;r) = q+( rx

1) wx

(rt) 1Hab(x;t;r)Q(t)dt;

jrj 1

H (x;t;

)F :=

( (

) + t(R

R )) t

exp

rx Ra

FE˜b(t;r) ^E˜a0 (t;r) Ffb ^fa0

E˜a(x;r);

h(0)

(Q;x;r) =

j jrj 1

(

( (

)+ t(R

(x;

)dt =

w exp

rx Ra

˜(0)

ˆ(0)

(Q;x;r))q

Здесь

(hab

(Q;x;r) + hab

(jrxj1)Ea(x;r):

˜(0)

) :=

(Q;x;

( (

) +

t(R

;

w exp rx Ra

Глава 1. Решения типа Вейля

ˆ(0)

( ; ;

)

jrj 1

( (

) +

t(R

;

hab

)) Q(t)f

Q x

exp rx Ra

jrjx > 1:

Ea(x;r) = exp( rxRa)Ea(x;r) if

r x t Ra

R k) + rt(Rb Ra). Переписав его

в виде

), убеждаемся, что

(

)(

) + t

t)(R

) +

rt Rb

(1.46)

(

)

для всех (x;t;r) таких, что t 2[0;x], r2S. Далее, из асимптотик решений Ek(t;r) следует справедливая при всех (t;r) : jrtj 1 оценка

FE˜b(t;r)	^E˜a0 (t;r) Ffb	^fa0		M	(1.47)
			jrjt kFk

для любого действующего в ^n k+1Cn линейного оператора F, которая, в свою очередь, с учетом (1.46) влечет ограниченность (непрерывной) операторнозначной функции Hab(x;t;r), f(x;t;r) : r2S;jr 1j

t x < ¥g. В силу леммы 1.5 заключаем, что h(ab1)(Q; ; ) 2 PC0(S)

и для

любого

луча

l = fr = zt;t 2 [0;¥)g с

z 2 S n f0g справедливо

hab

hab(1) 2 L Xpn k+1

;BC([0;¥);L2(l))

. Из леммы 1.4 следует аналогичное

утверждение для

ˆ(0)

Далее заметим, что если a 6= b, то в силу условия 2 имеем либо

k 6

, либо Re(R

для всех

nf0g

. Следова-

= R

R )

˜(0)

(Q; ; )2PC0(S)

тельно, применяя лемму 1.3, приходим к выводу, что hab

˜(0)

и для любого луча l = fr = zt;t 2[0;¥)g с z 2S nf0g справедливо hab 2

a 2An k+1

hab

= 0

a = b

0 для

n k+1;BC([0;¥);L

(l))

при a = b. Поскольку

(Q(t)f

)

2L Xp

˜(0)

любого мультииндекса

, имеем

, если

˜0

Таким образом, с учетом леммы 1.2 установлено, что hab(Q; ; ) 2

a;b из An k+1

. С учётом

2PC0(

S), h˜ab0 2L Xpn k+1;BC([0;¥);L2(l))

для любой пары мультиин-

дексов

доказанного ранее то же справедливо

для всех hab, а следовательно, для wk0 и для wk.

Наконец, из (1.42) следует, что wk 2L Xpn k+1;BC([0;¥);C0(

)) .

Таким образом, утверждения теорем

1.2, 1.3 для функции

Tk( ; ; )

доказаны полностью.

4. Рассуждая аналогично предыдущему, запишем w+k (Q;x;r) в виде w+k (Q;x;r) = w+k0(Q;x;r) + w+k1(Q;x;r) + w+k2(Q;x;r);

Игнатьев М. Ю. Обратная задача рассеяния

где		1)w¥ Gk+(x;t;r)(Q(t)F˜k0
wk+0(Q;x;r) = q+( rx	j	1)w¥ Gk+(x;t;r)(Q(t)F˜k0	(t;r))dt;
j	j	x
		x
wk+1(Q;x;r) = q (jrxj 1) w¥ Gk+(x;t;r)(Q(t)F˜k0(t;r))dt;
		jr 1j
wk+2(Q;x;r) = q (jrxj 1) jrw 1jGk+(x;t;r)(Q(t)F˜k0(t;r))dt:
		0

В силу ограниченности операторной функции Gk+(x;t;r) лемма 1.6, при-

мененная к функции w+k2( ; ; ), дает w+k2(Q; ; ) 2 PC0(S) и для любого луча l = fr = zt;t 2[0;¥)g, z 2S nf0g w+k2 2L Xpk;BC([0;¥);L2(l)) .

представление

Далее для wk1(Q;x;r) справедливо

wk+1(Q;x;r) = å wk+1a(Q;x;r);

a2Ak

(Q;x;

) :=

caq

(

)

( ;

) W k( x)

1 E

(x;

);

wk1a

jrxj 1 hk1a

˜0

jr 1j

(Q;

) :=

;

)

(t;

)

exp

( R

) dt:

k1a

Представим

hk1a(Q;r) в виде суммы

˜+

(Q;r);

hk1a

(Q;r) = hk1a(Q;r) + hk1a

где

˜+

jr 1j

k1a

(Q;

) =

Q(t)f

(k)

exp

( R

) dt;

hˆk+1a(Q;r) =

w¥ (rt) 1Hˆk+1a(t;r)Q(t)dt;

ˆ +

jr 1j

( ) := ( ;:::;

( ;

) – функционал, действующий на элемент

Hk1a

F 2

a k

k n1

2 L(^ C )

по формуле

ˆ +

;r)F :=

Hk1a

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]